解题教学的基本形态
数学问题解决方面，包括波利亚在内的一大批数学家和数学教育家开展过一系列的研究，得到了一些有价值的成果。解题教学应当在解决问题理论的基础上展开，否则会成为无本之木。
波利亚围绕“怎样解题”这一中心来开展数学启发法研究。他把数学解题过程归结为四个阶段，即弄清问题、拟定计划、实现计划、回顾。回顾阶段是波利亚解题模式的特色，回顾包括对解决问题结果的回顾和对解题方法的回顾。海斯于1981年对波利亚的模式进行了修改，将其分为六个阶段：发现问题、表征问题、计划解决、实施计划、评定解决、巩固收获。海斯提出的解题模式把“发现问题”纳入解题模式，显然是对传统意义上的解决问题做了拓展，数学问题解决不仅是解决问题，还应当有提出问题环节。数学教育家舍恩费尔德将数学问题解决的过程分为四个阶段：问题分析和理解、解法的设计、对困难问题解法的探索、对解进行检验。舍费尔德这个解题模式与波利亚的基本相同，但第三个环节有差异，专门提出“对困难问题解法的探索”，说明舍费尔德的模式并不只是指解决一些简单的问题。
一线数学教师在长期的数学教学中总结出许多解题教学模式，下面给出几种基本模式。
1.技能训练模式
技能训练是解题教学最常用的一种模式，它是以学生练习为主要形式，通过解题活动促使学生理解知识的教学模式。在数学问题解决中，有大量的问题是将陈述性知识逐步转化成程序性知识，这类问题往往是直接利用规则，按照一定的步骤和程序去完成解答的，学生需要经过一定次数的训练才能形成相应基本技能并纳入自己的认知结构。例如，实数的运算、整式的运算、解方程（组）、解不等式（组）、三角函数值的计算等均属于这类问题。
技能训练模式的教学流程通常为：
具体地讲，技能训练教学通常遵循以下几个步骤：
第一步，教师出示例题，进行示范讲解。分析解题思路、步骤，并展示规范的解答过程。第二步，学生模仿练习。教师提供精选的题组，学生参考例题进行训练。第三步，即时评价。针对讲解和模仿的题目，进行评价。教师根据学生反馈的信息，引导学生质疑反思，查因纠错，并根据目标达成情况对课堂进度及时做出调整。第四步，再巩固并拓展提升。依据学生的表现，编选题组，让学生继续强化练习，使之技能不断熟练并逐步内化为自己的认知结构。这一环节还可以有针对性地提供适当的拓展训练题目，进行分层训练。最后进行总结性评价。
如，有理数的加法
1.判断下列两数相加的结果是正还是负？——针对法则中的符号确定进行训练
①（-4）+（-7）
②（+4）+（-7）
③（-4）+（+7）
④（-9）+0
即时评价：
⑤（-9）+（-3）
⑥（-4）+（+4）
⑦（+9）+（-2）
⑧（+5）+（+7）
质疑纠错：________________
2.小试身手——对法则的综合运用
①（-3）+（-5）=_______________；
②3+（-5）=__________________；
③5+（-3）=__________________；
④7+（-7）=__________________；
即时评价：
⑤8+（-1）=__________________；
⑥（-8）+1=__________________；
⑦（-6）+0=__________________；
⑧0+（-2）=__________________；
质疑纠错：_____________________
2.变式探究模式
变式探究模式也是解题教学的重要手段。学生完成问题解答后，教师要适时引导学生对问题进行变式得到新问题，并对新问题进行探讨解答。通过变式训练达到举一反三、融会贯通的教学目的。
具体地讲，变式探究模式教学通常遵循以下几个步骤：
第一步，教师提出问题，引导学生分析问题，探求解题策略，完成解答。
第二步，回到问题，教师启发学生思考，寻求多种解题途径。学生可以相互合作、交流探讨，完成问题的解答。
第三步，对原问题进行变式。变式的途径可以有两种：一是对原问题进行等价变化，包括条件等价变化、结论等价变化、问题等价变化、图形等价变化等方法；二是对原问题进行半等价变化，比如加强或减弱原问题的条件，得到原命题的强抽象或弱抽象命题。这就是一种半等价变化。
第四步，解答变式问题。解答结束后再回到“原问题”或“变式问题”，思考可以继续变式。如果能够变式，就继续探究再解答，如此循环引领学生进行深度学习。
如，“三角形的中位线”变式应用。
问题1.如图，任意四边形ABCD，取AB、BC、CD、DA的中点E、F、G、H并顺次连接，所得到的四边形EFGH是什么形状？请说明理由。
变式一：
若将上述四边形ABCD沿对角线BD折叠，上述结论成立吗？请说明理由。
变式二：
若将上述四边形ABCD沿对角线AC折叠，上述结论还成立吗？请说明理由。
上面的问题解决过程中，通过对基本图形的变式与拓展，引导学生经历“添加辅助线构建三角形中位线基本构图”，从而创造条件运用中位线定理的过程，积累解题经验。同时让学生体会“变化中的不变”，即图形变化但解决问题的方法与思路不变。
运用变式探究模式进行解题教学，应注意三点。首先要注意教学活动组织过程中应充分体现学生的主体性，教师的作用在于启发诱导。其次，所选的问题要有典型性，能采用多种方法解决并且可以多方位拓展，能够有效达成教学目标。再次，教学手段和教学形式可多样化，如借助信息技术手段辅助教学，学生探究时可以采用合作学习形式，等等。
3.模型建构模式
模型建构即在解题教学中注重数学建模，是指教师通过建构数学模型活动，激发学生运用数学知识去分析问题、解决问题，使学生获得策略性知识的教学模式。模型建构和变式探究是学生在解决问题过程中不同阶段的两种表现形式，模型建构模式则是对问题产生的探究，而变式探究模式则主要是对问题解决后的反思探究。
模型建构解题教学模式的教学程序如下图。
具体地讲，模型建构教学主要遵循以下几个步骤：
第一步，创设问题情境，激发学生的学习动机。这个问题既可以是现实生活中的问题，也可以是将一个数学问题置于现实生活中或以现实生活中某种现象为原型的问题。
第二步，教师引导学生分析问题中的各项要素及其之间的关系，用数学语言进行描述和解释。
第三步，模型建构，建立问题的数学模型。
第四步，解答模型，对问题给出具有现实意义的解释。
第五步，对问题及解答进行反思。
样例1：某旅社有客房120间，每间房的日租金为160元时，每天都客满，经市场调查发现，如果每间客房的日租金每增加10元时，那么客房每天出租数会减少6间。不考虑其他因素，旅社将每间客房的日租金提高到多少元时，客房日租金的总收入最高？
分析：这是一个现实的生活问题。首先教师要引导学生分析，影响租金总收入的要素有哪些？（两个：每间房的日租金和租出的房间数），也就可以理解为这个问题中存在两个变量。所要解决的问题中有关键词“最高”又可以联想到“最值”，从而联系到二次函数的最大（小）值问题。所以，此题可以建立二次函数的模型进行解决。
解答：设每间房的日租金提高x个10元，则每天客房出租数会减少6x间。设日租金的总收入为y元，则可得
y=（160+10x）（120-6x）
=-60（x-2）2+19440
由题意可知，0≤x≤20，所以当x=2时，y有最大值19440。
此时回到原问题，求出每间客房这时的租金160+10×2=180元，日租金总收入最高为19440。
样例2：小亮父亲想用长为80m的栅栏，再借助房屋的外墙围成一个矩形的羊圈，已知房屋外墙长50m，设矩形ABCD的边AB=xm，面积为Sm2。
（1）写出S与x之间的函数关系式，并指出x的取值范围；
（2）当羊圈的长和宽分别为多少米时，羊圈的面积最大？最大面积是多少？
运用模型建构开展数学教学，要鼓励学生自己建构数学模型，在学习活动中揭示知识的发生过程、体验知识的发展过程。另外，问题情境创设要恰当，要能合理揭示问题产生的原因。
4.问题开放模式
初中学段的开放性问题，一般呈现的形式是条件不充分或没有给出结论，或结论不唯一。问题开放的解题教学模式，则是以开放性问题为载体，以师生共同探究为主要形式，通过解题活动使学生巩固陈述性知识、发展策略性知识。
结论开放题：以鲁教版七年级上册“角平分线”为例。
如图，已知AP是∠CAB的角平分线，PF⊥AC于F，PE⊥AB于E。
（1）图中除了PE=PF外，还有哪些结论？
线段：AF=AE（数量关系）
角：∠CAP=∠BAP
形：△APE≌△APF
（2）连接EF，又能得到什么新的结论？
角：∠AFE=∠AEF ∠PEF=∠PFE
形：△APE≌△APF △APE≌△APF
AP垂直平分线段EF（位置关系。可用等腰三角形的三线合一或者线段垂直平分线的判定定理）
这里设置为开放性问题，目的是激活学生的发散思维，引导其对角平分线的基本构图进行引申和拓展。认识到这个基本图形的本质是全等，发展识图能力和逻辑推理能力。在上面的情境问题中，对于第二问，学生一般都能发现角等、线段相等及AP垂直平分EF，想不到三角形之间的特殊关系。教师可以提示；从“形”的角度去观察分析，学生马上可以发现两对新的直角三角形全等，这样潜移默化中帮助学生积累探究问题的思路和方法。
条件开放题：一是可以引导学生逆推使结论成立的条件，提出若干假设，二是可以改变原条件得到新的问题。如，
已知：如图，四边形ABCD中，如果OA=OC，___________（添加一个适当的条件），那么四边形ABCD是平行四边形；
可以添加AB∥DC（或AD∥BC或OB=OD或∠ADB=∠DBC或∠ABC+∠BAD=180°）
通过这组练习，梳理平行四边形的判定，帮助学生形成完整的知识体系。
问题开放模式教学要注意，完成证明后及时对问题解答进行反思。如，“角平分线”例中，对问题进行反思，可以发现，这个图形中蕴含着等腰三角形、直角三角形、线段的垂直平分线等等基本图形，并且“全等”一直贯穿整个推理过程中。在问题解决过程中，还用到了“未知向已知”的化归思想以及“由一般到特殊”的思想方法。反思环节旨在让学生对照数学家的启示进行自我评价，梳理收获。向学生渗透一种意识：学习过程中，不但要注重学到的知识，更重要的是学会解决问题的方法和所运用的数学思想。而在条件开放题的例子中，可能会有学生添加AD=BC，教师要适时引导学生反思，此时四边形ABCD是平行四边形吗？生生互动质疑解惑，最终可以得出结论，这种添加方法不能满足四边形ABCD是平行四边形，因为AD=BC，OA=OC，及对顶角∠AOB=∠DOC这三个条件组成了SSA（边边角）的条件，不能得到三角形全等，从而无法获得平行四边形所需的条件，所以这种假设不成立。
开放题的学习很大程度上与数学研究过程相似，通过开放题的教学，可以培养学生探究问题解决问题的综合能力，发展学生的直觉思维能力，引导学生像数学家一样去学习数学，因而在教学中应充分发挥学生的主动探求的热情，在活动中达到知识建构的目的。