一阶微分方程
首先研究最简单的一阶微分方程，即可分离变量的微分方程.一、可分离变量的方程
可以化成形如
形式的方程称为可分离变量的微分方程.
对M（x）dx=N（y）dy两端分别积分，便得方程的通解：
∫M（x）dx=∫N（y）dy+C（C是任意常数）.
例1 求方程（1+y2）dx-x（1+x2）ydy=0的通解.
解 用x（1+x2）（1+y2）除方程两边整理得
两边积分
因为
，
，
所以
即
，或
，
通解为（1+x2）（1+y2）=Cx2.此外方程还有解x=0.
例2 设推广某项新技术时，需要推广的总人数为N，t时刻已掌握技术的人数为P（t），新技术推广速度与已推广人数和待推广人数成正比，即有微分方程
其中，k为比例常数（此方程称为自我抑制性方程也叫逻辑斯蒂增长模型，它是经济学中常遇到的数学模型），试求解该微分方程.
解 将该方程变形为
两边积分得
整理得通解
例3 某公司t年净资产有W（t）（单位：百万元），并且资产以每年5%的速度连续增长，同时该公司每年要以30（百万元）的数额连续支付职工工资.
1）给出描述净资产W（t）的微分方程；2）假设初始净资产为W0，求解微分方程；3）讨论在W0=500、600、700这3种情况下，W（t）的变化特点.
解 1）利用平衡法，
即 净资产增长速度=资产本身增长速度-职工工资支付速度得到方程
即
2）对上式两边积分，得
ln|W-600|=0.05t+lnC，于是
|W-600|=Ce0.05t，或
W-600=ae0.05t（a=±C），将W（0）=W0代入，得方程特解
W=600+（W0-600）e0.05t.
在上式推导过程中W≠600，当W=600时，有
=0，可知W=600=W0，通常称为平衡解，可见平衡解已包含在了通解之中.
3）由通解表达式可知，当W0=500时，净资产额单调递减，公司将在第36年破产；当W0=600时，公司将收支平衡，净资产将保持在600（百万元）不变；当W0=700时，净资产额将按指数不断增长.
例4 设降落伞从跳伞塔下落后，所受空气阻力与速度成正比，并设降落伞离开跳伞塔时（t=0）速度为零，求降落伞下落速度与时间的函数关系.
解 设降落伞下落速度为v（t）.降落伞在空中下落时，同时受到重力P与阻力R的作用（见图6-1）.重力大小为mg，方向与v一致；阻力大小为kv（k为比例系数），方向与v相反，从而降落伞所受外力为
F=mg-kv.
根据牛顿第二运动定律
F=ma.
（其中a为加速度），得函数v（t）应满足的方程为
按题意，初始条件为
v|t=0=0.
图6-1
方程（6-3）是可分离变量的，分离变量后得
两端积分
，考虑到mg-kv＞0，得
即
，或
这就是方程（6-3）的通解.
将初始条件v|t=0=0代入式（6-4）得
于是所求的特解为
由式（6-5）可以看出，随着时间t的增大，速度v逐渐近于常数
，且不会超过
，即跳伞后开始阶段是加速运动，但以后逐渐接近于匀速运动.
例5 有高为100cm的半球形容器，水从它的底部小孔流出，小孔横截面积为1cm2（见图6-2）.开始时容器内盛满了水，求水从小孔流出过程中容器里水面的高度h（水面与孔口中心间的距离）随时间t的变化规律，并求水流完所需的时间.
解 由物理学知识可知，水从孔口流出的流量（即通过孔口横截面的水的体积V对时间t的变化率）Q可用下列公式计算：
其中，k为流量系数，由实验测得k=0.62，S为孔口横截面的面积，g为重力加速度.
图6-2
另一方面，设在微小时间间隔[t，t+dt]内，水面高度由h降至h+dh（dh＜0），则又可得到
dV=-πr2dh （6-7）
其中，r是时刻t的水面半径（见图6-2），等式的右端置负号是由于dh＜0而dV＞0的缘故.又因为
所以式（6-7）变成
dV=-π（2h-h2）dh （6-8）
比较式（6-6）和式（6-8）两式，得
这就是未知函数h=h（t）应满足的微分方程.
此外，开始时容器内的水是满的，所以未知函数h=h（t）还应满足下列初始条件：
h|t=0=1. （6-10）
方程（6-9）是可分离变量的，分离变量后得
两端积分，得
其中，C是任意常数.
把初始条件式（6-10）代入式（6-11），得
把所得的C值代入式（6-11）并化简，得
以k=0.62，S=10-4m2，g=9.8m/s2代入上式，计算后可得
上式表达了水从小孔流出的过程中容器内水面高度h与时间t之间的函数关系.由此可知水流完所需的时间为
t=1.068×104s=2h58min.
这里还要指出，在本例是通过对微小量dV的分析得到微分方程（6-9）的，这种微小量分析的方法，也是建立微分方程的一种常用方法.
二、齐次微分方程
形如
的一阶微分方程称为齐次微分方程.
对方程
作变量代换
，则y=xu，两端对x求导数，得
又因为
于是
从而有
因此，方程
通过变量代换
可化为可分离变量的方程.两边分别积分，得
求出积分后，再用
代替u，便得方程
的通解.
例6 求微分方程
满足y（e）=2e的特解.
解 微分方程可化为
令
，则
，代入上式，得
即
两边积分，得
u2=2lnx+C，所以原方程的通解为
y2=2x2lnx+Cx2，代入初始条件，解得C=2，故所求特解为
y2=2x2lnx+2x2.
例7 求微分方程
的通解.
解 将方程改写为
，故原方程为齐次方程.作变量代换，令
，则x=uy，两端求导，得
，将上式代入方程，化简可得(https://www.daowen.com)
两端分别积分，得
或
从而得
将
代入并整理，得原方程通解
.
例8 探照灯的聚光镜的镜面是一个旋转曲面，它的形状是由Oxy坐标系上的曲线L绕x轴旋转而成的.按聚光镜性能的要求，其旋转轴（x轴）上一点O处发出的一切光线，经它反射后都与旋转轴平行.求曲线L的方程.
解 将光源所在的O点取作坐标原点（见图6-3），且曲线L位于y≥0范围内.
设点M（x，y）为L上的任意一点，点O发出的某条光线经点M反射后是一条与x轴平行的直线MS.又设过点M的切线AT与x轴的夹角为α.根据题意∠SMT=α.另一方面，∠OMA是入射角的余角，∠SMT是反射角的余角，于是由光学中的反射定律有∠OMA=∠SMT=α.从而AO=OM，但AO=AP-OP=
，而
，于是得微分方程
图6-3
把x看做因变量，y看做自变量，当y＞0时，上式即为
这就是齐次方程.令
，则x=yv，
代入上式，得
即
，分离变量，得
.
积分，得
，或
.
由
，得
，
以yv=x代入上式，得
曲线L是以x轴为轴、焦点在原点的抛物线.三、一阶线性微分方程
形如
的微分方程，称为一阶线性微分方程.其中，P（x）和Q（x）都是x的已知连续函数.
特别地，若Q（x）≡0，方程（6-12）变为
式（6-13）称为一阶线性齐次方程.
当Q（x）不恒为零时，方程（6-12）称为一阶线性非齐次方程.
1.一阶线性齐次微分方程的通解
方程（6-13）是可分离变量的方程，当y≠0时可化为
两边积分，得
故一阶线性齐次方程的通解为
2.一阶线性非齐次微分方程的通解
为求得一阶线性微分方程式（6-12）的通解，将式（6-14）中的任意常数换成未知函数C（x），即设
y=C（x）e-∫P（x）dx （6-15）
是非齐次方程式（6-12）的形式的解，将式（6-15）以及它的导数y′=C′（x）e-∫P（x）dx-C（x）·P（x）e-∫P（x）dx代入方程式（6-12）中，得
C′（x）e-∫P（x）dx-C（x）·P（x）e-∫P（x）dx+C（x）P（x）e-∫P（x）dx=Q（x）.
即
C′（x）e-∫P（x）dx=Q（x），或C′（x）=Q（x）e∫P（x）dx.
两端积分，得C（x）=∫Q（x）e∫P（x）dxdx+C1.
所以线性非齐次微分方程式（6-12）的通解为
这种求非齐次微分方程通解的方法，叫做常数变易法.式（6-16）为一阶线性非齐次微分方程的求解公式.
例9 求方程xy′+y=ex的通解.
解 对应的齐次方程为
分离变量，得
两边积分，得
令
是原方程的解，代入到非齐次方程，得C′（x）=ex，故C（x）=ex+C，
故原方程的通解为
例10 解方程
.
解 
，
，
，
，e∫P（x）dx=（x+l）2．
方程的通解为
例11 设y=ex是微分方程xy′+u（x）y=x的一个解，求此微分方程满足条件y（ln2）=0的特解.
解 将y=ex代入方程xy′+u（x）y=x，得
u（x）=xe-x-x.
所以原微分方程变为
xy′+（xe-x-x）y=x，即
方程的通解
代入初始条件，解得C=-
，故所求特解为
例12 设f（x）为连续函数，且满足
,求f（x）.
解 方程两边对x求导，得
f′（x）=ex+f（x），即
f′（x）-f（x）=ex.
若记y=f（x），则上式变为
y′-y=ex，这是一阶线性非齐次微分方程，P（x）=-1，Q（x）=ex，由求解公式可得
f（x）=（x+C）ex.
由于在原方程中，有f（0）=1，代入上式，得C=1，于是有
f（x）=（x+1）ex.
例13 某商品在t时刻的售价为P，社会对该商品的需求量和供给量分别是关于P的函数Q（P）和S（P），则在t时刻的价格P（t）对于时间t的变化率可以认为与该商品在同一时刻的超额需求量Q（t）-P（t）成正比（设比例系数为k），即有关系式
若Q（P）=c-dP，S（P）=-a+bP，这里a，b，c，d都是已知正的常数，且初始价格为P（0），试求价格P（t）的表达式.
解 将Q（P）=c-dP，S（P）=-a+bP代入
=k[Q（P）-S（P）]中，并整理，得
，
若记m=k（a+c），n=k（b+d），则上式变为
容易求得该方程的通解为
由初始价格P（0）=P0，则得价格P（t）的表达式为
例14 假设某公司的净资产因资产本身产生了利息而以5%的年利率增长，同时，该公司还必须以每年200百万元的数额连续地支付职员工资.
1）求出描述公司净资产w（以百万元为单位）的微分方程；
2）解上述微分方程，这里假设初始净资产为w0（百万元）.
解 1）现在用分析法来解此问题.为给净资产建立一个微分方程，将使用下面这一事实，即
净资产增长的速度=利息盈取速度-工资支付率.
以每年百万元为单位，利息盈取的速率为0.05w，而工资的支付率为每年200万元，于是我们有
.其中，t以年为单位.
2）分离变量，有
，
积分得ln|w-4000|=0.05t+C，
于是w-4000=Ae0.05t，A=±eC.
当t=0时w=w0，有A=w0-4000，代入解中，得
w=4000+（w0-4000）e0.05t.四、可化为一阶线性方程的方程——伯努利（Bernoulli）方程
形如
y′+P（x）y=Q（x）yα（α为常数，且α≠0，1）的微分方程称伯努利方程.
将方程两端除以yα，得到
y-αy′+P（x）y1-α=Q（x）.
令y1-α=z，有
这是一个线性方程，可以求解.求出z之后，再用y带回，即得伯努利方程的解.
例15 求解微分方程
.
解 这是一个伯努利方程，令z=y-2，则有
.
这是一阶线性方程，解之得z=e-x2（2x+C），
将z换成y-2，即得原方程的通解为y2=ex2（2x+C）-1.