有理函数积分

第四节 有理函数积分

一、有理函数的积分

两个多项式的商称为有理函数，又称有理分式.

其中，P_n（x）、Q_m（x）分别是关于x的n次和m次的实系数多项式.

当n＜m时，称为有理真分式，否则称为有理假分式.对于有理假分式，由于n≥m，应用多项式的除法，可得

其中，r（x）是多项式，而P_l（x）是次数小于Q_m（x）的多项式.

即有理假分式总能化为多项式与有理真分式之和.多项式的积分容易求得，故只需讨论有理真分式的积分.

设有理真分式，若分母Q_m（x）因式分解为

Q_m（x）=a₀（x-a）_α（x-b）_β…（x²+px+q）_λ…（x²+rx+s）_μ…

其中，α，β，…，λ，μ，…是正整数，各二次多项式无实根，则R（x）可唯一地分解成下面形式的分式之和.

其中，A₁，A₂，…；B₁，B₂，…；M₁，M₂，…；N₁，N₂，…；R₁，R₂，…；S₁，S₂，…都是实常数，可以由待定系数法确定.

这样，求有理真分式的积分最终归结为求下面四类最简分式的积分：

1）；2）；3）；4）.

其中，A、B、C、a、p、q均为常数，且二次式x²+px+q无实根.

例1 求.

解 设，由x-4=A（x-1）+B（x+2）=（A+B）x+2B-A，有，解得，故，从而.

例2 求.

解 因为x³+x=（x²+x+2）（x-1）+2，所以，则.

例3 求.

解 .

例4 求.

解 设，解得A=1，B=-1，C=-2，D=-3，E=-4，有，于是.

分别求上式等号右端的每一个不定积分：，’’

由4.3节例8的递推公式有.

所以

于是二、可化为有理函数的积分

例5 求.

解 由三角函数的万能公式可知，sinx和cosx都可表示为的有理式，令，则有x=2arctant，，，

则.

例6 求

解 令

例7 求.

解 设，则

例8 求.

解 为了能同时消去两个根式和，设，则dx=6t⁵dt，

例9 求.

解 令，则，，

例10 求.

解 设，则