数学命题教学的基本形态
命题学习包括数学中的公理、定理、公式、法则、性质等等的学习。数学命题通常是由概念组合而成，反映了数学概念之间的联系，因此就复杂程度而言，命题学习应高于概念学习，其复杂性主要体现在命题的应用方面。另外，相对于概念而言，数学命题显得更加重要，因为概念的建立主要是为命题建构起奠基作用的。概念的定义形式本身也是命题，其本质就是满足充要条件的命题，因此概念定义就是一个知识体系中的基本命题，或者说是推导其他命题的起始命题。
奥苏伯尔将命题学习的形式分为三类，即下位学习、上位学习和并列学习。作为数学学习的特殊性，我们可增加一种命题的学习形式——同位学习。
1.上位学习
学生在原有认知结构中已经形成了的一些观念基础上，去学习一个包摄程度更高的观念，就称为上位学习。对于命题学习来说，就是在原来的命题基础上学习一个更加一般化的命题，使原来命题成为新学习命题的特例。此时，两个命题之间可看作是一种弱抽象关系。数学命题学习中，上位学习的例子普遍存在。
例如，命题1：两边及其夹角对应相等的两个三角形全等。命题2：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。前者的全等是后者相似比等于1的特殊情形，因此从命题1到命题2的学习就是上位学习。
又如，下面由命题1到命题2的学习也是上位学习。
命题1：菱形的面积=两条对角线乘积的一半。
命题2：对角线互相垂直的四边形的面积=两条对角线乘积的一半。
再如，学习二次函数的图像与性质时，通常是从特殊的y=ax2入手，探索发现图像的形状和性质。如，对称轴这条性质，y=ax2的对称轴是y轴，当学习y=ax2+bx+c的对称轴为
时，教师引导学生发现，当b=0时，其对称轴方程就变为直线，也就是y轴。其实就是从特殊到一般的过程，也就是一种上位学习。
2.下位学习
在命题学习中，下位学习是指原认知结构中的有关观念，在包摄和概括水平上高于新学习的观念。与上位学习相比，下位学习指新学习的命题是原来命题的特例，因此满足下位学习的两个命题之间可看作是强抽象关系。下位学习与上位学习是两种相反的学习方式，也是数学命题学习中常见的形式。
例如，特殊四边形的学习。学生先学习“平行四边形”，而后又学习“矩形、菱形、正方形”等特殊的平行四边形。以定义为例，“有一个角是直角的平行四边形是矩形”“有一组邻边相等的平行四边形是菱形”“有一个角是直角且有一组邻边相等的平行四边形是正方形”，后三个定义就是对平行四边形内涵的特殊化。同样，在学习图形的性质时，矩形、菱形、正方形除了具有平行四边形的所有性质外，还具有其自身特有的性质。这些都体现了命题之间的强抽象关系，都可以看作是下位学习。
再如，在学习整式的乘法运算时，先学习多项式乘以多项式的法则，然后再学习平方差公式、完全平方公式，也是一种下位学习。两个公式其实就是将乘法运算中的两个多项式赋予了特殊化，平方差公式中。两个因式分别呈现两数和与两数差，完全平方公式则是两个完全相同的因式，也是一种强抽象过程，可以看作是一种下位学习。
其实，学习了某个定理之后，要去解决利用这个定理直接解决的问题，都可视为下位学习。例如，学习了切线长定理，要去解决满足切线长定理构图的具体问题，就是典型的下位学习。
3.并列学习
如果新命题与已学过命题之间既非上位关系，也非下位关系，但在学习新命题时要用到原来学习过的命题，或者两者之间存在一种潜在的、内隐的关系，则称这种新命题的学习方式为并列学习。
在初中学段的平面几何学习中，后面定理的证明一般都要用到前面的某些定理，此时定理之间多是并列学习形式。如，探究平行四边形的性质时，通常将其转化为三角形来研究，这个过程中往往需要用到三角形全等以及平行线的性质等定理，这些定理之间就是并列关系。再如，借助圆的周长公式推导弧长公式、依据圆的面积公式推导扇形的面积公式等等，都属于并列学习。
再有一种情况，就是定理之间存在潜在的内隐联系。例如，梯形的面积公式
与等差数列的求和公式
之间就有一种内在的联系，教师在讲解等差数列的求和公式时，如果是从梯形的面积公式入手，引导学生去探究等差数列的求和公式，那么这样的学习也是并列学习。再如，三角形的面积公式
与扇形的面积公式
之间也隐含着关联。当我们把扇形的弧拉直，就变成了一个三角形，此时弧长公式中的弧长与半径的乘积就变成了底边与这边上的高的乘积，从这个角度讲，这也是一种并列学习，教学中教师要引导学生去观察和体验二者之间这种潜在关系。
4.同位学习
所谓同位学习，是指对等价命题或同构命题网络的学习。等价命题是指两个命题在逻辑意义上的等价，即它们之间能够相互推出。同构命题网络是指两组命题分别位于两个不同的结构体系中，在每个体系中的命题是相互等价的，两个体系中的命题是对应关系。同位学习是并列学习的特殊形式，推导命题B时要用到命题A。从这个意义上说，先学A再学B就是并列学习。但是，命题A与命题B的地位是相同的，因为B同样可以推出A。同位学习是数学命题学习特有的形式，它是由数学命题可能具有的等价形式决定的。
例如，在学习了命题“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”后，再学习“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”。这就是一种同位学习。其实，如果我们先学习“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”，再学习“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”，也是完全可以的，因为这两个命题是等价的。事实上，这两个命题可以用任何一个命题作为先学材料，另一个作为后学材料，逻辑上都是顺理的。同样的，先“同位角相等，两直线平行”之后，再学习命题“内错角相等，两直线平行”也是同位学习，两个命题的学习顺序也可以互换。
对上面提到的四种命题学习形式，我们要做一些说明。
第一，命题学习中的上位与下位学习方式与概念之间的强抽象与弱抽象关系之间是不完全相同的。例如，假设概念A与概念B是强抽象关系，并不意味着概念B的性质就一定是概念A性质的特例。也就是说，B是A的特例，但并不是说B的性质就是A的特例。例如，菱形是平行四边形的特例，但是菱形的某些性质（邻边相等，对角线互相垂直等）是平行四边形不具备的。
第二，将奥苏伯尔提出的命题学习三种形式与命题域、命题系进行对照，可以发现，命题系的形成是通过上位学习和下位学习实现的。并列学习是指新、旧概念之间没有从属关系，与此对应，广义命题系的形成就是通过并列学习构建的。那么，命题域和广义命题域的形成应当对应哪种学习形式呢？显然，奥苏伯尔没有考虑到这类命题的学习形式，为此我们引入同位学习的概念。
命题教学通常有两种模式，一是直接展示命题；二是创设适合情境，引导学生归纳得出命题。这两种模式的培养目标指向不同，直接展示命题的模式，其目标指向演绎推理、直观想象，以培养学生的推理能力和应用能力为主；而归纳命题模式则主要是关注学生分析、概括归纳能力的培养，目标指向数学抽象、数学建模、直观想象和合情推理等数学核心素养。我们可以将展示方式、归纳方式分别称之为结果呈现教学模式和归纳衍生教学模式。
1.结果呈现教学模式
数学命题教学实践中，多数教师经常使用就是结果型模式。这种模式体现了数学学习的一般思路：猜想—验证—应用—建构（建模）。如，在学习“三角形的中位线”性质定理时，教师先放手让学生通过动手操作、观察测量等方法，猜想“三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半”，然后进行推理论证，发现猜想成立，从而得到三角形的中位线性质定理。紧接着，对这一新命题进行应用，通过大量的问题解决使学生对这一命题有了深刻的理解与认知，再通过与其他命题的联结与综合，逐步形成命题域（系）。值得注意的是，在应用结果呈现模式教学时，一定要保证学生必须积极参与到整个教学活动过程，教师进行适当点拨引导，让学生通过协商和交流去建构知识结构，使学生的学习真正成为有意义的接受学习，避免机械学习。
2.归纳衍生教学模式
简单地说，归纳衍生教学模式就是利用归纳方式获得数学命题的教学形式。运用归纳衍生教学模式时，要注意以下两点：
第一，科学创设问题情境。
问题情境教学就是把学生置于预设的含有丰富有用信息的情境中，让学生体验数学命题的产生和发展。恰当的问题情境可以让学生在情境中产生强烈的认知冲突，激发学生学习和探索的欲望，从而真正地理解数学命题的本质，进而对命题证明和应用进行迁移运用，形成元认知能力。在数学命题教学中实施问题情境教学，可以从以下四个方面切实有效提升学生数学素养。
（1）问题开放化
将命题设计成一个开放性问题，通过对开放性问题的探究归纳出命题。如，在学习“圆心角及其所对的弦、所对的弧”三量关系定理时，教师不急于出示所要学习的命题，而是先让学生利用手中的学具（两个等圆中，画出两个大小相等的圆心角），将圆心重合、两个圆心角重合，观察此时有什么新的发现？学生自然会发现：两个圆心角所对的弧重合，所对的弦也重合（如果画出两条弦的弦心距，则弦心距也重合）。由此，即可获得三量关系定理“同圆或等圆中，如果两个圆心角相等，那么它们所对的弧相等，所对的弦也相等”。接着，教师继续提出问题，如果先满足两条弧相等，那么你又可以得到什么结论？如果改为“两条弦相等呢？”通过对问题的开放，循循善诱引导学生对三量关系定理进行深入全面的探索，最终归纳得出命题“在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦，这三组量中有一组量对应相等，那么其余各组量也对应相等”。
再如，“角平分线定理”。教师先创设问题情境：你能借助两张宽度相等的纸条，画出一个角的平分线吗？依据是什么？活动要求：同桌两人合作完成。操作成功的同桌，到前台展示，说明如何操作及理论依据。
有意义的数学学习不能单纯依赖模仿与记忆，动手实践、自主探索和合作交流也是重要的数学学习方式。这个活动的设计意即在此。学生之前已经会用对折的方法以及用量角器、尺规画出角平分线，但是对折受场景的限制（如，黑板上画的角就无法对折）。此时，让学生尝试运用两张纸条作为工具，旨在运用角平分线的判定解决实际问题，有助于学生经历真正的“做数学”和“用数学”的过程，发展学生的几何构图意识和动手操作能力，积累数学活动经验。
（2）问题特殊化
从命题的特殊形态（条件特殊或图形特殊）开始探究，逐步推广到一般情形得到命题，这是数学学习中经常运用的“由特殊到一般”的思想方法。如，学习“圆与圆的位置关系”一节，对于两个圆的五种位置关系，我们可以用运动的观点来分析。先从两个圆相切（特殊位置关系）入手，当两个圆外切时，d=R+r，两个圆内切时d=R-r（R＞r）。在外切的基础上，将两个圆向外拉伸，即两圆外离，此时d＞R+r；在内切的基础上，将两个圆向内拉近，即两圆内含，此时d＜Rr（R＞r）。而如果将外切的两个圆向内拉近或者将内切的两个圆向外拉伸，又出现了两圆相交的图形，由运动过程不难发现，此时的圆心距R-r＜d＜R+r（R＞r）。在数学学习中，先将问题特殊化，研究后再向一般图形引申，像这样的学习过程大量存在。教学中，不但教师要善于运用这种模式，还要注重让学生形成这种从特殊到一般的解决问题的思路与经验。
（3）问题变式化
可以通过图形、公式、规则的变式形态，归纳出命题。如，学习“三角形的外心”时，可通过对图形的变式探究，归纳得出结论。先从锐角三角形入手，通过尺规作图发现三条中垂线的交点在三角形的内部；接着对三角形进行变式，让学生用同样的方法探索直角三角形、钝角三角形的外心位置。通过对三种变式图形的探究，得出三角形的外心的性质：外心到三角形各个顶点的距离相等（共性），外心的位置则分三种情况，锐角三角形的外心在三角形的内部，直角三角形的外心在斜边的中点上，钝角三角形的外心在三角形的外部且靠近最长边。
（4）问题生活化
就是将命题变成一个现实生活中的问题，或由解决现实问题从而归纳出命题。近年来，突出联系实际，注重实践能力，考查应用能力已成为中考数学命题的一个显著特点。中考命题中与现实生活有关的问题越来越多，目的在于体现数学的应用性，让学生意识到数学与生活的自然联系，感受到数学无处不在。这就要求教师在教学中改变命题的方式，改变命题程式化，尽可能地还原生活，真实呈现数学问题的具体情况。如：用图表、图像、情境对话等给出信息，让学生从情境中提取数学问题。
如，“正方形”的学习
情境创设：纱巾是方的吗？
一位女士在商场里看到一块漂亮的方纱巾，她非常想买，当她拿起来看时却感觉纱巾不太方。商场老板看她犹豫不决，马上拉起纱巾的一组对角，让女士看另一组是否对齐。这位女士有些不明白，老板又拉起另一组对角，让她检查是否对齐。她仔细看了一下，发现是对齐的，最后就买了这块纱巾。
那么，对角对折起来重叠的这块纱巾，到底是不是正方的呢？如果在没有任何其他工具的情况下，你能检验出来吗？
这个问题情境就是对正方形的应用。根据老板的做法，只能说明这块纱巾的两组对角分别相等，四条边都相等，即纱巾的两条对角线是对称轴，所以只能保证纱巾是菱形，但并不能保证它是正方形。这位女士买的方巾不一定是方的。这时教师要引导学生思考，如何确定它是正方的呢？这就要用到几何知识来解决它。由于正方形的对称轴有四条，除了两条对角线外，还有两条是对边中点的连线。只要拉起一组对边的中点，将纱巾对折，看另一组对边是否重合即可。如果另一组对边不重合就不是方的，另一组对边能重合就是方的。
再如，“平方差公式”情境创设
老汉吃亏了吗？
下面，我们来看一个故事，看看你是否能解决这个问题！从前，有一个狡猾的庄园主，把一块边长为a（a＞5）米的正方形土地租给刘老汉种植。第二年，他对刘老汉说：“我把这块地的一边减少5米，相邻的另一边增加5米，继续租给你，租金不变，你也没有吃亏，你看如何？”刘老汉一听，觉得好像没有吃亏，就答应道：“好吧。”
回到家中，他把这事和邻居们一讲，其中有个擅长数学的邻居就跟他说：“刘老汉，你吃亏了！”然后又告诉刘老汉他为什么吃亏了，刘老汉就去找那个庄园主理论了。你知道刘老汉怎么就吃亏了呢？说一说你的想法。
首先将这个生活问题转化为如图所示的数学图形，使问题更加直观。因为，a2-（a+5）（a-5）=a2-（a2-25）=25，所以与原来相比，刘老汉的土地面积减少了25平方米，刘老汉确实吃亏了。
数学源于生活，又植根于生活。联系生活去学习数学，让学生感受数学的魅力，积极主动地获取富有真情实感的、有活力的知识，这也是数学教育的价值所在。
第二，注重一题多解。
有些数学命题往往可以采用多种证明方法，教学中应当放手让学生进行充分探究，并要掌握每种思路所蕴含的思想方法，开拓学生的思路，培养发散思维。如，“三角形的内角和是180°”定理的证明。首先，可以让学生用剪拼的方法，将同一个三角形的三个内角的顶点重合，三个内角顺次拼接在一起，发现可以构成一个平角。接着，引导学生思考，如何进行逻辑推理证明，验证这一结论？其实，就是让一个角（∠A）的位置不变，如何将另外两个角（∠B和∠C）在保证大小不变的情况下，改变其位置，使其与∠A的顶点重合。根据学生已有的认知结构，他们自然会想到借助“平行线的性质”，通过添加“过A点作BC边的平行线”使问题得以解决。此时，教师继续追问，对于“添加平行线”还有其他的方法吗？经过师生共同探讨，会得出还可以∠B（∠C）的位置不变，过B（或C）作AC（或AB）的平行线，都可证明出结论。而这三种不同的添加方法又可归纳成同一种思路：过三角形的顶点作平行线。教师启发学生：除了过顶点作平行线，过其他位置的点是否可以呢？学生再次深度思考，教师可以适当点拨引导，让学生进行合作探究，最终会发现，过三角形的边上任一点（三角形内部任意一点）做另外两边（三角形三条边）的平行线，都可解决问题。经过上述的学习过程，教师引导学生归纳分析，不同方法的本质在于，都可实现将三角形的三个内角进行转化，从而构成共顶点的平角，从而验证“三个角的和是180°”这一命题。
