二阶常系数线性齐次微分方程的解法

第四节 二阶常系数线性齐次微分方程的解法

一、线性微分方程解的性质与解的结构

1.n阶线性微分方程

形如y^（n）+p₁（x）y^（n-1）+…+p_n-1（x）y′+p_n（x）y=f（x）的方程称为n阶线性微分方程.其中，p₁（x），…，p_n（x），f（x）都是x的连续函数.

若f（x）≡0，则称为n阶线性齐次方程.反之，称为n阶线性非齐次方程.

当n=2时，方程变为二阶线性微分方程

y″+p₁（x）y′+p₂（x）y=f（x）.

下面以二阶线性微分方程为例讨论二阶线性微分方程的性质及解法.

2.二阶线性齐次方程解的性质

定理6.1 设y₁，y₂是二阶线性齐次方程的两个解，则y₁与y₂的线性组合

y=c₁y₁+c₂y₂

也是该方程的解.其中c₁、c₂是任意常数.

证 由假设有y″₁+p₁（x）y′₁+p₂（x）y₁≡0，y″₂+p₁（x）y₂′+p₂（x）y₂≡0，将y=C₁y₁+C₂y₂代入y″+p₁（x）y′+p₂（x）y=0，有

（C₁y₁+C₂y₂）″+p₁（x）[C₁y₁+C₂y₂]′+p₂（x）[C₁y₁+C₂y₂]=C₁[y″+p₁（x）y′₁+p₂（x）y₁]+C₂[y″₂+p₁（x）y₂′+p₂（x）y₂].

由于上式右端方括号中的表达式都恒等于零，因而整个式子恒等于零，即y=C_1y1+C₂y₂是方程的解.

如果不恒等于非零常数，称为y₁（x）与y₂（x）线性无关的，否则称y₁（x）与y₂（x）线性相关.

例1 函数y₁=e^x与y₂=e^-x在任意区间上都是线性无关的.

事实上，比式常数，在任意区间上都成立.

定理6.2 如果y₁（x）与y₂（x）是齐次方程的两个线性无关的解，则

y=C₁y₁+C₂y₂是该齐次方程的通解.

例2 由函数y₁=x与y₂=x²是方程x²y″-2xy′+2y=0（x>0）的解，易知y₁与y₂线性无关，所以方程的通解为y=C₁x+C_2x².

3.线性非齐次方程解的结构

定理6.3 设y₁（x）是非齐次方程的一个特解，y₂（x）是相应的齐次方程的通解，则Y=y₁（x）+y₂（x）是非齐次方程的通解.

证 因为y₁（x）是非齐次方程的解，即

y″₁+p₁（x）y′₁+p₂（x）y₁=f（x），又因为y₂（x）是相应的齐次方程的解，即

y″₂+p₁（x）y₂′+p₂（x）y₂=0，对于Y=y₁+y₂有

因此y₁+y₂是方程是非齐次方程的解.又因为y₂是方程对应齐次方程的通解，故y₁+y₂也含有两个任意常数，所以它是非齐次方程的通解.

定理6.4 （叠加原理）设y₁（x）与y₂（x）分别是方程

y″+p₁（x）y′+p₂（x）y=f₁（x）

和

y″+p₁（x）y′+p₂（x）y=f₂（x）的解，则y₁（x）+y₂（x）是方程y″+p₁（x）y′+p₂（x）y=f₁（x）+f₂（x）的解.二、二阶常系数线性齐次微分方程的解法

y″+py′+qy=0的特点：左端是y″，py′和qy三项之和，而右端为零.

什么样的函数具有这个特征呢？读者自然会想到指数y=e^rx（r为待定常数）.将y=e^rx，y′=re^rx和y″=r²e^rx代入方程

y″+py′+qy=0，有

r²e^rx+pre^rx+qe^rx=0，即

e^rx（r²+pr+q）=0.

因为e^rx≠0，故必然有r²+pr+q=0.这是一元二次方程，它有两个根

因此，只要r₁和r₂分别为方程r²+pr+q=0的根，则y=e^r1x和y=e^r2x就都是方程y″+py′+qy=0的特解.代数方程r²+pr+q=0称为微分方程y″+py′+qy=0的特征方程，它的根称为特征根.

下面分三种情况讨论齐次方程的通解.

1.特征方程有两个相异实根r₁和r₂的情形

这时y₁=e^r1x和y₂=e^r2x就是齐次微分方程的两个特解，由于=e（r₁^-r2）x≠

常数，所以y₁、y₂线性无关，故齐次微分方程的通解为y=c₁e^r1x+c_2e^r2x.

例3 求y″+3y′-4y=0的通解.

解 特征方程为r²+3r-4=（r+4）（r-1）=0，

特征根为r₁=-4，r₂=1.

故方程的通解为y=C₁e^-4x+C_2e^x.

2.特征方程有两个相等实根r=r₁=r₂的情形

这时仅得到齐次微分方程一个特解y₁=e^rx，要求通解还需找一个与y₁=e^rx线性无关的特解y₂.

令=u（x），其中，u（x）为待定函数.即y₂=u（x）e^rx，则y₂′=e^rx[ru（x）+u′（x）]，y″₂=e^rx[r²u（x）+2ru′（x）+u″（x）]，

代入齐次微分方程，整理后得e^rx[u″（x）+（2r+p）u′（x）+（r²+pr+q）u（x）]=0.

因为e^rx≠0，且r为特征方程的二重根，故r²+pr+q=0且2r+p=0，于是上式成为u″（x）=0.取u（x）=x，则满足u″（x）=0，且=x≠常数.故齐次微分方程的通解为

y=C₁e^rx+C₂xe^rx=e^rx（C₁+C₂x）.

例4 求方程满足初始条件：的特解.

解 特征方程为r²+2r+1=0，特征根为r₁=r₂=-1，故方程通解为

s=e^-t（C₁+C₂t）.以初始条件s_t=0=4代入上式，得C₁=4，从而

s=e^-t（4+C₂t）.由，

将代入上式，得-2=C₂-4，有C₂=2.

所求特解为s=e^-t（4+2t）.

3.特征方程有共轭复根r₁=α+iβ，r₂=α-iβ的情形

容易验证e^αxcosβx、e^αxsinβx也是齐次微分方程的特解，且它们是线性无关的.

因此齐次微分方程的通解为

y=e^αx[C₁cosβx+C₂sinβx].

例5 求无阻尼自由振动的微分方程的通解.

解 特征方程为r²+ω²=0，它有两个复根r=±iω，故方程的通解为

x=C₁cosωt+C₂sinωt.

三、二阶常系数线性非齐次微分方程的解法

形如y″+py′+qy=f（x）（f（x）≠0）的方程称为二阶常系数线性非齐次微分方程.

由二阶线性非齐次微分方程解的结构定理知，只要求出它的一个特解和它对应相应的齐次方程的通解即可.

求非齐次方程的一个特解的方法如下.

1）若方程y″+py′+qy=f（x）的右端是f（x）=ϕ（x）e^αx的形式，则方程具有形如y^∗（x）=x^kQ（x）e^αx的特解，其中，Q（x）是与ϕ（x）同次的多项式，如果α是对应齐次方程的特征根，则式中的k是α的重数，如果α不是特征根，则k=0.

2）若方程y″+py′+qy=f（x）的右端是f（x）=（Acosβx+Bsinβx）e^αx的形式，则方程具有形如y^∗（x）=x^k（Ecosβx+Fsinβx）e^αx的特解，其中，E和F是待定系数，如果α+iβ是对应齐次方程的特征根，则式中的k=1，否则k=0.

例6 求2y″+y′+5y=x²+3x+2的一特解.

解 α=0，不是对应齐次方程的特征根，令方程的特解为

y^∗（x）=ax²+bx+c（其中a，b，c是待定系数）.

则将y^∗′=2ax+b，y^∗″=2a，代入原方程，得

4a+（2ax+b）+5（ax²+bx+c）=x²+3x+2，或

5ax²+（2a+5b）x+（4a+b+5c）=x²+3x+2，比较系数得到方程组

解上面的方程组，得

所以方程的特解为

例7 求y″-3y′+2y=xe^x的通解.

解 与所给方程对应的齐次方程的特征方程为λ²-3λ+2=0，其根为λ₁=2，λ₂=1，因此对应齐次方程的通解为C₁e^2x+C_2e^x.

再求非齐次方程的特解，因α=1是特征方程的一重根，故设特解为

y^∗=x（ax+b）e^x，将y^∗及y^∗′，y^∗″代入非齐次方程得

-2ax+（2a-b）=x，比较系数得到方程组，解得.

非齐次方程的特解为.

所以原方程的通解为.

例8 写出y″+6y′+9y=5e^-3x的特解形式和通解形式.

解 特征方程λ²+6λ+9=0的特征根为λ₁=λ₂=-3.因为α=-3为特征方程的二重根，故特解形式为y^∗（x）=Ax²e^-3x，通解形式为Y=（C₁+C₂x）e^-3x+Ax²e^-3x

例9 求解方程y″+4y=2cos2x的通解.

解 对应齐次方程的特征方程为

λ²+4=0，特征根为λ=±2i，于是对应齐次方程通解为

y=C₁cosx+C₂sinx.

因为α+iβ=0+2i是特征根，故设特解为y^∗=x（acos2x+bsin2x），代入原方程，得

4bcos2x-4asin2x=2cos2x.

比较系数得于是

因此原方程的通解为

例10 求解方程y″-y=3e^2x+2cos2x.

解 由定理6.3，可先将原方程分解为y″-y=3e^2x和y″-y=2cos2x，这两个方程的特解为

所以所求特解为

于是所求方程的通解为