定积分的概念和性质

第一节 定积分的概念和性质

一、引例

1.曲边梯形的面积

设函数y=f（x）在闭区间[a，b]上非负且连续，则曲线y=f（x）与直线x=a，x=b，y=0围成的图形（见图5-1）称为曲边梯形.求其面积A的基本思想是在很小的区间上用小矩形面积近似代替小梯形面积.

图5-1

第一步：分割.

用一串分点a=x₀＜x₁＜…＜x_n=b，把[a，b]分成n个小区间，过每个分点作x轴的垂线段，相应地把曲边梯形分成n个小曲边梯形，其中，第i个小曲边梯形为

x_i-1≤x≤x_i，0≤y≤f（x），记它们的面积依次为

ΔA₁，ΔA₂，…，ΔA_n.

第二步：取近似.

在每个小区间[x_i-1，x_i]上任取一点ξ_i，以区间[x_i-1，x_i]的长为底，f（ξ_i）为高的小矩形的面积应为第i个小曲边梯形面积的近似值，即

ΔA_i≈f（ξ_i）Δx_i.

第三步：作和.

将n个小矩形的面积相加，得到曲边梯形面积A的近似值，即

第四步：求极限（由近似过渡到精确）.

显然上述过程划分得越细，近似效果越好，为保证每个小区间的长度都无限小，记

于是，令λ→0（这时小区间的个数n无限增多，即n→∞），如果上述和式极限存在，则此极限值就是曲边梯形的面积，即

2.变速直线运动的路程问题

设物体作变速直线运动，其速度v是时间t的函数v=v（t），下面计算该物体从时刻a到时刻b经过的路程s.

第一步：分割.

用一串分点a=t₀＜t₁＜…＜t_n=b，把[a，b]分成n个小区间[t_j-1，t_j]，小区间长度记为Δt_j=t_j-t_j-1（j=1，2，…，n），各时间段内物体运动的路程依次为

Δs₁，Δs₂，…，Δs_n.

第二步：取近似.

在[t_j-1，t_j]上任取一点τ_j，以时刻τ_j的速度v（τ_j）近似代替[t_j-1，t_j]上的速度，则在Δt_j时间内物体经过的路程Δs_j的近似值为

Δs_j≈v（τ_j）Δt_j.

第三步：作和.

将n个时间段的路程近似值相加，便得到总路程s的近似值：

第四步：求极限.

记，令λ→0，如果上述和式极限存在，则此极限值就是总路程s

的精确值，

即

二、定积分的定义

上面的两个例子，前者是几何量，后者为物理量，虽然问题不同但解决的方法是相同的，都是通过“分割、近似、作和、求极限”这四个步骤化为具有同一数学结构的和式极限.抛开问题的实际意义，保留其数学结构，便可抽象出定积分的概念.

定义5.1 设f（x）在区间[a，b]有定义，在[a，b]内任意插入n-1个分点：a=x₀＜x₁＜x₂＜…＜x_n-1＜x_n=b，将[a，b]分成n个小区间：[x₀，x₁]，[x₁，x₂]，…，[x_i-1，x_i]，…，[x_n-1，x_n]，第i个小区间[x_i-1，x_i]的长度表示为Δx_i=x_i-x_i-1，记λ₁=≤i^m≤n^ax{Δx_i}在[x_i-1，x_i]中任取一点ξ_i（i=1，2，3，…，n），作和f（ξ_i）Δx_i.如果当λ→0时，S趋于确定的极限I，且I与分法无关，也与ξ_i在[x_i-1，x_i]中的取法无关，则称f（x）在[a，b]上可积，极限I称为f（x）在[a，b]上的定积分，记作∫^b_af（x）dx，即

其中，f（x）叫做被积函数，f（x）dx叫做被积表达式，x叫做积分变量，a与b叫做积分下限与积分上限.

如果当λ→0时，积分和S不存在极限，则称f（x）在[a，b]上不可积.

注：1）定积分的值只与被积函数f（x）以及积分区间[a，b]有关，而与积分变量用什么字母表示无关，即

2）被积函数f（x）在区间[a，b]上有界只是可积的必要条件，关于可积的充分条件只给出如下三个结论，而不作深入研究.

定理5.1 若函数f（x）在区间[a，b]上连续，则f（x）在区间[a，b]上可积.

定理5.2 若函数f（x）在区间[a，b]上有界，且只有有限个间断点，则f（x）在区间[a，b]上可积.

定理5.3 若函数f（x）在区间[a，b]上是单调的，则f（x）在区间[a，b]上可积.

3）为计算和使用方便，作如下规定：

规定1 当a=b时，∫^b_af（x）dx=∫^a_af（x）dx=0；

规定2 当a＞b时，∫^b_af（x）dx=-∫^a_bf（x）d_x.

4）根据定积分的定义，前面两个引例中，曲边梯形的面积A用定积分可表示为

A=∫^b_af（x）dx.变速直线运动的路程s用定积分可表示为

s=∫^bav（x）dx.三、定积分的几何意义

若在[a，b]上，f（x）≥0，则定积分∫^b_af（x）dx表示由曲线y=f（x），x轴及直线x=a，x=b所围成的曲边梯形的面积.

若f（x）≤0，则定积分∫^b_af（x）dx表示上述曲边梯形的面积的相反数.

若函数f（x）在[a，b]上有正有负，则定积分∫^b_af（x）dx表示各部分面积的代数和.如图5-2所示.

图5-2

例1 计算定积分.

解 由定积分的几何意义知，该积分值等于由x=0，x=a，y=0和y=所围半径为a的四分之一圆的面积，

即

例2 计算定积分

解 因为f（x）=sinx在[a，b]上连续，故sinx在[a，b]上可积，因此可以对[a，b]采用特殊的分法，以及选取特殊的点ξ_i，取极限f（ξ_i）Δx_i，即得到积分值.

将[a，b]n等分，则，取，i=1，2，…，n则有

为了书写方便，令，利用积化和差公式有

所以

四、定积分的基本性质

在下面讨论中，总假设函数在所讨论的区间上都是可积的.

性质1 ∫^b_a[f（x）±g（x）]dx=∫^b_af（x）dx±∫^b_ag（x）dx.

证

性质2 （k为常数）.

性质3（积分区间的可加性） 如果将积分区间分成两部分，则在整个区间上的定积分等于这两部分区间上定积分之和，设a＜c＜b，则

证 因为函数f（x）在[a，b]上可积，所以不论把[a，b]怎样划分，也不论ξ_i怎样选取，当λ→0时，积分和的极限都是不变的，所以可以选取c（a＜c＜b）永远是个分点

即

推广 不论a，b，c的相对位置如何，总有等式

成立.例如，当a＜b＜c时，由于

则

性质4 如果在闭区间[a，b]上f（x）≡1，则

性质5 如果在闭区间[a，b]上f（x）≥0，则

证 .

因为f（x）≥0，故f（ξ_i）≥0（i=1，2，…，n），又因为Δx_i≥0（i=1，2，…，n），因此

所以

即

推论5.1 如果在闭区间[a，b]上，f（x）≤g（x），则

推论5.2

性质6 设M和m分别是函数f（x）在闭区间[a，b]上的最大值和最小值，则

证 因为m≤f（x）≤M，由推论5.1得

再由性质2及性质4可得

性质7 如果函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，则在积分区间[a，b]上至少存在一点ξ，使下式成立

证 因f（x）在[a，b]上连续，故必存在最大值M与最小值m，由性质6，有

这说明，介于M与m之间，根据闭区间上连续函数的介值定理（第一章第七节定理1.22），在区间[a，b]内存在一点ξ，使得函数f（x）在点ξ处的值与这个值相等，

即

此性质称为积分中值定理

积分中值定理有其明显的几何意义：

设f（x）≥0，由曲线y=f（x），x轴及直线x=a，x=b所围成的曲边梯形的面积等于以区间[a，b]为底，某一函数值f（ξ）为高的矩形面积（见图5-3）.

称为函数f（x）在区间[a，b]上的平均值.

图5-3