二、数学建模概述
（一）模型与数学模型
1.模型
提到模型，大家都不陌生。早在遥远的古代，人们就非常热衷于制造模型。英国诗人班·詹森说：“把身体比例缩小看起来更美丽，把生命缩短则更加完美。”确实，无论是为了娱乐，还是为了科学或者科技上的实验研究而制造模型，都是为了让事物变得更加完美。早在古埃及时代，人们就运用建筑模型建造了法老坟墓。著名的鲁班学艺的故事中也提到了建筑前制造建筑模型。现在更是有琳琅满目的模型丰富着我们的社会：汽车模型、飞机模型、楼盘模型等。
像很多事物一样，模型也是在人们的生活中出现并应用了很长的一段历史时间，才被人们重视并且理论化。直到19世纪末期，数学才普遍被认为可能对实体提供最清楚的实体模型，模型理论才逐渐开始走向正规。正像马克思所说：“一种科学只有在成功地运用了数学时，才算真正达到完善的地步。”
模型是现实世界中真实物体或者系统的小型“复制品”，模型所反映的现实世界里的实际对象称为原型。原型和模型是一对对偶体，成对出现。现实生活中有许多客观存在的现实，但并不是所有的现实都被提炼成模型，那些没有被提炼的现实就不叫原型，只有经过简缩、提炼成模型的客观现实才叫原型。原型在科技领域通常用“系统”“过程”等词汇表示，如学习系统、教学系统、机械系统、电力系统、社会经济系统等；又如生产销售过程、计划决策过程、化学反应过程、人口增长过程、污染扩散过程等，这些研究对象都是原型。
模型就是为了某种特定的目的，在分析、研究实际问题的结构特征的基础上将原型的某一部分信息简缩、提炼而构造成的一种原型替代物。
需要强调的是模型的两个基本特征。
第一，构造模型的目的性。模型不是原型原封不动的复制品，现实世界的模型有各个方面和层次的特征，制造模型不是对所有特征面面俱到的反映，而是只反映与研究目的相关的那些方面和层次的特征。一个原型为了不同的目的可以有不同的模型，如供幼儿玩耍、放在展厅里面仅供观赏的轮船，应该在外形上逼真，但不一定真的会在水里航行；参加航模竞赛的模型要求有良好的航行能力，在外观上不一定逼真；在轮船设计过程中用到的数学模型和计算机模拟，只要求在数量规律上真实反映，还不设计外观；在轮船试制的过程中为了测试轮船吃水、防风的能力，必须在外观、航行能力等各个方面真实地反映。不同的原型为了不同的目的可以有相同的模型，如GDP问题中时间x与GDP值y的对应关系与放射性物质中某元素随着时间x的变化残留量y的关系都是指数函数模型。
第二，模型必须具有原型的基本特征和要素，并且能反映出决定原型的各个因素之间的相互关系。一个好的模型，应该在研究目的所关心的方面反映出原型的主要特征，否则就没有意义了。如为展厅制造的轮船模型不像轮船，为航模比赛制造的轮船不能航行，当然没有任何意义。
2.数学模型
我们最关心的是数学模型。数学模型就是人们在研究现实世界的某个特定对象时，为了某种特定的需要或目的，根据其特有的内在规律，做出一些必要的简化假设，用字母、数字及其他数学符号建立起来的如数学公式、图形等能描述客观事物数量关系的一个数学结构。
广义上认为数学的概念、公式、定理、方法等知识都是人们根据某种需要，从客观事物中抽象出来的数学模型。如自然数的产生，就是人们为了更清楚地表示客观物体的数量而建立的数学模型；微分学的产生就是人们在描述物体某一时刻的瞬时速度时抽象出来的数学模型。狭义的数学模型就是反映实际问题的数学结构。
在解决实际问题时，关键就是建立数学模型，通过数学模型分析、求解、解释，才能加深人们对客观事物是如何运行的理解，帮助人们进行合理的思考。数学模型因具有成本低、时间短、灵活性大、结论可推广等优点备受青睐。如在飞机设计的过程中，如果多次制造仿真的飞机进行防风等实验，代价相当高；如果采用数学模拟和计算机模拟代价就会低得多，只需要在最后成型时，做成模型试飞即可。
明确的分类可以让知识更加系统，脉络更加清晰。接下来谈谈数学模型的分类。
因为这里主要研究高中范围内的数学建模，所以主要针对高中范围内的数学模型进行分类。按照不同的标准，高中涉及的数学模型可以做如下分类（有些是大学的数学模型，但是对于数学有强烈爱好的高中生也能接触到）。
按模型的应用领域可分为：社会经济模型、生产过程模型、交通模型、城市规划模型、人口模型、环境模型、资源模型、生态模型、水资源模型等。
按涉及的知识类型可分为：初等数学模型（如方程模型、函数模型、不等式模型、数列模型、概率统计模型等）、微分方程模型、统计回归模型、几何模型、数学规划模型、博弈模型、离散模型等。
按建立模型的目的可分为：优化模型、决策模型、描述模型、预测模型、控制模型等。
（二）数学建模
1.数学建模
数学建模就是从实际问题中提炼建立数学模型的全过程。
学者们对什么是数学建模有不同的看法，有的学者认为数学建模是一种方法，如章士藻老师在《数学方法论简明教程》一书中就把数学模型作为数学方法的一种，他指出：“数学模型方法不仅是处理数学理论的一种经典方法，也是处理各种实际问题的一般方法。”有的学者认为数学的产生就是无数个建模的过程，如最简单的自然数的产生也是一个由实际问题抽象到数的建模过程，所以数学又被称为是“模式”的科学；有的学者认为数学建模就是通过建立数学模型解决各种实际问题的方法，如叶其孝老师在《中学数学建模》一书中提出：“数学建模就是对实际问题进行简化、假设，抽象出数学模型，进行求解、验证，进而用来解释现实问题、优化解决办法的全过程。其实就是从实际问题到数学模型，从数学模型再到实际问题的不断循环、不断完善的过程。”
综合各家的观点，数学建模所研究的问题分为两类：数学领域的问题和非数学领域的问题。在《数学通报》20世纪80年代有许多文章都是关于数学领域问题的建模，包括我们在平时的教学活动中练习用学习过的知识去解决其他的数学问题都属于数学建模中数学内部的联系；非数学领域的问题包括其他学科中的问题和实际生活中的问题。
笔者所谈的数学建模主要是指对非数学领域内的问题进行简化、假设，抽象出数学模型，进行求解、验证，最后解释并应用于实际的过程。
2.数学建模的过程
数学建模没有固定不变的流程，具体的过程根据具体的问题、建模的目的和建模的方法不同而变化，但是高中进行的数学建模所用方法大多是机理分析法（即建模之前对问题已经有所了解，在此基础上对问题进行推理分析，然后建模）。机理分析法建立数学模型的过程一般有以下几个步骤。
问题分析：笔者所谈的数学建模面临的问题都是非数学领域的问题，属于结构不良的问题，问题的已知条件差，没有清晰的结构，问题没有固定的方法和标准的答案。因此第一步就是要对问题所给的条件和数据进行分析，弄清楚问题。
通过对问题的分析进一步明确问题所给的信息，要完成什么任务，涉及哪些相关知识领域，抓住关键词句，舍弃不必要的词句，明确主要因素和次要因素，重点、难点分别是什么，初步明确建模的方向，确定建模的类型。这就需要学生从众多信息中找出相关的信息，培养学生搜集和处理信息的能力。
模型假设：在明确了研究问题的信息以及建模方向的基础上，就要对问题进行合理的假设，以简化问题，在明确主要和次要因素的基础上寻找基本数量及其关系，必要时建立几何或文字模型，注意发现已知量和未知量，挖掘问题中的隐含条件，进而定义变量、参数以及系统的边界、模型的范围等。
这一步是数学建模最关键的一步，可以很好地锻炼学生的数学阅读能力、想象力、洞察力和综合分析能力。它是数学化的第一步，要在现实问题中挖掘出数学需要的信息，并且进行合理的简化、假设。假设得太详细，考虑了过多的因素，建立的模型过于复杂，会导致下一步没法进行；假设得过于简单，与实际问题相差太远，建立的模型即使解出来了，对实际问题也没有太多的指导价值。即假设的不合理会导致模型的失败，因此在建立模型的过程中需要随时修改或补充假设。
模型建立：明确了建模的目的，有了相对合理的假设，接下来就是利用合适的数学工具刻画已知量和变量之间的关系，构造相应的数学结构（可以是数学表达式、图形、表格或算法等）。这一步要求学生有较强的数学能力和抽象概括能力。
在建立数学模型时有几个方法可以参考：①充分利用现有的成果（已知的定理、公式、函数、不等式、概率等的模型）和简明的方法，将理想化的、简单的数学模型通过变形或限定逐步过渡到符合所研究实际问题的复杂模型；②尽量简化问题的假设或处理方法，为你所需要的建模方法或者模型提供条件，但必须要符合实际，既要简单又要符合实际，这本来就是一对矛盾，假设和建模的过程是这对矛盾不断达到平衡的过程；③根据问题的特征和建模的目的选择恰当的、不同的数学方法，对不同的方法进行模拟比较，从中选择最接近的方案。
在建立模型后，要大概对模型从误差、稳定性、求解难度上进行分析，如果合理就可以进行下一步，如果不合理要再进行更为合理的假设，这样反复慎重的思考能够培养学生灵活运用数学知识和方法的能力。
模型求解：学生运用已有的数学知识方法、解题策略，必要时要学习一些新的计算机方面的知识，对所建立的数学模型求解。这一步要求学生具有扎实的数学基本功以及学习新知识的能力。
模型检验：因为数学建模是建立在假设的基础上的，具有不确定性，所以求解之后一定要检验，以知道求得的解在实际问题中说明了什么、效果怎么样。如果求得的解符合实际问题或者误差很小，当然是一次成功的体验；如果求得的解不符合实际问题或者误差很大，就需要重新审视问题，进行更为合理的假设，重新求解、检验，直到取得满意的结果为止。误差很小之所以可以忽略是因为数学模型是在假设的前提下建立的，在计算过程中也不可避免地有近似求值，所以这诸多的不确定性导致建模的结果不是十分精确，微小误差在我们中学的范围内可以视为合理的。最后一步就是将已检验的、合理的模型当作成品应用于实际生活了。
这整个过程中，需要学生多方面的能力，一个人的智慧是很难成功的，需要花大量的时间和精力，还有可能做出不切实际的模型，如果集中众人的智慧就容易得多。所以数学建模的活动最好是以小组合作的形式进行，组建小组时要考虑成员之间的互补性，每组要有善于思考的学生、善于计算的学生、善于利用信息技术的学生、善于推理的学生、善于总结的学生等。这样取长补短，能使他们获得共同的发展。
数学建模的过程是现实世界和数学世界的一座桥梁，让两个相互孤立的世界联系起来，使现实世界更加有序、清晰，数学建模过程就是培养学生现实世界和数学世界的双向翻译能力。
3.数学建模与相关术语
（1）数学建模与应用题
数学建模与应用题有着很多相似性，同时也有一些不同点。
首先，二者都有一定的情境，明显区别于直接的计算和证明。但是数学建模所给出的情境是实际问题，条件模糊，需要学生自己搜集、查阅资料，分清主次因素，做出合理的假设，抽象出数学模型解决问题；数学应用题所提供的情境，都是经过加工提炼的，条件清晰，需要学生用到的数据都会给出说明，省略了学生搜集信息的步骤。
其次，二者都需要学生从情境（文字）中寻找出隐藏的已知、未知的数学条件以及数量关系，将其符号化，进入纯数学领域进行求解。但是数学建模所给出的情境是真实的，同一个问题情境可以建立不同的模型，而且答案是开放的；数学应用题是课程开发人员根据某个固定的模型设计好的条件，学生根据所学的固定公式、定理等可以将其解决，而且解得的答案是唯一的。
再次，数学建模和数学应用题解答之后都要进行检验，但是数学应用题的检验只是简单看看答案是否在人们常识的合理范围内；而数学建模的检验就相对复杂，除了看答案是不是在合理范围内，还要检验这个假设是否合理，这个模型是否适合这个情境，有没有更适合的模型。
当然数学应用题也是进行数学建模训练必不可少的一部分，是学生从严密的逻辑世界走向现实世界的第一步。
（2）数学建模与问题解决
问题解决在20世纪80年代被提出，到现在仍然势头不减。心理学、数学教育学方面对问题解决的定义也有不同的看法，笔者认为数学中的问题解决即学生面对自己未知的问题，自觉（或在有经验者的帮助下）调动已有的数学经验解决问题。问题解决的结果是个体的知识和能力得到发展，在此过程中可以培养学生的数学思维方式、创新思维方法。波利亚在《怎样解题》中总结了数学问题解决的四个步骤：弄清问题，制订计划，执行计划，回顾检查。
数学建模的过程和问题解决的过程相似，不同的是问题解决所指的“问题”范围比较广，有纯数学方面的问题，也有数学应用方面的问题。当问题解决中的问题是实际问题时，整个问题解决的过程其实就是数学建模的过程，所以说数学建模是数学问题解决的一部分。