阅读材料3　数学和自然科学的异同

阅读材料3　数学和自然科学的异同

一、数学概论

1.数学的研究对象

有关数学的研究对象，一些《幼儿科学教育》教材中是这样讲的：“数学是研究现实世界的空间形式和数量关系的一门科学。”有些数学教科书或百科全书也是这样讲的，这种说法是不妥的。事实上，数学不仅研究现实世界中存在的事物，也研究现实世界中不存在的事物，比如n维（n＞3）空间中的椭球体等。

德国数学家希尔伯特认为“数学的研究对象只是符号以及跟它们的实际意义不相关的运算法则”，此话有一定的道理，当然也不是完全正确。

从最一般的角度来看，正如希尔伯特所说，数学研究的是一些抽象的概念（可用一些语词或符号来表示）以及它们的相互关系和运算法则。抽象概念大体上可以分为两类：一类是定性的概念，比如“空集”“无穷大”等等，我们没有必要或没有办法对它们进行量度。如你不能问，“空集”“无穷大”到底有多大？这些抽象的概念既不是数，也不是量，也没有什么形，只能笼统地称之为“定性概念”。

另一类为可以进行比较或量度的“定量概念”，也就是大家熟知的“数、量、形”。数决定事物的多少，量决定事物的大小（范围），形决定事物的结构。如说有一筐苹果，首先要问：有几只？其次要问：每个有多大？再次要问：它是什么形状？

由此可见，数学是研究数、量、形、定性概念及其相互关系和运算法则的科学。这句话包含三层含义，也是数学的三大任务：一是研究“数、量、形、定性概念”的性质特点；二是研究它们的相互关系；三是研究它们的运算法则。图3-15中有六条线，表示数学研究的四个对象之间的六种关系，其中大家熟知的是数和形的关系，而数和量的关系更为密切，很多人干脆把它们合起来称之为“数量”。实际上，数和量还是有区别的。

除了这六种关系之外，还有四种自身的关系，即定性概念和概念之间、量和量之间、数和数之间、形和形之间的关系。这样总共就有十种关系。

数学的核心任务是制定运算法则（如代数中的四则运算法则）。注意，关系和法则不完全相同，“A在B的上方”，这是一种关系而不是法则。“法则”本身既不是“数”，又不是“量”，也无“形”（和定性概念相似），但它在数学中处于中心地位，起着统帅作用。正因为如此，才把它和定性概念一起放在三角形的中心位置。

2.数学研究对象的具体含义

（1）数

什么叫“数”，这个问题看似简单，回答起来并不容易。迄今为止，并没有统一的答案。我们可以简单地回答：“数是用来表示事物属性的一串抽象符号。”数有两个最基本的特性：抽象意义上的绝对确定性和具体意义上的完全不确定性。

比如说1，在数学或抽象意义上，它是绝对确定的，1就是1，2就是2，它们是绝对不同的。但在具体的意义上，1可以代表完全不同的东西。它可以表示一只苹果，也可以表示一个人或一个地球。“1”所表示的事物，其大小形状和内涵可以完全不同，但有一个共同点，即它们都是“自然的、独立的、有机的整体”。比如说一条鱼，一台电视机，一颗恒星，它们都有这样的特性：把鱼分成两半，鱼就会死；把一台电视机劈成两半，它就不能工作了；把恒星分成两半，恒星就不再稳定地发光发热了。总之，一旦失去了“自然的、独立的、有机整体”这个特性，也就不再是“1”了。

数和数字是不同的，十进制中，数字只有十个：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9，但数有无穷多个。比如359，它是由三个数字3、5、9组成的一个三位数。二进制中数字只有两个：0、1，数有无穷多个。100在十进制中表示一百，在二进制中表示四。因此，我们说数不过是一串（有意义的）抽象符号而已（因为它能表示事物的属性，所以有意义）。

数有超复数（复数概念的推广）→复数（二维平面上的一点）→虚数、实数（一维坐标轴上的一点）→有理数（两个整数之比）、无理数（非整数之比）→分数、整数→正整数、零、负整数，等等。代数，特别是数论，主要研究数的性质和数与数之间的关系。

（2）量

什么叫“量”？量是事物的一种属性或特征的确定性量度。“量”和“数”看起来似乎相反，它有两个基本特性：具体意义上的绝对确定性和表示方法（或抽象意义）上的多样性（不确定性）。简单地说，确定和可量度就是“量”的两个基本特性。有人说，“数”是随意的、主观的，“量”是确定的，客观的，此话有些道理，但不准确。

衡量一个人的指标有身高、体重等，这些都是“量”，力学中有三个最重要的物理量：长度（空间）、时间（间隔）、质量（物质），它们表示事物的三个最重要的属性或状态特征。对于一个确定的物体而言，它的体积、质量都是确定的，不以人的意志为转移，但用什么样的一串符号（数）来表示，却是可以人为选择的（带有一定的主观性）。

比如你的身高，不论你量度还是不量度，也不论你用什么样的符号（数）来表示，它总是确定的（在一个确定的时刻）。我们可以用177.8（cm）来表示，也可以用1.778（m）来表示，也可以用70（英寸）来表示（1英寸=2.54 cm）。这就是“量”同而“数”不同的例子。“数”同而“量”不同的例子更多，一只苹果，可以大，可以小，它们的体积和质量等“量”可以完全不同。但是，一旦我们统一了量度的方法和单位，数和量也就获得了统一，它们之间可以建立起一一对应的关系。比如我们选定厘米作为单位来量度人的身高，那么某人的身高是170 cm，还是160 cm，还是其他值，是完全确定的，不以人的意志为转移。

有“数”无“量”是空洞的（或者说是抽象的，我们不知道这个数究竟表示什么），有“量”无“数”是模糊的（某人的身高不去量度，没有数据，很难和其他人进行比较，也不知道自己的身高如何随着年龄的增长而变化）。有“数”有“量”才是清晰而实在的。

研究量与量之间的关系，也就是所谓的“函数”，通常用y=f（x）表示，其中的x为自变量，y为因变量。

量的分类：从变化与否来分，可以分为常量和变量。从形式和遵循的规则来分可以分为：标量、矢量、张量和非张量。像体积、质量等物理量，可以用一个数来表示，这些量叫做标量（满足代数法则：1+1=2），而像力、速度等量，要用一组数（三个数）来表示，它们既有大小又有方向，满足平行四边形法则，叫做矢量。像“应力”这样的物理量，要用三组数（每组三个数），总共有3×3=9个数来表示，我们把它叫做张量（它满足所谓的张量运算法则），它可以排成三行三列，成为9个数的阵列（方阵）。高阶高维张量有很多“数”。

张量、矢量和标量的关系，有点像复数、实数和整数的关系一样。矢量可以看作特殊的张量（一阶张量），标量可以看做特殊的矢量（矢量在某个轴上的投影长度）。正像实数是特殊的复数，整数是特殊的实数一样。但是，因为张量、矢量和标量的运算规则不同，所以一般我们仍然把它们区分开来。正如不能把复数、实数和整数划等号一样。

非张量即不是张量，它不满足张量的运算法则，而满足其他的运算法则。比如m行n列的矩阵（m≠n），它也可以表示事物的某个属性，也可以说是一个“量”。

既然“量”是确定性的量度，那么，总是可以用一些数组或有一定结构，满足特定运算法则的数的集合来表示，因此，数和量是外表和内涵的关系。“数”是“量”的“外衣”，“量”是“数”的实体。

（3）形

形即形状，在几何学的四个基本概念“点、线、面、体”中，除了“点”没有形状之外，其他都有。各种不同的物体有不同的外形，各种平面图形（三角形、长方形、梯形等）也有自己的形状，各种曲线形状也不同。形的概念最初来源于物体的外形，但数学上可以把它推广到n维空间（n＞3），比如n维空间的球或椭球等等，这是数学的伟大之处，它源于现实而又能够超越现实。但是，这种超越是一种合理的、符合逻辑的推广，与艺术的基本准则“源于生活而又高于生活”有所不同。艺术中的“高于生活”可以随意想象，而数学中的“超越现实”却并不能随意想象，它必须符合人类的逻辑。

（4）定性概念和运算规则

从广义上讲，数、量、形也是概念，因此，说数学是研究概念的科学，这也没有错。爱因斯坦曾经说过“科学，从某种意义上讲，是一种概念游戏”，此话有一定道理。

既然是“概念游戏”，那么，首先要引入一些概念。数学中有一部分内容，如数理逻辑，是研究这种抽象的定性概念的一些性质和规律。当然，更多的是研究定量概念。如研究“数”的代数，研究“形”的几何，研究“量”（和量之间关系）的“函数”等。有了概念之后，研究它们的相互关系，并制定一些游戏规则（运算法则）就显得十分重要。

要注意的是，定性概念和运算规则虽然本身不是“数、量、形”，但是它们之间不等于没有关系，事实上，它们和“数、量、形”关系密切，在数学中起着统帅作用。

3.数学的基本特点

在前面的阅读材料中，介绍了科学的四个基本特性（实证性、客观真理性、逻辑的严密性和理论的系统性、不断发展性和应用的广泛性），这主要是针对自然科学而言的。数学和自然科学有一些不同，后面的两个特性是完全一致的，而前两个特性是不同的。它的四个特性分别是：（1）概念的抽象性；（2）概念和规则的超现实性（合理创造性）；（3）逻辑的严密性和理论的系统性；（4）不断发展性和应用的广泛性。

二、数学和自然科学的区别

根据数学和自然科学的四个基本特点，就可以知道它们的区别。数学是抽象的，而自然科学是实在的，数学可以超越现实而自然科学不能超越现实，只能理解现实（世界）。

某种意义上，数学和艺术更为相似，它们都可以创造或超越，但数学的创造或超越必须是合理的，而艺术的创造和超越可以是自由的（相当程度上是不受限制的）。

数学的出发点和检验标准不同于自然科学。数学的出发点是抽象的概念和公理，最后的归宿点（检验标准）是逻辑上的严密性和合理性。数学上的许多结论，比如n维空间（n＞3）球体的体积公式，是无法用实践来检验的，只能用逻辑上的严密和合理性来检验。而自然科学的出发点是实验，最后的归宿点（检验标准）仍然是实验。自然科学具有实证性和客观真理性（与人的意志无关），而数学并不完全具有这样的特性（部分数学的结论是可以用实验来检验的）。

三、自然科学和数学的相似性

自然科学研究时间、空间、物质（能量）、运动这四者之间的相互关系。其两大支柱：相对论和量子力学，分别从连续的观点和分裂（连续中的分裂）的观点来研究这四者。狭义相对论偏重于研究时间—空间的关系；广义相对论则侧重于研究物质和时空的关系，而量子力学则偏重于研究物质和运动的关系。比较一下“数学的研究对象”图和“自然科学的研究对象”图（图3-16），发现它们很相似。