极限的运算法则

第四节 极限的运算法则

一、四则运算法则

定理1.9 若，，则1）；2）；3）当b≠0时，.

证 只证2）.

因为，存在δ₀>0，当0＜|x-x₀|＜δ₀时，|f（x）|≤M.

对于任意给定的ε＞0，存在δ₁＞0，当0＜|x-x₀|＜δ₁时，有f（x）-a＜ε成立；

对于任意给定的ε＞0，存在δ₂＞0，当0＜|x-x₀|＜δ₂时，有g（x）-b＜ε成立；

取δ=min{δ₀，δ₁，δ₂}，则当0＜|x-x₀|＜δ时，有

|f（x）·g（x）|-ab=|f（x）·g（x）-f（x）b+f（x）b-ab|≤|f（x）|·|g（x）-b|+|b||f（x）-a|＜Mε+|b|ε=（M+|b|）ε

即.定理的1）、2）可推广到有限多个函数的和或积的情形.作为2）的特殊情形，有（c为常数），.

例1 求.

解 .

例2 求.

解 .

从例1和例2可以看出，对于有理整函数（多项式）或有理分式函数（分母不为零），求其极限时，只要把自变量x的极限值代入函数就可以了.

对于多项式函数

对于有理分式函数，其中，P（x）和Q（x）均为多项式，且Q（x₀）≠0.

则.

例3 求.

解 当x→2时，x≠2，x-2≠0.所以.

例4 求.

解 .

例5 求.

解 .

若Q（x₀）=0，则不满足定理条件，不能用上述结论，需采用其他手段.

例6 求.

解 当x→1时，分子、分母均趋于0，因为x≠1，约去公因子（x-1），所以.

例7 求.

解 当x→-1时，和的极限不存在，故不能直接用定理1.9的结论，但当x≠-1时，

所以

例8 求.

解 当x→2时，（x-2）→0，故不能直接用定理1.9的结论，由于x²→4，可以考虑：，由此可知在x→2时，函数值无限增大，把它记为.

例9 .

解 .

例10 设a₀≠0，b₀≠0，m、n为自然数，则

证 当x→∞时，分子、分母极限均不存在，故不能用定理1.9的结论，先变形：．

例11 求.

解 当n→∞时，这是无穷多项相加，故不能直接用定理1.9的结论，先变形：．二、复合函数的极限运算法则

定理1.10 设，且当x满足0＜|x-x₀|＜δ₁时，φ（x）≠a，又，则有

证 由，对于任意给定的ε＞0，存在η＞0，当0＜u-a＜η时，有

|f（u）-A|＜ε

又因为，则对上述η＞0，存在δ₂>0，使得当0＜|x-x₀|＜δ₂时，有

|φ（x）-a|＜η

取δ=min{δ₁，δ₂}，则当0＜|x-x₀|＜δ时，有

0＜|φ（x）-a|=|u-a|＜η

故|f（φ（x））-A|=|f（u）-A|＜ε

结论成立.

若定理中，类似可证.

例12 求.

解 令，则，从而1，故