导数的运算

第二节 导数的运算

一、导数的四则运算

定理2.3 若函数u（x）与v（x）可导，则

1）函数u（x）±v（x）可导，且[u（x）±v（x）]′=u′（x）±v′（x）；2）函数u（x）v（x）可导，且[u（x）v（x）]′=u（x）v′（x）+u′（x）v（x）；3）函数可导（v（x）≠0），且.

证 只证2），其余类似可证.

设y=u（x）v（x），有

Δy=u（x+Δx）v（x+Δx）-u（x）v（x）=u（x+Δx）v（x+Δx）-u（x+Δx）v（x）+u（x+Δx）v（x）-u（x）v（x）=u（x+Δx）[v（x+Δx）-v（x）]+v（x）[u（x+Δx）-u（x）]=u（x+Δx）Δv+v（x）Δu

由定理2.2可知函数u（x）连续，即.则

即函数u（x）v（x）可导，且[u（x）v（x）]′=u（x）v′（x）+u′（x）v（x）.

推论2.1 若函数u₁（x），u₂（x），…，u_n（x）都可导，则函数

也可导，且[u₁（x）±u₂（x）±…±u_n（x）]′=u′₁（x）±u₂′（x）±…±u_n′（x）.

推论2.2 若函数u₁（x），u₂（x），…，u_n（x）都可导，则函数u₁（x）u₂（x）…u_n（x）也可导，且

[u₁（x）u₂（x）…u_n（x）]′=u′₁（x）u₂（x）…u_n（x）+u₁（x）u₂′（x）…u_n（x）+…+u₁（x）u₂（x）…u_n′（x）.

特别地，当v（x）=C是常数时，有[Cu（x）]′=Cu′（x）+u（x）（C）′=Cu′（x）.

例1 设.

解

例2 设f（x）=xsinx·lnx，求f′（x）.

解

例3 求正切函数tanx与余切函数cotx的导数.

解

类似地，有（cotx）′=-csc²x.

例4 求正割函数secx与余割函数cscx的导数.

解

类似地，有（cscx）′=-cotx·cscx.

二、反函数求导法则

定理2.4 若函数f（x）在x的某邻域连续，且严格单调，函数y=f（x）在x可导，且f′（x）≠0，则它的反函数x=φ（y）在y（y=f（x））可导，且.

证 由定理1.1可知，函数y=f（x）在x的某邻域存在反函数x=φ（y）.

由于函数y=f（x）在x的某邻域内连续和严格单调，所以它的反函数x=φ（y）在y的某邻域内也连续和严格单调，且有Δy→0⇔Δx→0，Δy≠0⇔Δx≠0，则

故命题成立.

由于y=f（x）与x=φ（y）互为反函数，上述公式也可以写成.

例5 求指数函数y=a^x（a＞0，且a≠1）的导数.

解 已知指数函数y=a^x是对数函数x=log_ay的反函数，则

即（a^x）′=a^xlna.

特别地，（e^x）′=e^xlne=e^x.

例6 求y=arcsinx的导数.

解 由于y=arcsinx（x∈[-1，1]）的反函数是，则

类似地，有.

三、基本初等函数的求导公式

综上所述，列出如下基本公式，它们是导数运算的基础.

1）（C）′=0；2）（x^μ）′=μx^μ-1；3）（sinx）′=cosx；4）（cosx）′=-sinx；5）（tanx）′=sec²x；6）（cotx）′=-csc²x；7）（secx）′=secx·tanx；8）（cscx）′=-cscx·cotx；9）（a^x）′=a^xlna；10）（e^x）′=e^x；11）；12）；13）；14）；15）；16）.

四、复合函数的导数

定理2.5 若函数u=g（x）在x可导，函数y=f（u）在相应的点u（u=g（x））可导，则复合函数y=f（g（x））在x也可导，且

证 当Δu≠0时，有

因为u=g（x）在x可导，则u=g（x）在x必连续，所以当Δx→0时，Δu→0.

因此

于是有.

当Δu=0时，可以证明该定理仍然成立.

重复使用此定理，显然可以推广到有限次复合.以三个函数为例，若y=f（u），u=φ（v），v=ψ（x）都可导，则

{f[φ（ψ（x））]}′=f′（u）·φ′（v）·ψ′（x）.

例7 求的导数.

解 可看成是由y=arctanu与复合而成，则

例8 求y=x^μ（μ为常数）的导数.

解 y=x^μ=e^μlnx是由y=e^u，u=μ·v，v=lnx复合而成的，则

例9 求的导数.

解

例10 求的导数.

解

五、隐函数的导数

若由方程F（x，y）=0可确定y是x的函数，则称此函数为隐函数.

由y=f（x）表示的函数，称为显函数.

例如，方程5x²+4y-1=0确定的隐函数，可显化为函数.但是，方程e^y+xy-e=0所确定的隐函数y=f（x）却不能被显化.

例11 求由方程e^y+xy-e=0所确定的隐函数y=f（x）的导数.

解 方程两边对x求导（注意y是x的函数），得

即

从而.

例12 求椭圆，在点处的切线方程.

解 方程两边对x求导，得

所以.

故切线方程为

即.

例13 求函数的导数.

解 等号两端取对数（假设x＞4），得

上式两端对x求导，得

于是.

当x＜1时，y=；当2＜x＜3时，；用同样的方法可得与上面相同的结果.

这种先取对数然后再求导的方法称为对数求导法.

例14 求函数y=x^sinx（x＞0）的导数.

解 这种函数称为幂指函数，需用对数求导法来求它的导数.两边取对数后化为隐函数，得

lny=sinx·lnx

两边对x求导，得

所以.六、参数方程的导数

若参数方程

可确定y是x的函数，x=φ（t）与y=ψ（t）都可导，且φ′（t）≠0，如果x=φ（t）存在反函数t=φ^-1（x），则y=ψ（φ^-1（x）），有

例15 已知，求.

解 .

例16 求摆线在处的切线方程.

解

所以

当时，，y=a，

所以切线方程为，

即.