不定积分的概念与性质

第一节 不定积分的概念与性质

一、原函数与不定积分

定义4.1 设f（x）是定义在区间I上的函数，如果存在函数F（x），对于任意x∈I，都有

F′（x）=f（x）或dF（x）=f（x）dx

则称函数F（x）为函数f（x）在区间I上的一个原函数.

例如，因为（sinx）′=cosx，则sinx是cosx的原函数.

又因为（sinx+1）′=cosx，所以sinx+1也是cosx的原函数.

由此例可以看出，一个函数若有原函数，则原函数可以不止一个.

实际上，若函数F（x）为函数f（x）的一个原函数，即F′（x）=f（x），则（F（x）+C）′=f（x）（其中，C为任意常数），所以F（x）+C都是f（x）的原函数.

所以，函数f（x）的原函数有无穷多个.

另一方面，如果F（x），G（x）为函数f（x）在区间I上的任意两个原函数，即[F（x）]′=f（x），[G（x）]′=f（x），则[G（x）-F（x）]′=G′（x）-F′（x）=f（x）-f（x）=0所以G（x）-F（x）=C，即G（x）=F（x）+C.

所以，函数f（x）的任意两个原函数仅相差一个常数.

定义4.2 函数f（x）的所有原函数称为f（x）的不定积分，记作∫f（x）dx.其中，∫称为积分号，f（x）称为被积函数，f（x）dx称为被积表达式，x称为积分变量.

因此，若F（x）是f（x）的一个原函数，那么∫f（x）dx=F（x）+C.

例1 求.

解 由于，所以arctanx是的一个原函数，因此

例2 求函数的不定积分.

解 当x＞0时，由，得

当x＜0时，由，得

综合两种情况，可得

二、不定积分的性质

由于求不定积分是求导数或微分的逆运算，故有如下性质：

[∫f（x）dx]′=f（x）或d[∫f（x）dx]=f（x）dx；∫F′（x）dx=F（x）+C或∫dF（x）=F（x）+C.

由导数运算的线性性质，还可以得到如下性质：

1）∫[f（x）+g（x）]dx=∫f（x）dx+∫g（x）dx；2）∫kf（x）dx=k∫f（x）dx（k为常数，k≠0）.

证 1）[∫f（x）dx+∫g（x）dx]′=[∫f（x）dx]′+[∫g（x）dx]′=f（x）+g（x）.

推广之，有限个函数的和也有这一性质.

2）类似可证.

此外，至于函数f（x）在什么条件下才有原函数，将在下一章给出说明，先给出结论：

若函数f（x）在某一区间上连续，则在此区间上f（x）的原函数一定存在.

三、基本积分公式

因为求不定积分是求导数的逆运算，则由基本导数公式对应地可以得到基本积分公式：

1）∫kdx=kx+C（k是常数）；2））；3）；4）；5）；6）∫e^xdx=e^x+C；7）；8）∫cosxdx=sinx+C；9）∫sinxdx=-cosx+C；10）∫sec²xdx=tanx+C；11）∫csc²xdx=-cotx+C；12）∫secxtanxdx=secx+C；13）∫cscxcotxdx=-cscx+C.

例3 求.

解

例4 求.

解

例5 求.

解

例6 求.

解

四、不定积分的几何意义

由于函数f（x）的不定积分F（x）+C中含有任意常数，因此在几何上，对于每一个确定的常数值C，都相应地有一条曲线，称为f（x）的积分曲线.显然这样的曲线有无数条，它们可以由曲线y=F（x）沿y轴方向上下移动而得到，称为f（x）的积分曲线族（见图4-1）.

图4-1

积分曲线族中的每一条曲线，对应于同一横坐标x=x₀处有相同的斜率f（x₀），则在x=x₀处它们的切线互相平行（见图4-1）.

例7 已知曲线在点P（x，y）的切线斜率，且曲线经过点，求此曲线方程.

解 设曲线方程为y=f（x），由假设，有

即，C为常数.

由于曲线经过点，以此点坐标代入方程，得，解得C=2.

因此所求方程为（见图4-2）.

图4-2