解题教学中提升学生的数学素养
解题教学是数学教学必须经历的一个过程。在这一过程中，学生通过对概念的梳理、推理论证、语言转换、直观感知、正确运算、数据处理等，提高分析问题、解决问题的能力，形成理性的逻辑思维，提升数学学科的六大核心素养，这是一种综合性的要求。上面所阐述的解题教学的四种模式，在发展学生数学核心素养的方向是一致的，只是落实到具体的目标方面各有差异，对学生某些关键能力的培养上各有各的优势。
新课改以来，我们的数学教学致力改变传统的教学观念，倡导深度学习发展学生的素养。但是不能忘记的一点是，对数学知识的理解以及数学技能的形成，往往必须通过解决问题的过程去体验和积累。因而“双基”（掌握基础知识、形成基本技能）的发展始终离不开技能的训练。我们知道，解答数学问题通常从模仿开始，逐步到独立解题；需要从解决简单或单一的问题起步，过渡到解决复杂或多个命题的综合运用问题。要实现这些转变和提升，学生的技能训练不可替代。
另外，初中学段的数学学习，解决所有的数学问题，都涉及逻辑推理，而且除了纯粹的几何证明问题，几乎所有的数学问题解决都离不开运算。因此，逻辑推理和数学运算与解决数学问题如影随形。技能训练教学模式，也主要是培养学生的这两种素养。
对学生进行技能训练时应注意以下几个方面：
练习题的设计要有针对性，要体现以训练数学运算和逻辑推理为目标导向。数学运算这类习题的训练是必需的，但一定要避免过量，切忌搞“题海”战术。题目的数量要根据学习的内容确定，有的内容不需要过多的习题训练，而有的内容则可能需要大量的强化训练，教师要依据学习内容的难度和规则本身的复杂度科学确定，尽可能保证训练适量。在习题训练时，不能机械重复运算，必须要让学生明确算理，有时一道题的解答需要运用多个规则，这就要求学生能够灵活准确地选用规则，这是解决数学运算问题必须具备的技能。
例如，一元二次方程的解法，从直接开平方法、配方法到公式法、因式分解法，单个训练每一种解法，学生经过适量的练习都可掌握。但是各种解法学习结束后，需要根据方程的特征灵活选择简便方法。一是从简便运算角度，学生要能够根据方程的实际特征，判断是否可以选用最简单的因式分解法（直接开平方法实际上可变形为因式分解法中的平方差公式运用），如果不能，再应考虑公式法或配方法，而对于公式法和配方法也存在方法的择优问题。通常情况下，配方法是较为麻烦的，一般不首选。但若一次项系数与二次项系数的比值是偶数时，且系数的值不过大时，用配方法也比较简便。否则，对公式法和配方法这二者一般先选公式法，后选配方法。二是对于这四种方法，还要认识到“因式分解法和直接开平方法”虽然是简便方法，但是它们是特法，也就是适合于具有特殊特征的方程，而“公式法和配方法”是通法，所有的一元二次方程都适用。因此说，在方法的选择上，学生有一定的难度，需要反复进行大量的综合应用训练，才能形成一定的技能。再如，整式的运算中“多项式的乘法运算”，法则比较简单，就不必花费太多的时间进行过多的训练。而作为多项式的逆向运算，因式分解则需要比较多的练习，因为因式分解的规则较多，方法不唯一，难度大于多项式的乘法运算。
总之，教师在进行技能训练教学中，要准确把握训练题量的度，因为题目如果过少，学生就无法理解知识、形成技能，但若题目过多，有时不但收不到预期的学习效果，反而会让学生感到数学很枯燥，产生厌烦情绪，出现了所谓技能训练的高原现象，这样重复练习就适得其反了。
2.例题示范要严谨规范
教师在课堂上讲解的教学语言、逻辑思路、板书格式都会对学生的行为习惯起着潜移默化的影响。因此教师的教学行为不能带有随意性，如个别数学教师感觉个人的教学基本功扎实，在黑板上作图时喜欢随手画图，其实这是不利于学生发展的。教师的随意会导致学生模仿老师，在做练习题时也会随意画图，养成不良的数学学习习惯。所以我们提出教师讲课要求用尺规作图，这也是体现数学的严谨、思维的缜密。
样例一：如图，在□ABCD中，E、F是对角线AC上的两点，AE=CF.问：四边形BEDF是平行四边形吗？请说明理由。
解法一：∵□ABCD中，AD∥BC
∴AD=BC∠DAC=∠BCA ………… ①
又∵AE=CF
∴△AED≌△CFB ………… ②
∴DE=BF
同理，BE=DF ………… ③
∴四边形BEDF是平行四边形。（对角线互相平分的四边形是平行四边形）
解法二：连接BD
∵□ABCD中，OA=OC OB=OD …… …… ①
又∵AE=CF
∴OE=OF …… …… ②
∴四边形BEDF是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形） …… ③
上例中，从推理步骤的叙写到关键理由的陈述，教师给出了严谨的示范，这样的例题讲解会引领学生养成规范的做题习惯，形成严密的逻辑推理能力。
样例二：解方程 4（x+0.5）+x=17
解：去括号，得 4x+2+x=17
移项，得 4x+x=17-2
合并同类项，得 5x=15
方程两边同除以5，得x=3.
学生虽然在小学学习过解方程，但是移项是初中学段初学，所以在解题步骤上教师要先做出规范具体的示范，当学生熟练掌握并形成了一定的运算技能后，可以逐步省略文字理由的表述。
3.巧变例题，多样呈现
比如，样例的渐减式呈现就是一种行之有效的方法，减式样例属于不完整样例，它是指先呈现完整样例，接着呈现缺少一个步骤样例（由学习者补充空缺部分），再逐步缺少一个步骤，如此下去最后只剩下问题本身。样例的空缺促进学习者进行积极的推理和自我解释，也就不断完善了自我建构的过程。自我解释引起学习者去发现和填充缺乏的领域知识，如果学习者不去自我解释样例，他们就不会发现自己在这些知识上的缺乏，就不会去填充，而是继续维持缺乏，从而导致错误的产生。通过自我解释的推理填补空缺，它能够促使学生从单纯模仿过渡到真正理解问题本质，从而解决问题。渐减式样例对不同程度迁移题的作用也不同，提高了问题解决效率。
如，上例中“四边形BEDF是平行四边形”的证明过程，教师可以先去掉①，要求学生补充；然后再去掉①②，让学生去补全；再尝试将①②③全部去掉，最后只留下题目本身，要求学生自己给出解答过程，这样循序渐进地提升学生的逻辑推理能力。
4.揭示数学本质，渗透思想方法
数学是思维的体操，数学思想方法要贯穿于数学教学始终。如果说，知识的运用是数学核心素养的外推动力，那么数学思想方法的习得就是数学核心素养发展的内在动力。因此，教师在数学教学中要善于引导学生在学习活动中揭示问题的数学本质，增强体验。
案例：两个数的和是6，那么这两个数分别是多少时，它们的乘积最大？
解决这个问题，会有学生采用枚举法逐个试验。如果从比较小的数开始枚举，利用不完全归纳法，寻找解决方法。如6可以分成：1+5，2+4，3+3，4+2，5+1。它们的积分别是：5，8，9，8，5。不难发现，当两个数分别为6的一半3和3时，乘积最大。
教师继续提问：如果两个数的和是68，那么这两个数分别是多少时，它们的乘积最大？
此题中的数比较大，如果仍然用枚举法逐个猜测验证，显然很烦琐。这时，教师可以启发学生，再举个比较小的数试验，看看能否找到规律性的结论。如从10开始，10可以分成：1+9，2+8，3+7，4+6，5+5。它们的积分别是：9，16，21，24，25。可发现，当两个数分别是10的一半5和5时，乘积最大。类比这个思路，通过多次举例可以发现“拆分成相等的两个数的乘积最大”于是可以猜想：68应该也是分成两个相等的数34和34时，乘积最大。那么如何验证猜想是否成立呢？
一种方法是适当举例进行检验，如33和35的乘积为1155，32和36的乘积为1152都比1156小。但是这仍然是不完全归纳法，不能作为一般结论。我们需要证明这个结论对于所有情况都成立。因为是有关最大值的问题，所以这个问题其本质还是函数问题，当我们设其中一个数为x，另一个数为68-x，则两个数的乘积y=x（68-x），再利用二次函数的顶点坐标求解即可。这个问题解决后，教师可以顺势追问，如果两个数的和是a，那么这两个数分别是多少时，它们的乘积最大？学生类比之前的思路，利用二次函数的模型，即可得到当两个数分别为时
，两个数的乘积最大
。
这个问题的解决体现了化归的思想，把复杂的问题化归为简单的问题，找到方法之后再回头解决原来的问题，体现了“由一般到特殊，再由特殊到一般”的数学思想方法。同时，这个过程也渗透了类比思想方法的运用。
数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题的素养。数学建模过程主要包括：在实际情境中从数学的视角发现问题提出问题，分析问题、建立模型，确定参数、计算求解，检验结果、改进模型，最终解决实际问题。这个定义事实上给出了建模的过程和程序。数据分析过程主要包括：收集数据，整理数据，提取信息，构建模型，进行推断，获得结论。可见，数据分析是通过数据收集建立模型来解决问题的过程。显然，模型建构解题教学模式与数学建模和数据分析是对应的，即通过这种教学模式来实现对学生数学建模和数据分析核心素养的培养。
1.运用模型建构解题模式培养学生的数据分析能力
实现这一目标的关键是要让学生经历收集数据的过程，从而体会完整的问题解决过程。
案例：完成一份本校初四年级学生的体质检测调查报告。
第一步：明确调查任务
依据《国家学生体质健康标准》，完成本校初四年级的体质检测报告。
第二步，调查设计准备
（1）上网查找最新版本的《国家学生体质健康标准》；
（2）从《国家学生体质健康标准》中查出初四年级的体质标准，包括身高、体重、肺活量、50米跑、坐位体前屈引体向上（女生：仰卧起坐），立定跳远，男生1000米跑（女生800米跑）等各项指标评分标准，每项指标所占权重，等级划分标准。
（3）确定调查对象。
（4）本班同学分组，对所选对象展开调查。
（5）收集数据。
（6）数据整理与分析。
第三步，实施方案
（1）按照调查设计方案的步骤实施，完成下面数据整理与分析。
初三年级学生体质健康数据收集表
初三年级学生体重数据（BMA）单项评分表
初三年级体制健康单项评分细则
（2）数据分析
绘制各项指标的频率分布直方图，观察分析各项指标的集中趋势和离散程度。绘制相关指标的散点图，并根据样本数据和指标权重计算样本学生的体质健康综合指标，并计算出样本学生的优秀率、良好率和及格率。
第四步，获得结论
依据数据分析，讨论本校初四年级学生的体质健康达标情况，指出存在的问题并提出改进的建议。
2.实施模型建构教学要紧扣教学目标
数学不同于新知识的学习过程，其实质就是运用数学知识解决实际问题，因此它属于一种知识迁移，对学生来说有一定的难度。数学教学中，教师要明确教学目标，把要解决的问题（总目标）分解成若干支架问题（子目标），引导学生去找到解决问题的方案，循序渐进解决问题，最后达成总目标。
案例“二次函数”。某果园有100棵橙子树，每一棵树平均结600个橙子.现准备多种一些橙子树以提高果园产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少。根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子。那么增种多少棵橙子树，果园橙子的总产量达到最高？
学生初学二次函数，没有形成建立二次函数模型去解决方案最优化问题的意识。所以教师可以将主问题分设成若干小问题，逐步引导学生建构函数模型。
（1）问题中有哪些变量？其中哪些是自变量？哪些是因变量？
（2）假设果园增种x棵橙子树，那么果园共有多少棵橙子树？这时平均每棵树结多少个橙子？果园共有（100+x）棵橙子树，平均每棵橙子树结（600-5x）个橙子。
（3）如果果园橙子的总产量为y个，那么y与x之间的存在怎样的关系？请你用式子表示。果园橙子的总产量y=（600-5x）（100+x）=-5x2+100x+60000。
所谓变式，其核心是“一题多变”，这里的“变”从形式上是对题目的条件或问题进行变化、拓展或延伸，实质上是对问题进行数学抽象的过程。另一方面，题目“变”之后，学生需要对变化的问题做出判断，分析条件变化之后是否能够得到一些结论，这需要合情推理。
样例：已知：如图，在△ABC中，AP是∠BAC的平分线，BP=CP，PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别为E，F。若EB=3，则FC=_______
此题是对角平分线的性质这一基本图形的巩固应用，同时与直角三角形的全等结合，培养学生从复杂图形中识别基本构图的几何直观意识。
变式1：如图，在△ABC中，∠BAC=60°，点P在BC上，AP=10，PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别为E，F，且PE=PF，则PE的长为____
这道变式题，从知识的应用角度看，是由角平分线性质到角平分线判定的变化，从几何直观的角度看，是将角平分线判定的基本图形与含特殊角（30°）的直角三角形两者相互结合运用，进一步加深对相关几何基本构图的再认识。
变式2：如图，已知∠E=90°，∠C=30°，AP是△AEC的角平分线。
求证：PC=2EP。
此题有两种解法。一是添加辅助线，由于题中出现了角平分线及其上的一点到角的一边的距离PE，可做出这点到另一边的距离PF，使角平分线基本图形补充完整。此时，求证的问题就转化为PC=2FP，再根据Rt△中，30°角所对的直角边等于斜边的一半即可解决。方法二，不添加辅助线，从已知出发，不难发现角等从而推出PC=AP，此时求证的问题即可转化为证明PA=2EP，由Rt△PAE中30°角所对的直角边等于斜边的一半即可解决。不同方法，殊途同归，培养学生的发散思维，引导学生在与他人的交流中比较证明方法的异同，提高逻辑思维水平。
上面的变式过程中，教师留出充分的时间和空间，鼓励学生大胆尝试、交流，并在此基础上针对不同学生进行恰当的引导，帮助其分析辅助线的添加、辅助图形的构造，发展数学抽象和几何直观素养。同时，引导学生学会几何问题的思路分析方法，既要从已知出发，逐步向所求靠拢；又要随时联系所求出发，结合已发现的新结论，将问题转化。意在培养学生逻辑推理能力，体验转化的思想方法，提升解决问题的能力。
前面我们提到的变式探究教学，其实也有问题开放的特点，比如，不限于原题的结论去探究新的结论，这是一种结论开放；改变问题的条件去探索新的结论，这属于一种条件开放。但是变式探究教学与问题开放教学并不完全等同，前者是对一个结构较为完整到问题进行解答并作改编，具有较强的导向性；而后者是将一个结构不完整到问题补充改造为结构完整的问题，相比而言导向性较弱。
我们知道，开放题通常包括问题的答案不唯一或问题的条件不充分，或条件冗余（即有的条件是多余的）。还有一些只问题给出条件不给结论，让学生自由探究结论，不同的学生由于思维的方向不同所得到的结论可能是不一样的，这样的问题也属于开放题。除此之外，开放题还包括由学生根据情境自己提出问题，此时更能考查出学生提出问题的能力。问题开放教学的核心是要培养学生提出问题的能力。因此，问题开放教学更多地需要教师调动学生的直观想象，采用发散性思维来提出问题，再用收敛思维论证问题。同时也要关注数学抽象能力的培养，脱离数学抽象去提出数学问题就如同是无源之水、无本之木。
案例：
已知：如图，BO是△ABC的中线，延长BO至点D，使BO=DO，连接AD、CD.则四边形ABCD是__________。
新问题：若点E，F是直线AC上的动点，
（1）OA和OC的中点，四边形BEDF是平行四边形吗？请说明理由.
（2）当E、F运动到什么位置时，四边形BEDF还是平行四边形？（请用多种方法尝试）
（备用图）
（备用图）
通过这组开放性问题的设计，引导学生对平行四边形的判定定理进行全面综合的运用，教师可以从学生的表现情况获得准确信息，了解学生的掌握情况。特别是变更后的新问题的第（2）问，学生会想出不同的思路，教师要适时引导学生对比较方法的优劣，总结得出，要证平行四边形，当题中有对角线相等的条件时，考虑用对角线相等的四边形是平行四边形的方法进行判定。在对这组问题的解决过程中，学生的发散思维得到训练，几何直观和逻辑推理能力有效提升，同时渗透从特殊到一般、分类讨论的数学思想方法。
解决开放性问题的前提是，学生的“双基”要扎实，没有基础知识和基本技能的储备，就不具备解决开放性问题所需要的资源。开放性问题要求学生善于运用发散思维，因为问题的答案不唯一，学生就需要从多视角、多层面去思考，所以靠单一的收敛思维无法应对开放性问题的解决。另外，丰富的联想（包括数的联想、形的联想）及数学思想方法的联想等对解决开放性问题也很重要，通过联想学生才能将自己的以后认知结构进行有效整合，灵活解决开放性问题。由此可见，问题开放可以有效测评学生的直观想象和逻辑推理等数学关键能力。