第四节微分

2025年09月26日

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第四节微分

一、微分的概念

1.引例

一块正方形金属薄片受温度变化的影响，边长由x₀变到x₀+Δx，此薄片面积改变了多少？

如图2-3所示，设薄片边长为x，面积为A，则A=x²，当x在x₀取得增量Δx时，面积的增量ΔA=（x₀+Δx）²-x₀²=2x₀Δx+（Δx）².

ΔA包括两部分，第一部分2x₀Δx是Δx的线性函数，第二部分（Δx）2为Δx的高阶无穷小.因此，当Δx很小时，就可以用2x₀Δx来近似代替ΔA.用微分dA来表示，记作dA=2x₀Δx.

图2-3

2.微分

定义2.3 设函数y=f（x）在x₀的某个邻域内有定义，若函数y=f（x）在x₀的改变量Δy与自变量x的改变量Δx满足

Δy=AΔx+ο（Δx）其中，A是与Δx无关的常数，则称函数y=f（x）在点x₀处可微，AΔx称为函数f（x）在点x₀处的微分，表示为dy=AΔx或df（x₀）=AΔx.

dy通常也称为Δy的线性主部.

二、可微与可导的关系

定理2.6 函数y=f（x）在x₀可微的充分必要条件是函数y=f（x）在x₀可导，且A=f′（x₀）.即

dy=f′（x₀）Δx.

证先证必要性.

设函数f（x）在x₀可微，即Δy=AΔx+ο（Δx），其中，A是与Δx无关的常数，两边同除以Δx，得，有，

所以函数y=f（x）在x₀可导，且A=f′（x₀）.

再证充分性.

设函数y=f（x）在x₀可导，即

则，α→0（当Δx→0时）.

从而Δy=f′（x₀）Δx+αΔx=f′（x₀）Δx+ο（Δx），其中，f′（x₀）是与Δx无关的常数，ο（Δx）是比Δx高阶的无穷小，于是函数f（x）在x₀可微，且A=f′（x₀）.

若对于函数y=x求微分，可得

dy=dx=（x）′·Δx=Δx.

于是函数f（x）在点x处的微分又可写作dy=f′（x）dx或.在这个意义下，导数又叫做微商.

三、几何意义

如图2-4所示，PM是曲线y=f（x）在点P（x₀，f（x₀））处的切线.已知切线PM的斜率tanφ=f′（x₀）.

由此可见，dy=MN是曲线y=f（x）在点P（x₀，y₀）的切线PM的纵坐标的增量.因此，用dy近似代替Δy，就是用在点P（x₀，y₀）处切线的纵坐标的增量MN近似代替函数f（x）的增量QN，QM=QN-MN=Δy-dy=ο（Δx）.

图2-4

四、微分法则

由dy=f′（x）dx，求微分dy，只要求出导数f′（x），再乘以dx即可.由导数公式和运算法则可相应地得到微分公式和微分运算法则：

1）dc=0 2）d（x^μ）=μx^μ-1dx；3）d（sinx）=cosxdx；4）d（cosx）=-sinxdx；5）d（tanx）=sec²xdx；6）d（cotx）=-csc²xdx；7）d（secx）=secx·tanxdx；8）d（cscx）=-cscx·cotxdx；9）d（a^x）=a^xlnadx；10）d（e^x）=e^xdx；11）；12）；13）；14）；15）；16）；17）d（u±v）=du±dv；18）d（uv）=vdu+udv；19）.