函数图形的描绘
一、渐近线
首先介绍曲线的渐近线，它规范着无穷远处函数曲线的走向.
定义3.5 若曲线上的一点沿着曲线趋于无穷远处时，该点到某直线的距离趋于零，则称此直线为曲线的渐近线.
按直线的走向，渐近线可分为3种，即水平渐近线、铅直渐近线和斜渐近线.
1）水平渐近线：平行于x轴的渐近线称为水平渐近线.
设曲线y=f（x）的定义域是无限区间，若
或
（b为常数），则y=b就是曲线y=f（x）的一条水平渐近线.
2）铅直渐近线：垂直于x轴的渐近线叫做铅直渐近线.
若
或
，则直线x=x0就是曲线y=f（x）的一条铅直渐近线.
例1 求曲线
的水平和铅直渐近线.
解 因为
，所以y=2为曲线的水平渐近线；又因为
，所以x=1为曲线的铅直渐近线（见图3-11）.
3）斜渐近线：既不平行也不垂直于x轴的渐近线.
图3-11
设直线y=kx+b是曲线y=f（x）在x→+∞时的一条斜渐近线，由定义，有
，则
；又
，即
，则
.
例2 求曲线
的渐近线.
解 因为
，
，所以有铅直渐近线为x=-3和x=1；又因为
，
，故y=x-2为曲线的斜渐近线（见图3-12）.
例3 讨论曲线y=x+lnx的渐近线.
解 因为
，所以曲线没有水平渐近线；
，所以x=0是曲线的一条铅直渐近线.
又因为
，但是所以
.
所以，曲线没有斜渐近线.
图3-12
二、函数图形的描绘
由前面几节关于函数的各种形态的讨论，可以描绘出函数的基本图形.
主要步骤：
1）确定函数的定义域；
2）讨论函数的一些基本性质，如奇偶性、周期性等；
3）求出f′（x）和f″（x）的零点和不存在的点，用所求出的点把定义域分成若干区间，列表确定函数的单调性、凹凸性、极值点和拐点；
4）确定函数的渐近线；
5）在直角坐标系中，标明一些关键点的坐标，画出渐进线，按照曲线的性态逐段描绘.
例4 作出函数
的图像.
解 1）
的定义域为（-∞，-1）∪（-1，1）∪（1，+∞）；
2）f（x）为偶函数，无周期性；
3）
f（x）和f′（x）的零点是x=0，在x=±1处，f（x）、f′（x）和f″（x）均不存在；
4）用-1、0、1这3个点把定义域分为四个区间，并列表如下：
5）考察曲线的渐近线：
由于
，
，所以x=±1均是铅直渐近线；因为xl→im∞f（x）=2，所以y=2是一条水平渐近线.
6）绘出函数
的图像（见图3-13）
例5 作出函数
的图像.
解 f（x）的定义域为（-∞，1）∪（1，+∞）；f（x）为非奇非偶函数，也无周期性；
图3-13
f′（x）的零点是x1=-1和x2=3，f″（x）无零点，列表如下：
考察曲线的渐近线：
所以x=1是铅直渐近线.
所以
是f（x）的斜渐近线.
综合上述讨论，绘出该函数的图像（见图3-14）.
例6 作出函数
的图像.
图3-14
解 f（x）的定义域是（-∞，+∞），f（x）为偶函数关于y轴对称，因此只要讨论[0，+∞）即可，f（x）无周期性；
，
，f′（x）的零点是0，f″（x）的零点是±1，它们把定义域分成三个区间，在[0，+∞）区间列表如下：
因为
，所以x轴是水平渐近线.
综合上述讨论，绘出函数的图像（见图3-15）.
图3-15