泰勒公式

2025年09月26日

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第三节泰勒公式

多项式函数是一类很重要的函数，其明显特点是计算和结构都很简单，因此无论是数值计算还是理论分析都比较方便.用多项式近似地表示给定函数的问题不仅具有理论价值，而且更具有实用价值.事实上，当x很小时，e^x≈1+x，ln（1+x）≈x都是用一次多项式来表示函数的例子.

但是这种近似表示还存在着不足之处：首先是精确度不高，它所产生的误差仅是关于x的高阶无穷小；其次是用它来做近似计算时，不能具体估算出误差大小.因此，对于精确度要求较高且需要顾及误差的情况，就必须用高次多项式来近似表达函数，同时给出误差公式.

于是提出如下的问题：寻找多项式函数P（x），使得f（x）≈P（x），误差R（x）=f（x）-P（x）可估计.

设函数f（x）在含有x₀的开区间（a，b）内有直到（n+1）阶导数，P（x）为多项式函数P_n（x）=a₀+a₁（x-x₀）+a₂（x-x₀）2+…+a_n（x-x₀）n.

假设P_n（k）（x₀）=f（k）（x₀），k=0，1，2，…，n

即a₀=f（x₀），1·a₁=f′（x₀），2！a₂=f″（x₀），…，n！a_n=f（n）（x₀）

得（x₀）（k=0，1，2，…，n）.

代入P_n（x）中得，

下面的定理表明，在满足一定条件下，式（3-1）就是所要找的n次多项式.

定理3.6 （泰勒中值定理）设f（x）在含x₀点某开区间（a，b）内具有直到n+1阶导数，则对任意x∈（a，b），有

其中

这里ξ是x₀与x之间的某个值.

证 R_n（x）=f（x）-P_n（x）.只需证明（这里ξ是x₀与x之间的某个值）

由题设可知，R_n（x）在（a，b）内具有直到n+1阶的导数，且

R_n（x₀）=R′_n（x₀）=R″_n（x₀）=…=R_n（n）（x₀）=0.

对两个函数R_n（x）及（x-x₀）n+1在以x₀和x为端点的区间上应用柯西中值定理（显然，这两个函数满足柯西中值定理的条件），得（这里ξ₁在x₀与x之间），再对两个函数R_n′（x）及（n+1）（x-x₀）n在以x₀和ξ₁为端点的区间上应用柯西中值定理，得（这里ξ₂在x₀与ξ₁之间），如此继续下去，经过n+1次后，得（这里ξ在x₀与ξ_n之间，因而也在x₀与x之间），注意到R_n（n+1）（x）=f（n+1）（x）（因P_n（n+1）（x）=0），则由上式得（这里ξ在x₀与x之间），定理证毕.