一、绪论
（一）问题提出的背景
在人类文明起源之时，数学就作为一种实用的工具，应用于人们生产与生活的实际问题中。在古巴比伦时代，生活和生产用品的分配与交换、房屋仓库的建造、土地的丈量等都用到了数学。到了古希腊时代，数学的应用达到了顶峰，人们还运用数学占卜星象、研究哲学、优化航海。我国古代数学名著《周髀算经》《九章算术》等，大都是呈现一个个与生产实践、日常生活有联系的实际问题，并就每类问题给出统一的解法。虽然数学在古代就得到了一定的应用，但是这仍然是十分贫乏的。数学应用的缺乏反过来又制约了纯数学的发展，这并不仅仅因为数学的发展缺少刺激，“更为严重的是因为在任何社会里，一门对社会无用的学科是得不到多少人去对它进行研究的”。
随着科学技术的发展，数学获得了新的生机，它在现代社会的许多场合得到广泛应用，从日常生活中的买卖计算到经济学家们的定性分析经济，从临床用药的计量到CT机发明的核心理论，从基层的物资调配到高层的社会资源的调度都离不开数学。社会的发展给数学提供了良机，数学也没有错过，由于社会的需要许多新的数学分支应运而生，如数理经济学、数学物理学、生物数学等。数学本身发展的应用性越来越强，如在新的数学分支中出现了数理统计、运筹学、计算几何、新型算法等注重应用的学科。[1]
进入21世纪数学更是被每一个公民所需要，因为当今社会信息量空前增长，信息交流比以往空前频繁，一切都显得杂乱无章、毫无头绪，而数学可以帮助人们通过建立数学模型、分析和求解、计算以及形成软件等一系列方法理出头绪，让一切井然有“序”，这就是数学家所说的定量思维。人们把实际生活中的问题经过抽象、简化提炼为数学问题，并依据某种规律建立数学模型，求出此模型的解或者近似解，然后将此结果放到现实中进行检验，必要时加以修改，使之更切合实际，最后编制成解决此类问题的软件包，从而得到更广泛的应用。所以，在这个时代数学已经不仅仅是一种辅助工具，而是作为解决问题重要的思想和方法出现在人们面前。
例如，负责人需要根据产品的需求状况、生产条件和成本、贮存费用等信息，筹划出合理的生产和销售计划；在日常生活中，旅游、购物时人们也会自觉不自觉地采用数学的方法优化出行路线、计算如何买到物美价廉的商品。除此之外，交学费的选择方法、合适的保险的选择、有潜力的股票、彩票等都需要数学方法来将其优化、明了。
但是学生在学校得到的知识绝大多数是为了应付考试、经过抽象的单纯的数学知识，也可以称为“惰性”知识。他们很少将数学知识与实际问题联系在一起，毕业之后也就很难将所学知识应用到现实生活中，也就是说，摆在面前的实际问题和在学校中学习的数学知识之间有一道鸿沟，需要搭一座桥梁才能使我们游刃有余地运用已有数学知识来解决在现实生活中遇到的实际问题。这座桥梁就是数学建模。
2.数学教育改革的趋势
21世纪是信息化时代，信息技术的发展为教育提供了良好的环境：仪器设备、图书资料、丰富的社会文化环境等，当然社会也对教育提出了更高的要求。现代社会很多人一生要换好几种工作，单一的知识根本不能满足他们的需求，即使是一生不改变职业，职业要求也在不断提升。这就要求劳动者应具有复合型的知识和较高的科学文化素质，以及分析问题和解决问题的能力；现在大多数职业都要求从业人员具有收集、分析和整理数据和信息的能力，而这些能力正是数学的应用能力，正如中科院院士姜伯驹所说：“数学在人们社会生活中的作用起了革命性的变化，数学能力成为人们取胜的法宝。”
但是未来社会需要的数学能力——创新能力、分析问题和解决问题的能力、应用数学的能力（这些都是数学建模过程中可以培养和加强的），在过去学校的数学教育中却体现得很少，这种能力不会自觉形成，导致走向社会后人们的应用数学意识较差。发达国家几十年前就意识到学生阶段数学应用的重要性，早在20世纪80年代就开始了与数学建模有关的教育改革。
美国的数学教育改革对世界上其他国家的改革有着巨大的影响。20世纪80年代美国全国数学教师协会NCTM发布的报告中提出必须把“问题解决”作为数学教育的核心。1989年NCTM公布的首个国家性的《学校数学课程与评价标准》中就有“有解决数学问题的能力”这一培养目标，虽然由于过分强调问题解决，导致数学基础知识和技能的不足，NCTM在2000年和2006年分别出台了《学校数学原则和标准》和《课程焦点》，以强调数学基础知识和基本技能的重要性，但也并没有放弃“问题解决”能力简单的“回归基础”，对不同学段学生应该达到的“问题解决”能力做出了具体规划，试图在“能力”和“知识、技能”之间寻找恰当的平衡点。
英国有着悠久的重视数学“应用性”的历史，早在20世纪数学教育界著名的培利—克莱因运动中，英国教育委员会就颁布了重视数学实际应用的初等学校的课程目标；20世纪60年代过分注重数学结构的新数运动也使这个注重“应用”的思想被动摇了；新数运动失败后，20世纪80年代以W.H.Cockcortf博士为主席的数学状况调查委员会公布了一份影响巨大的《数学算数》的报告，该报告提出了对所有年龄和各个教学水平的学生进行成功的数学教育所必须具备的六个要素，其中就有三项涉及实际运用和问题解决。之后英国出台的《国家课程中的数学》中的数学活动的框架包括：在实际问题中学习处理问题，在使用物质材料的过程中，获取知识和技能，增进对数学的理解；运用数学知识解决一系列现实生活中的问题，处理其他学科中的问题……充分体现了《数学算数》报告的精神。随后课程在逐步改革，但是英国重视数学应用的本质没有变。
日本是亚洲经济和科技最为发达的地区，教育方面当然也有很多值得我们学习和借鉴的地方。20世纪80年代因受美国问题解决的影响，日本的教育者们提出了日本特色的“问题解决”——课题学习，而后在高中设置将各部分内容综合起来的和日常生活相联系的课题，并且还编制了与之相配套的教材，将这一思想落到实处。2003年开始实施的《关于幼儿园、中小学、聋哑学校以及养护学校各科教育课程的改革》仍然强调发现问题、解决问题，“创造”地学习数学，以提高学生的问题解决能力、逻辑思维能力的“创造性基础”。
我国2003年出台新的高中课程标准，对未来社会所需要的这些数学素养都有所要求：倡导积极主动、勇于探索的学习方式，注重提高学生的数学思维能力，发展学生的应用意识等理念，都有助于激发学生学习数学的兴趣、发展学生的创新意识、提高学生分析问题和解决问题的能力，并且明确指出数学建模是贯穿于整个高中的重要内容，不单独设置，但要渗透在每个模块和专题中。
（二）数学建模的研究现状
1.国外的研究状况
20世纪70年代末80年代初，英国剑桥大学为研究生开设的数学建模课程叩开了数学建模的大门，引起多数国家的关注和效仿。欧美等发达国家继而把数学建模列入研究生课程，并且不仅仅停留在高校阶段。紧接着的1975年美国《关于幼儿园到中学十二年级学校数学教学的总看法与分析》的报告建议把数学建模融入中学课程，并且在五年后的《行动日程》中以更坚决的态度指出把“问题解决”作为教学目标。与此同时，数学建模也向中学靠拢，数学建模和应用的教学国际会议自1983年开始两年一次，且逐渐偏向中学教学。1985年，美国数学及其应用联合会举办了美国大学生数学建模竞赛，此次竞赛可谓此后其他数学竞赛的鼻祖，具有全球性质，每次都有中学生参赛的比赛。但是美国科学院下属的国家研究委员会好像觉得重视得还不够，在1989年发表的调查报告《关于未来数学教育的报告》中“把数学建模进入中学列为数学教育改革最急需的项目”。同年NCTM明确要求把“问题解决”作为目标之一，且指出数学建模是问题解决的重要部分。这种矫枉过正的做法，在后来的课程标准和课程焦点活动中得到了改正，但问题解决仍然受到重视，并且加上了“检验和反思数学问题的解决过程”这一条。
我国受到国际上的影响，在20世纪90年代初分别举办了中学生知识应用竞赛和大学生数学建模联赛。北京理工大学博士生导师叶其孝教授在1996年第八届数学教育大会上介绍了中学数学知识应用竞赛的情况，得到大家的赞同以及效仿。美国在1999年开始举办全国性的中学生数学建模竞赛，每年一次。
数学建模在课程中所占的分量逐渐增大。数学建模竞赛逐渐发展壮大的同时数学建模的有关理论也在缓慢发展，早在1984年就专门设立了高中生数学建模杂志“HIMAP”，登载了许多中学数学建模的教学模块，还有专门培训数学建模竞赛的课程。1991年，全美数学教师协会编写了《中学课程中的数学建模——课堂练习资料导引》，这本书使数学建模的理论发展达到了一个新的高度，不再是单纯的习题集。该书介绍了十几年来美国数学教育中数学建模的发展历程——逐步被重视，深刻剖析了数学建模与当时教育改革的主题“问题解决”之间的关系，并且也论述了在中学阶段适当地进行数学建模获得的必要性和可能性，列举了22个有教学实践背景的数学建模课堂练习，为数学教师提供资料和参考。美国一民间组织COMP（Consortian for Mathematic and its Application），在1992年组织了中学数学应用改革课题，并出版了《数学——对我们的世界进行建模》。1994年该出版社出版了《高中数学应用教程》，为数学建模的开展提供了参考资料。近些年创办的数学建模杂志有《应用数学建模》《数学建模和数值分析杂志》《数学建模和分析杂志》等；还有专门的网站，如由美国数学及其应用联合会COMAP（the Consortium for Mathematics and Its Application），网站中还为参赛者提供诸如图书、杂志、DVD等形式的参考资料，使得参赛过程也是学习的过程。这方面我们确实应该借鉴，把我们的全国大学生数学建模竞赛网页打造成一个学习平台。
2.国内的研究状况
我国中学数学建模的开展是从数学知识应用竞赛开始的，继而在发达城市的中学展开教学实验。随着世界各国将数学建模的相关内容列入课程标准和实验学校建模教学实验经验的积累，2003年数学建模进入《普通高中数学课程标准》，试图在更大范围内开展。同时我国的教师、学者也在以不同的方式阐述自己的观点。下面主要从初等/中等数学教育核心期刊《数学通报》上发表的相关文章、硕士毕业论文中相关文章和出版的相关书籍等方面来看国内中学数学建模研究的情况。
（1）从《数学通报》发表的文章来看
虽然国内数学建模知识进入高中较国外稍显落后，但是大家对数学建模的认识并不亚于国外，高中数学建模的发展甚至先人一步，早在数学建模的标志性活动“问题解决”在美国开始之初即1986年，我国学者张文贵和陆克毅就在《数学通报》上发表了《数学模型法与中学数学教学》，阐述了将数学模型的思想融汇到中学数学中的可能性和必要性，并且还列举了在两者融合过程中值得注意的问题。
1996年，中学数学建模的思想逐渐被人们接受，之后涌现出不少文章来进行具体的数学建模，所以之后实践方面的文章多于理论方面的文章。当然这也符合数学建模本身的特点，因为数学建模本身就是用数学方法解决实际问题，实际问题就是建模的开端。这些文章内容全面，有实际生活中的建模：张思明老师关于灌溉问题和电缆线求长的论文、华巍老师的电缆线求长的再讨论、朱广笑的《红绿灯周期多长最好》、戴海林老师的《晒被单中的数学问题》等；有体育相关的建模论文：沙案老师的《重复性赛制中的数学问题》、叶春暖老师的《篮球阴影问题》等；有日常生活经济相关的建模论文：陈祥云老师的《职工月工资及年终奖扣税函数模型分析》、谢绍义老师的《等额还贷的多种方式》、刘人丽老师的《分期付款的数学原理简介》等；当然还有数学与其他学科相联系的建模文章：张忠录老师的《例谈数学知识在地里方面的应用》、胡建军老师的《物理学原理在中学数学中的应用》、冯寅老师的《数学在其他学科中的应用举例》等；还有有关中学数学建模中计算机应用的文章：徐稼红老师的《Excel在中学数学建模教学中的应用》。
（2）从硕士毕业论文来看
笔者从中国知网上统计到的中学数学建模方面的文章共有43篇。
张晓晖和李慈萱都在建构主义的观点下审视高中数学建模，前者建议数学建模教学中还给学生适当的主体地位，后者提倡以学生为主体的“情景”教学以激发学生的学习兴趣，同时提出了数学建模教学必须分阶段进行；沈小青提出了数学建模的三个值得借鉴的教学模式，并且详细论述了理论依据和实施过程；王奋平对高一学生的数学建模能力进行调查分析，提出影响学生数学建模能力的六个障碍，并且进行三个阶段、多种方法穿插的教学实验，给出了一些有价值的建议；余志成用连续的思想将数学建模分成初级、中级、高级，每一种又分为模型的引出、探索、调试三个阶段，把数学建模分为九个维度，以实现数学建模教学的序列化。不少文章都指出了数学建模教学的原则、方法、教学策略等。吴承瑜通过做数学建模实验得出接受过数学建模培训的班级从应用题的解题能力到数学学习的兴趣、信心方面都有明显的提升；石利叶从专题教学、论文研读、撰写论文三个层次来进行数学建模兴趣小组的实验研究，结果证明数学建模的实验确实增加了学生的应用意识和学习数学的兴趣。
教学固然重要，评价也不可小觑，没有评价就像路上没有路标，永远无法知道自己走的路对不对、走到了哪一步。统计范围内有关数学建模能力和评价的文章占7%，其中牛艳杰将学生的数学建模的五个阶段（情境理解、问题转换、数学知识表征、分析与模型、验证与回归现实）都分成了三层六个水平，为数学建模的评价提供了一个不错模板；沙旭东也从七个方面将数学建模的评价做了量化处理，并建立指标向量和指标矩阵，对量化的数学进行主要成分分析法，使数学建模的评价更科学、合理。
从数学建模意义切入的文章有两篇，牛坤指出数学建模对表达能力的积极意义，并且分别给出了提高教师和学生表达能力的策略；赵树峰则从数学建模的培养内涵和文化特征入手显示数学建模的重要作用，并且给出了数学建模的基本类型、教学形式。
有关教师方面的研究文章只有1篇，刘卫峰指出了教师无法很好开展数学建模教学所存在的知识和心理层面的问题，并且从问题选择、信息查询、开题报告、研究方法、论文写作、答辩和反思等几个方面给高中数学建模的教学提出了具体的建议。
有关数学建模的方法的文章也只有1篇，陈明椿从数学建模的程序、问题的编拟依托图形等方面论述，但是侧重点不在数学建模的方法，而是将数学建模作为一个教育的方法。
（3）从出版物来看
笔者接触到已出版的最早的一本中学生数学建模的书籍是《中学数学建模》，该书是叶其孝老师在1997年主编的，介绍了数学建模在中学开展的必要性以及中学开展数学建模的方法，并且列举了一些有关中学数学建模的材料，为中学数学教师及数学建模爱好者提供参考资料。
王尚志老师主编的《高中数学知识应用问题》搜集了中学生常见的七大类，许多个数学应用问题，为中学数学教师提供了丰富的素材。
沈翔、赵小平和康合太老师编著的《高中数学应用问题200例》以高中数学知识内容为分类依据，列举了方程、复数、立体几何、函数、三角函数等方面的应用问题的例子，为教师和学生提供了参考资料。
黄忠裕老师编著的《初等数学建模》从中学数学的知识层面出发将数学建模分为方程、函数、不等式等八个模型，并总结了六种常见的数学建模方法，为数学教师提供了很好的参考资料。
张思明老师可谓是数学建模教学实践的先行者，他编著的《理解数学：中学数学建模课程的实践案例与探索》不仅搜集和论述了数学建模的研究现状和理论分析，而且介绍了多个学校的数学建模的实践模式，详细介绍了“双课堂”数学建模课程的定位及具体的教学设计，并从建模选题、撰写论文、涉及知识等方面提出了详尽、具体的操作建议。
任升路老师主编的《高中数学应用性问题》对数学建模的教学理论做了详细的剖析和分类，形成自己独到的见解；以高中知识内容为依据，将应用性问题分为九个模块，通过“分水平问题”“问题解决策略”“问题解决过程”“演变与拓展”“背景材料”“前瞻预测”“应用实践”等方面展示数学建模的寻找问题、尝试解决、解决问题（展示了详尽的探究过程，呈现解决问题的思维方式和解决策略）、形成模型、举一反三的全过程。
刘彭芝、王珉珠老师主编的《中学数学课题学习指导：数学探究、数学建模与数学文化》是人大附中的校本教材，列举了适合中学生建模的十二个问题和学生的四篇优秀论文，为教师和学生提供了数学建模课程的范本。
徐稼红主编的《中学数学应用与建模》对几类模型给出详细的分析、说明，为中学数学建模提供模板和参考；这本书还详细了解说明了几何画板和Excel两个软件在建模中的应用，为学生和教师在计算及使用方面提供参考。
3.研究的空白
无论是杂志论文、学位论文，还是出版物都很少提及针对中学数学建模的方法，其实有了明确的方法，学生的知识体系才更清晰、有条理，提取信息的时候就更加容易。这里就试图举出一些适合中学生的数学建模的方法。
（三）研究方法
笔者主要采用的研究方法是文献研究法。主要对国内相关的数学建模的书籍、对《数学通报》上的建模文章、相关的学位论文、新课标出台后近10年的高考试题等进行搜集、阅读和分析，了解中学数学建模已有的成果，分析空白之处，从近些年高考试题中分析数学建模的重视程度和考查知识的知识面。
问卷调查法：笔者通过对河南师范大学附属中学、新乡县一中和新乡县程坡中学的学生进行调查，分析不同学校的学生对数学建模的认识程度。
统计分析法：笔者通过对已有的中学数学建模的成果进行统计，找出空白之处，对调查问卷统计分析总结出目前新乡市高中生的数学建模的现状，对近十年的高考题进行统计分析，总结出高考题中数学建模的呈现方式。
（四）中学数学建模的理论基础
中学数学建模有丰富的理论基础，主要从建构主义学习理论、弗赖登塔尔的教育思想、班杜拉的社会认知理论和自我效能理论三个方面进行分析。
1.建构主义学习理论
建构主义思想的数学渊源非常悠久，甚至可以追溯到苏格拉底时期，其中影响最为深刻的是瑞士心理学家皮亚杰，他在著名的“儿童认知发展理论”中提出儿童的思维发展是一种自我的建构。儿童学习的基本过程就是同化、顺应的过程。同化即儿童接收到的信息与原有的认知结构没有冲突，儿童把这些信息整合到自己的认知结构中的过程，它是儿童认知结构在数量上的扩充；顺应即儿童接收到的信息和原有的认知结构有冲突，儿童需要调整自己原有的认知结构来适应新接收到的信息的过程，它是儿童认知结构在性质上的改变。儿童就是通过这两种形式来达到与周围世界的平衡，原本儿童的认知世界是平衡的，当儿童遇到和原来的认知结构不冲突的信息时，他原本的平衡没有被打破，就可以通过顺应直接扩充信息量；当儿童遇到的新信息和原来的认知结构相冲突的时候，儿童本来的平衡就被打破，儿童就需要通过顺应修改原来的图式或创造新的图式来达到新的平衡。儿童就是不断通过同化和顺应使自己的认知结构在“平衡—不平衡—新的平衡”的循环中得到充实和提高。
在学习观方面，与建构主义所持有的动态性的知识观相匹配。建构主义者认为学习是学习者主动建构自己的知识经验的过程，而非简单地将别人认为的知识不变地传递给学习者的过程。教师所教授的内容，学生都要通过同化和顺应（即重新加工）主动地建构成个人的知识结构，需要应用的时候，通过问题情境找到个人的知识结构中的内容、提取信息、类比创新解决问题；但如果教师所讲授的内容没有被学生主动建构成个人的知识结构，就会变成一些毫无意义的编码游离在知识结构之外，需要应用之时自然在自己的知识结构中找不到相应的信息，问题得不到解决，转而从同伴或老师那里找到答案，这个答案即“新的知识”，又会成为毫无意义的编码游离在知识结构之外，形成恶性循环。这就是数学学习或考试中通常出现的自己怎么想都想不到、别人一提醒就知道的现象。如果知识形成的初期（通常是概念）就用适当的情景和方法让学生将其通过同化和顺应建构成自己的知识结构，将会出现另一个良性循环，所以建构主义者提倡学习不能脱离物理情景和社会实践情景。
在教学观方面，由于建构主义的动态性的知识观和建构的学习观，教学不再是简单的知识传授，而是找到学生原有的相关知识经验，以此为“生长点”，提供在“最近发展区”内的新知识情景，促进学生知识经验的重组和改造。在建构主义的教学中，教师应为学生创设与其知识经验相关的问题情境，帮助学生为新的学习活动获得必要的经验和预备知识，使学生面临已有的知识结构不能解决的问题情境，即已有的平衡状态被打破，随时准备通过同化、顺应调整自己的认知结构，即教师是教学活动的“组织者”。观念上的不平衡被打破以后，学生有强烈的平衡欲，即求知欲，这时教师引导学生发现新知识、新方法，即教师是教学活动的“促进者”；数学学习是大多数“顺应”的过程，在这个过程中经常出现错误，而且不容易改正，这是因为任何观点哪怕是错误的，都是学生坚固的个人知识结构的一部分，都不可能轻易（通过简单重复的方法）地“擦去”。教师如果重视学生的每一个错误，为其创设适当的反例，引起学生的“认知冲突”，找到错误的根源，一定可以改变，即教师是教学活动的“引导者”。
建构主义流派众多，其中与数学教育密切相关的建构主义有激进建构主义、个人建构主义和社会建构主义。其中以维果茨基为代表的社会建构主义更重视人与人之间的交互作用是数学建模的最直接的理论基础。
社会建构主义者认为学习是一种文化参与活动，学习者借助这个由社会文化和有能力的同伴组成的共同体进行活动内化新知识，也就是说个人的知识建构是在与他人的对话中实现的，所以社会建构主义又被形象地称为“对话中的人”。英国著名数学教育专家玻尔·欧尼斯特认为：社会建构主义的中心论点是，只有当个人建构的、独有的主观意义和理论跟社会和物理世界“相适应”时，才有可能得到发展，因为发展的主要媒介是通过交互作用导致的有意义的社会协商。在此理论的基础上社会建构主义把个人的知识建构看成个人与社会在实践过程中达成共识的产物，因此更注重文化和社会情景在儿童认知发展中的作用，认为父母、教师、同学等知识经验比自己丰富的人是儿童语言发展的重要源泉，而丰富的社会情景是儿童认知发展的重要环境。
数学建模活动需要同学之间的合作，也需要教师带领学生发掘丰富的社会情景资源，为学生的认知发展提供重要的原材料，同时在这些活动中个人知识内化同样重要。学生在这个老师和同学提供的丰富的情境中，将自己原有的认知结构通过同化和顺应进行不同程度的改变，从而在自己能接受的同时与这个共同体保持适应，得到不同的发展。更重要的是数学建模提供的大多是结构不良的问题，与社会现实中的问题比较接近，更能促使学生灵活地运用知识，同时缩短数学与生活的距离，使学生拥有灵活应用数学使生活变得更有秩序的思想。
2.弗赖登塔尔的教育思想
弗赖登塔尔是荷兰著名的数学家和数学教育家。作为数学家，他非常清楚数学的形成和发展，他从过来人的角度来审视数学如何学和如何教的问题，比旁观者或正处于半山腰不了解全景的人们把教育学和数学的例子扭在一起的研究模式要更切实际。弗赖登塔尔的数学教育思想主要有以下几点。
（1）数学化
弗赖登塔尔在《数学教育再探——在中国的讲学》中提及数学化是描述根据数学家的需要和兴趣整理现实性的过程，但并没有很明确地指出数学化的概念，只是提到了公理化、形式化和图式化。公理化就是人们组织和重组数学研究领域的过程；形式化是人们对涉及的数学题材用有效的符号对语言进行整理、修正和转化的过程；图式化是人们把已有的经历和行为进行示范性的推广，从中抽象出定律和规则，形成与现实的体系相吻合的图式的过程。
公理化、形式化、图式化是数学化的一部分，它们先于数学化被提出，公理化、形式化是数学化过程中的点睛之处，强调的是形式而不是内容；相对于它们而言，图式化考虑的内容多于形式，这些是数学家们为了把数学学科组织成一个很好的状态而做的工作。但是像这种良好的组织结构并不是每个人都需要的，也并不是每个人都喜欢或者都能学会的。对于大多数人而言，数学是作为一种必不可少的工具来适应这个随着科学和社会的进步方方面面已经被“数字化”了的社会，没有必要或能力来学习整个结构。在之前的教材中常见到直接将公式、定理作为出发点教授给学生，再将其应用，这本来就是有悖人们的思维方式、脱离学习者的数学现实的。弗赖登塔尔提倡从现实出发，有指导地再走发现数学知识的过程，让学生体验发现规律的经过，体验这个社会被“数学化”的过程。
结合郭老师在《数学教学论》提出的数学化的概念，笔者认为数学化的概念可归纳为：数学化是人们用数学的眼光观察客观世界，用数学的思想和方法对客观现象进行整理和组织，以发现其规律，并且将已成熟的规律用于指导实践的过程。
之前弗赖登塔尔并没有把数学的理论和应用进行划分，1978年特赖弗斯在他的论文中把横向和纵向的数学化分开后，弗赖登塔尔最终也接受这种划分并将其明确化。弗赖登塔尔将世界分为生活世界和符号世界，两个世界是相互交融的。横向数学化是生活世界和符号世界的相互转化，包括两个方向：一是从现实生活到数学符号世界，就是人们发现数学、数学产生的过程；二是从数学符号世界到现实生活，即为人们将数学的定理、模型运用到现实生活中对其进行指导的过程。纵向数学化就是在符号世界内部，即对数学本身进行数学化，可以将数学知识进行深化，也可以进行分类、整理或重组，数学知识结构更趋于完善。
其实在传统的数学教学中只是注重纵向的数学化，让学生从定理、公式出发去机械地做题，忽视了与现实生活的联系。首先，忽视了数学来源于生活，缺少了这些，数学只是从空中开始，脱离了学生的数学现实，学生不感兴趣，所以难以理解。不过新课改实行以来，这个方面有了很大的改善，尤其是中小学的教师注重创设问题情境，尽量从学生的实际出发，激发学生的学习兴趣，结合学生的数学现实。其次，忽略了数学用于现实，从夸美纽斯提出班级授课制以来，这个高效率的授课形式一直被沿用到现在，正是因为其高效，教师尽可能在最短的时间内将其认为有用的知识教给学生，却没有时间让学生自己反思，例行实际。其实数学用于现实的过程就是学生在生活中发现数学的过程，虽说新课标中也明确要求高中阶段至少应为学生安排一次数学建模活动，将课内与课外有机地结合起来，但是由于教师、学生、评价体系等各种原因没有落到实处。
（2）结合现实
在《作为教育任务的数学》中，弗赖登塔尔指出：数学的整体结构应该存在于现实之中，只有密切联系实际的数学才能充满各种关系，学生才能将所学的数学与现实结合，并且能够应用。
弗赖登塔尔认为，纵观数学的发展，数学的产生、发展都是源于现实的需要，因为如果一门学科对社会没有任何用处，它是没有生存空间的。他提出数学教育应该源于现实、寓于现实、用于现实。
数学源于现实有两层含义，第一层是数学源于现实生活，源于现实生活的数学学生更熟悉，容易发学生学习数学的兴趣，同时对数学知识的应用有巨大的影响；第二层含义是数学应该源于学生的数学现实，由于每个人的社会背景、知识经验、智力因素和非智力因素的不同，相同年龄学生的数学现实也有不小的差距。数学教育应该以每个人的数学现实为基础来组织、指导教学，以使每个人的数学现实得到发展。这一点和维果茨基的最近发展区非常相似，都强调组织的教学内容应该是学生已有的认知水平和学生在比自己有经验的人的指导下可达到的认知水平之间的差距。
数学应该寓于现实，数学教学中应该提供丰富的背景。弗赖登塔尔强调的丰富背景并不是简单的教师给需要讲授的定理添加一些时间、地点、人物、情境编造的背景，这就像是给赤裸裸的数学披上一层纱衣，这种情景数学中的数学结构在没有“数学化”之前就已经能让人尽收眼底，“数学化”对于学生来说就更是不在话下。常见有教师觉得太多的背景影响了数学的纯洁性，对学生学习数学是一种干扰。可是反过来想，如果纯洁无瑕的数学离开了丰富多彩的现实世界会有什么状况呢？没有了源头，没有流向，不就成了一潭死水了吗？正是因为学生学到的数学是这样纯洁的一潭死水，所以在考试结束之后，走向社会，在学校学习的数学几乎没有什么用，确切地说是不知道该怎么用。弗赖登塔尔认为并非背景扰乱了数学的纯洁性，而是背景本身就是有用的信息，数学则是它的解码手段，如果放弃背景只保留纯数学，就像是带了一把找不着锁的钥匙，这把钥匙再光滑亮泽也毫无用武之地。数学教学的背景应该是现实生活的剪辑，教师可以帮助拥有不同数学现实的学生一层层地揭开这个神秘面纱。这个过程对于培养学生的数学态度、教给学生数学化有着非常重要的作用。所以弗赖登塔尔强调数学应该寓于现实，是在现实中发现，而非将数学重新嫁接到现实中去。当然，这也不是说将现实直接搬到数学课堂，而是相关的恰当的现实背景进入数学课堂，现实和纯数学是一个自炫博学的二元论，平衡点在何处需要根据不同的内容、不同的情景、不同的数学现实而不断地变换。
数学应该用于现实，其实在现实生活中数学的应用随处可见，越来越多的人感觉到他们离开数学寸步难行，自己也为这巨大的数学使用量感到惊讶。当然细细想来我们应用的数学有多少是在学校中学过的数学呢？似乎很多人都认为这有用的东西是在需要用的时候自学的，这让我们心寒的同时，不禁又让我们反思，我们教给学生哪些有用的东西？这让我想起一则育儿故事，有一个孩子去夏令营，吃早饭的时候领队给每个人发了一个鸡蛋，大家都吃了，只有他没有吃。领队问他为什么不吃，他说：“这鸡蛋和我们家的鸡蛋长得不一样，我们家的鸡蛋是白白的、软软的，这个鸡蛋太硬咬不动。”我们教师就像这则故事中对这个孩子无微不至的家长，并且有过之而无不及，我们将数学这个东西剥好了皮，喂到学生的嘴里，学生甚至没有见过它长什么样子就吃到嘴里，咽到肚子里，等他在生活中遇到这个东西他确实会说没见过。当然我们现在的数学教育工作者也意识到了这一点，正在努力地使学生去应用他们学过的数学。笔者认为最本质的是让学生切实感受到数学发现的完整过程，就像教人开采玉石，不是单单让他看精雕细琢好的玉，而是教他辨认未打磨的含有玉的石头，接着才是各种工序，慢慢琢成玉器。数学教育也应该是这种返璞归真式的，是应用数学和纯数学并驾齐驱进行的。只有在开始灌入了应用的意识，在学完之后才能将其应用。
（3）有指导的再创造
弗赖登塔尔避开“问题解决”“发现学习”“启发式”“发生方式”等词语来对数学教育的过程进行概括，是因为他们都没能完整地反映数学教育的过程。因为弗赖登塔尔认为数学学习的过程首先是一个再创造的过程，学生学习数学的过程并不像身体器官的成长一样顺其自然，它是学生在自己世界的一个再创造，数学学习是学生在各种指导下自己创造数学知识的过程。这一点与建构主义有许多相似之处。建构主义者认为学生的认知结构是学生不断将原有的认知平衡打破，通过同化和顺应，达到新的平衡以提高充实自己的认知结构。它们都强调学生在学习过程中的主体作用，建构主义者主要从心理学的角度阐述这个问题。
弗赖登塔尔则是从数学角度阐述这个问题，弗赖登塔尔的理论对于数学教育来说更具体、更具有指导性，因为他不仅指出数学学习过程是一个再创造的过程，而且更具体地指出数学学习过程是一个有指导的再创造过程，学生学习数学的过程不是返回到人类文明的起点，而是以一种浓缩的方式重新开始人类学习的过程，这种避免弯路的重新创造就需要有经验者的指导，我们数学教育工作者就承担起了这个艰巨的任务。同时，弗赖登塔尔还对“指导”进行了具体说明。
首先，是指导的方向。要对学生进行指导，该把学生指导到什么地方。弗赖登塔尔认为应该指导学生到活动中去，把学生指导到数学化和它的各个方面。指导学生再创造一种活动，再创造数学化、抽象化、图式化、形式化、算法化、用语言描述，而不单单是固定的数学、图式、形式、算法和语言。即教给学生在生活中发现、发展数学的方法，也就是我们通常说的授人以鱼不如授人以渔。其中的“渔”是发现、表达、抽象的方法，而不是具体的某类题型，或者是某个解题技巧和方法。
其次，是指导的道路选择。有了指导的方向，在哪儿指导学生呢？弗赖登塔尔针对不同的教学内容，如数数、加减法、乘法、除法、分数和比等，举出了相应的生活情境，但没有给出一个宏观的方法。本人认为指导的正确道路就是在充分了解这个数学知识产生的源头后选择适合的接近产生源头的生活情境，每位教师、每位学生的生活经验、数学现实不同，适合这个教师和学生的生活情境就不同，关键是教师根据具体的教学内容、学生的数学现实找到恰当的生活情境，在教的强迫性和学的自由性之间寻找最佳的平衡点。
再次，是指导的方法。有了方向和正确的道路，该如何走，即具体该怎样指导呢？弗赖登塔尔借用了特菜弗斯的五条原则来作为指导的方法：①在学生当前的现实中选择学习情境，使之适合于横向数学化；②为纵向数学化提供手段和工具；③相互作用的教学系统；④承认和鼓励学生自己的成果；⑤将所学的各个部分结合起来。
3.班杜拉的社会认知理论和自我效能感理论
美国著名当代心理学家班杜拉，将封闭在个体范围内的刺激—反应、操作强化的行为主义与社会环境联系在一起，使得行为主义有了新的发展。班杜拉认为儿童是通过观察身边重要人物的行为进行社会学习的，儿童将观察到的行为以符号表征的形式储存在大脑中，来指导儿童模仿重要人物的活动，从而完成社会行为的学习。
社会认知理论将学习分为替代性学习和参与性学习。替代性学习是指学生在学习的过程中没有外显性行为，而是通过观察榜样的行动进行的学习。目前学生在学校接受的学习绝大多数都是替代性学习，因为学生不可能经历人类产生以来所有的挫折和失败，替代性学习让大家站在巨人的肩膀上，大大提高了学习效率。参与性学习是指学生在实际操作中体验行动的后果、吸取教训、改进自我而进行的学习，就是杜威提倡的“在做中学”。在学生的实际操作中，不同的行为因其成败而被保留或者舍弃。成功的行为后果能够激励学生，增强学习动机；失败的行为后果，虽然给学生带来挫折，但也能培养学生的受挫能力，同时学生能够在导致失败的行为中吸取教训，改进自己，避免这种能够导致失败的行为再次发生。
数学建模就是典型的参与性学习，在数学建模的过程中学生能够学会许多技能。同时正确的建模能够激发学生的学习兴趣；而失败的建模也能让学生吸取教训，在同样的环境中避免此类错误的再次发生；同时也能提高学生的受挫能力，让学生了解做任何事情都不可能是一帆风顺的。
自我效能感是指人们对自己能否成功地进行某一行为进行的主观臆断。班杜拉在其动机理论中提出，人的行为受行为的结果因素与先行因素的影响，结果因素就是我们通常所说的强化。但与传统的行为主义的强化不同，班杜拉所指的强化是指人们在做某事之前对自己做这件事的结果进行的预测，正向的预测能激发和维持行为的动机，进而控制和调节人们的行为。先行因素即人们在某个行为实行前的一种期望，并不是指这个行为能不能导致成功，而是指人们对自己是否有能力进行这个行为的推测或判断。
自我效能感不仅能够影响人们在行为过程中的情绪和坚持性，而且能够影响人们在遇到困难时的态度。班杜拉等人指出自我效能形成的因素有四个：直接经验，替代经验，言语说服，情绪的唤起。就数学建模的活动来说，直接经验、替代经验、言语说服是比较常见的。
第一，学生的亲身经历对效能感的影响是最大的，成功的数学建模经验会提高学生的自我效能感，不仅能激发学生再次进行数学建模，而且能提高学生对自我能力的肯定。反之，失败的数学建模的经历在挫伤学生数学建模的积极性的同时，也会降低学生对自我能力的肯定。所以在数学建模的过程中，教师要帮助学生选择适合自己能力的建模问题，并且及时帮助学生解决问题。
第二，替代经验，即学习者在观察榜样的行为成功与否的过程中也能间接地影响自我效能感。教师指导学生进行几例切合实际又符合学生知识水平的建模实例之后，学生在成功榜样的影响下，也能激发进行数学建模的兴趣和在建模过程中的坚持性、遇到困难的态度。
第三，言语说服。在遇到困难的时候，恰当的劝告和引导也能激励学生的自我效能感。在建模的过程中学生难免会遇到挫折，这就需要教师及时地了解学生的困难和思想动态，对学生进行积极、及时的引导，并给出合理的建议，帮助学生增强继续建模的信心。