数学抽象的解读
数学的抽象是指数学抛弃了同它的研究对象(一般来说是指空间形式和数量关系)无关的非本质属性,而撷取同研究对象有关的本质因素。《数学课程标准》指出,“数学抽象主要表现为:获得数学概念和规则提出数学命题和模型,形成数学思想与方法,认识数学结构与体系”。可以理解为数学抽象有四种类型:①抽象出数学概念和规则;②抽象出数学命题和模型;③抽象出数学思想与方法;④抽象出数学结构与体系。
从抽象的来源分析,数学抽象可分为两种类型。第I类抽象:对现实事物的抽象。这种抽象主要是抽象出数学概念、规则、模型。第Ⅱ类抽象:对数学对象的抽象,即在已有数学概念、命题基础上抽象出新的概念、命题、模型,也可以抽象出数学思想方法和数学结构体系。在数学学习中,第Ⅱ类抽象情形更多一些。徐利治先生提出了“弱抽象、强抽象、广义抽象”几个概念,对第Ⅱ类抽象做了进一步描述。
弱抽象:从一个数学结构A中选取某一特征(侧面)加以抽象,从而获得比原结构A更广的结构B,使原结构A成为结构B的特例,就称A到B的抽象为弱抽象,或称A与B之间存在弱抽象关系。记为A<B,称符号<为序关系。简单地说,前者A与后者B之间有关系,A是B的特例。例如:等边三角形<等腰三角形<三角形。
强抽象:通过引入新的特征来强化原结构A,使获得的新的概念或理论B,B是原型A的特例,则称A到B的抽象为强抽象,或称A与B之间存在强抽象关系,记为A<B。简单地说,前者A与后者B之间有关系,B是A的特例。例如:三角形<等腰三角形<等边三角形,这是一个强抽象概念链。显然,弱抽象与强抽象是相反的关系。
广义抽象:如果知识点B与知识点A之间没有弱抽象或强抽象关系,但是在定义B时用到了A,或者在证明命题B时用到了命题A,则称B是A的广义抽象,即B比A抽象,记为A<B。
首先,通过数学抽象的训练,可以培养学生概括问题的能力。例如,分式的概念课,先出示一组代数式,让学生观察,找出其中哪些具有共同属性,其共同特征是怎样的?你能给这些代数式起个名字吗?通过观察,学生可能会发现,与已有的“整式”对比,部分代数式都具有“分母中含有字母”的共同特征,因此可以将其归为一类式子。再类比“分数”的定义,可以将这类代数式定义为“分式”。这是一个数学抽象的过程,抽象出了这类代数式的共同属性。
其次,通过数学抽象的训练,可以培养学生思维的深刻性。无论是强抽象还是弱抽象,都能体现思维的深刻性,不过强抽象与辐合思维更加接近,更能体现思维的深度;弱抽象与发散思维比较接近,更能体现思维的广度。而第I类数学抽象,由数学概念为基础生成新的概念,需要对原来概念的内涵进行收缩或放大,或者需要以原来的概念为基础,增加新的元素构建概念,这也是思维深刻性的体现。因此,在教学中对学生数学抽象进行训练,事实上就是在培养思维的深刻性。