6.1.1 单因素方差分析问题引入
在参数假设检验中，我们经常检验两个总体分布的均值是否相同，如果有多个总体，则必须两两比较检验，十分烦琐。而方差分析可以一次完成对多个总体的均值是否相同的检验：
方差分析本质上是研究分类型自变量对数值型因变量的影响。在分析均值之间是否有差异时，需要借助于对方差（数据误差来源）的分析，所以叫方差分析。
1.相关概念
单因素方差分析的基本思想是，用方案之间的方差（服从χ2分布）和所有方案内部的方差之和（也服从χ2分布）的比值（服从F 分布）与fα的比较，来判别s个方案的均值是否相同。
设有s个方案，各方案的试验效果如表6.1所示，问怎样判断这s个方案的效果是否有显著区别（即在一定的显著性水平下判断这s个总体均值是否相同）？
表6.1 单因素方差分析模型表
这s个方案可以是s 项政策，其中Xij是被访问人j 对政策i起作用大小的评分；也可以是s个阶层的人对同一个问题的评分，其中Xij是第i层中的第j 个人对该问题的评分；还可以是s台设备、s种药品、s种饲料、s种工艺、s种材料等的效果。
显然，这里不同方案的数据是相互独立的。
所谓单因素，就是指只有“方案”这个变量（因素）。不同方案就是“方案”这个变量的不同取值。
单因素方差分析的目的，就是一次性地检验各个方案的均值是否相同：
单因素方差分析所使用的统计量是F 统计量。
例6.1 已知在一组给定的条件下种植油菜所得亩产量（单位为斤）服从正态分布。某农场欲检验4块试验田对油菜亩产量的影响是否不相同（假定经过检验表明不同试验田下的油菜产量方差相等）。为此，某农场将4组初始条件完全相同的油菜种子，在完全相同的其他种植条件下，分别在4块试验田种植。所得到的亩产量数据如表6.2所示。试分析不同试验田下的油菜亩产量是否存在显著性差异（α=0.05）？
表6.2 4块不同试验田的油菜亩产量情况
通常，在方差分析中，我们把对试验结果发生影响和起作用的自变量称为因素。如果方差分析研究的是一个因素对于试验结果的影响和作用，就称为单因素方差分析。在本例中，因素就是可能影响油菜亩产量的不同试验田。因素的不同选择方案称为因素的水平。本例中试验田有4种不同的选择，也就是说因素有4个水平。因素的水平实际上就是因素的取值或者因素的分组。例如，在施肥量、光照时间、灌溉时长、商品包装、质量、价格和产地等方面取不同的值或将其分为不同的组，就表示因素选了不同的水平。方差分析要检验的问题就是因素选不同的水平，对结果有无显著的影响。若无显著影响，则随便选择哪一种方案都无所谓；否则就要选择最终油菜亩产量最多的一种试验田方案。
①试验。在工程管理或科学研究中，试验是为了解因素对工程质量或科研指标的影响而进行的，试验的目的是取得样本数据。例如，工程质量管理中，进行混凝土浇筑强度试验、机械碾压土强度试验、路基抽样试验等。也可以通过试验观测或调查的方法进行试验数据，如定位时间、测距误差、尺寸观测、调查登记等，即此处的试验为广义的试验。
②因素。因素指试验中考察的对象，如浇注方案、填土方案、机械性能、水泥掺量、碎石掺量等，或网络节点定位问题中的时间误差、角度、深度、某参数等。
③水平。考察一个因素对试验的影响时，通常将其控制在几个不同的状态或等级上，这些不同的状态或等级称为水平，如A 因素的A1，A2，…，An水平，以及B 因素的B1，B2，…，Bm水平。
④指标。通常把生产实践与科学试验中的结果，如产品的性能、产量等，统称为指标。
2.比较均值模块的SPSS操作示例
我们接下来看看例6.1用SPSS怎么解答，打开数据文件“CH6例6.1试验田”。
①在打开数据文件“CH6例6.1试验田”后，单击【分析】→【比较平均值】→【单因素ANOVA】，进入单因素方差分析模块。
②在单因素方差分析模块（如图6.1所示）中，选中左框的变量“亩产量”放入右边的“因变量列表”框中。
③选中图6.1中左框的变量“试验田”放入右下部的“因子”框中，如图6.1所示。
图6.1 单因素方差分析模块
④单击【确定】按钮，系统输出结果，如表6.3所示。
表6.3 方差分析表
⑤结果说明：表6.3的第一列是方差来源，说明是来源于组间的，还是组内的。表6.3的第二列是变差（样本与均值的离差平方和），第二行第二列的组之间变差也就是对应于εij（即Xij-μi）的误差项平方和。第三列是自由度（s-1=3，n-s=17，n-1=20）。表6.3的第四列是均方，是变差除以相应的自由度，即离差平方和的均值。表6.3的第五列是统计量F 的值f，是组间方差与组内方差之比，组内方差反映的是线性模型Xij=μi+εij的误差项的状况。表6.3的第六列是f 统计值的显著性概率（外侧概率p），用于显著性检验。此处，p=0.412＞α=0.05，所以，在0.05的检验水平下，认为不同试验田下的油菜亩产量不存在显著性差异。