真题实例　以真题验证考点

真题实例　以真题验证考点

1.如下图所示的运输网络，点间连线上的数字表示两地距离（也可是运费、时间等），要求从v1至v10的路线最短为（　　）。

A.25　　B.26

C.27　　D.28

深度解析　C。采取全枚举法解题。本题的解题思路是要列举出所有可能发生的方案和结果，再对它们一一进行比较，得出最优方案。

从图示可以得出，v1到v10的路程可以分为4个阶段。运用乘法原理，所有不同的路线数为。分别算出各条路线的距离，最后进行比较，可知最优路线是v1→v2→v5→v8→v10，最短距离是27。因此，选择C选项。

若采用所谓的“局部最优路径”法，即从v1出发，并不顾及全线是否最短，只是选择当前最短途径，“逢近便走”，错误地以为局部最优会导致整体最优，在这种想法指导下，所取决策必是v1→v2→v5→v9→v10，全程长度是30。显然，这种方法的结果常是错误的。大家一定要注意各段决策之间的相互联动关系。

通常，最短路线问题是以“平面内连接两点的线中，直线段最短”为原则引申出来的，如果研究问题的限制条件允许已知的两点在同一平面内，那么所求的最短路线是线段；如果它们位于凸多面体的不同平面上，而允许走的路程限于凸多面体表面，那么所求的最短路线是折线段；如果它们位于圆柱和圆锥面上，那么所求的最短路线是曲线段；但不管是上述哪种情况，它们都有一个共同点：当研究曲面仅限于可展开为平面的曲面时，例如圆柱面、圆锥面和棱柱面等，将它们展开在一个平面上，两点间的最短路线则是连接两点的直线段。(https://www.daowen.com)

总之，在求最短路线时，我们一般先用“对称”的方法化成两点之间的最短距离问题，而两点之间直线段最短，从而找到所需的最短路线。像这样将一个问题转变为一个和它等价的问题，再设法解决，是数学中一种常用的重要思想方法。

2.某社区道路如下图所示，社区民警早上9点整从A处的办公室出发，以每分钟50米的速度对社区内每一条道路进行巡查（要求完整走过整个社区内的每一段道路），问他最早什么时候能完成任务返回办公室？（　　）

A.9：54　　B.9：50

C.9：47　　D.10：00

深度解析　A。要想让该民警最早返回A处的办公室，则他应尽量少走重复的路。如图所示，图形共有4个奇点（E、F、G、M），从任一奇点出发，至少要2笔画成。现从A点出发，A点不是奇点，至少要3笔，路线如下：（1）A→N→B→H→G→N→H→C→M→F→G，首先走完ABCMN这一块的所有线条，且没有重复走；（2）G→F→M→D→E→F，这次走完GMDEF这一块的所有线条，与上一步重复走了GF＋FM这两条线；（3）F→E→A，这次走完回到了A处，与上一步重复走了EF这一条线。所以，总共走了所有的线条＋GF＋FM＋EF＝AB＋BC＋CD＋DA＋EF＋GH＋NM＋NH＋GM＋EF＝（150＋200）×6＋＋200＋150＝2700（米），所用时间为2700÷50＝54（分钟），即最早9：54返回办公室。因此，选择A选项。

3.一个长7厘米、宽5厘米、高3厘米的长方体盒子。一只瓢虫从盒子的任意一个顶点，爬到与设定点在同一体对角线的另一个顶点，则所有情形的爬行路线的最小值是（　　）。

深度解析　D。把纸盒由立体展为平面，则瓢虫从一个顶点走向同一体对角线的最短距离为。因此，选择D选项。