基于发展学生素养的课例研究
【课前会议】
1.内容主题
本节课的授课内容是《二次函数的应用》第一课时。函数的概念比较抽象，这部分内容是中考的重点、热点，必考内容，又是学生学习的难点，并且现在讲应用是新授课，不同于明年的总复习阶段。学生的基础很薄弱，而且脑子里没有用二次函数来解决实际问题的解题经验和思想方法。这节课的教学意义就在于引导学生形成建模意识，学会建立二次函数模型来解决方案最优化问题，因此本节课起着承前启后的作用。
2.学情分析
知识方面：学生刚刚学习了二次函数的性质，已经掌握了求二次函数的最大（小）值的基本方法。但是由于本节课是二次函数的应用第一课时，在这之前，学生没有用二次函数来解决实际问题的解题经验和认知基础。什么样的问题需要借助二次函数来解决？为什么方案最优化问题与二次函数有关？这些问题对于学生而言是全新而陌生的。
能力方面：九年级学生能够进行自主探究、合作学习、讲解问题，并具有一定的质疑和反思能力、创新意识。
3.目标的确定
《课标》对二次函数的要求为：能利用二次函数解决实际问题，能对变量的变化情况进行初步讨论，体会二次函数的意义，提高应用意识。依据《课标》，确定本节课的教学目标为：
①会建立函数模型表示变化过程中变量之间的关系，会用二次函数解决方案最优化问题；
②在解决问题的过程中，体会类比、由特殊到一般、函数表示函数、数形结合等思想方法。
4.教学重、难点分析及应对
函数的概念比较抽象，这部分内容是中考的重点、热点，必考内容，又是学生学习的难点，而这部分知识学生的基础很薄弱，让学生真正感悟到什么样的问题需要联想到建立函数模型来解决、如何利用二次函数来解决方案最优化问题是本节课的重点和难点。通过白板手绘演示及动态演示课件，让学生能够通过几何直观感受变量之间的关系，从直观到抽象，从一般到特殊，让学生亲身经历了探究过程，再开始动手推理计算验证猜想。
在探究抛物线的亲密矩形时，学生容易出现将直线型的亲密矩形中的相似知识直接用于解题，这时教师抓住课堂生成，利用授课助手上传学生作品，引导学生自我质疑反思，矫正错误，有效解决了学生的困惑。
5.教学设计流程
（1）本节课的教学环节
环节一：温故知新。通过回顾研究函数的基本思路：定义—性质—应用，引导学生明确研究二次函数的一般思路，体会类比的数学思想方法。
环节二：尝试解决“三角形的亲密矩形的面积最大值”问题，设置了两个问题情境：“直角三角形的亲密矩形”到“一般三角形的亲密矩形”，让学生自主探究，设计方案，体会“特殊到一般、函数表示函数”及数学建模等思想方法。利用信息化技术手段动态演示图形的运动变化规律，直观形象地观察得到结论，而后再通过推理计算进行验证，经历由猜想到验证的问题解决过程，体验由直观到抽象的思维过程，培养学生严谨的数学思考习惯。
环节三：尝试解决“抛物线的亲密矩形的方案最优化”问题，引导学生辨析图形由直线形变为曲线形后，变与不变的因素，及时抓住课堂的生成错误，引导学生自我质疑、自我矫正。同时在问题解决的过程中，体会“用函数表示函数、数形结合”及数学建模等思想方法。
（2）本节课的创新点
一是教学环节的设计。在落实核心概念的基础上，先让学生对面积最大的设计方案提出各种猜想，再根据科学的计算进行验证，得出结论。这样的设计为学生提供了充分的时间与空间，开展探究、自主、合作的学习，有助于学生的逻辑思维能力提升，构建系统的知识体系。
二是学生自主学习。大量的观察、讨论、交流、比较、建模等自主学习行为，把思考的空间和权利交给了学生。通过教师的组织和引导，学生逐步形成了知识体系。为了教学环节更加流畅，把研究函数的一般思路安排在了课前准备区，为课中学生的自主探究提供了有力保障。
三是数学思想方法的培养。“先猜想再验证”是解决数学问题常用的思路与方法，因此在探究三角形的最大面积的亲密矩形时，放手让学生自主探究，猜想位于特殊位置的矩形面积最大，再回归一般思路，用逻辑推理的方式进行验证，既调动学生的探索热情，又激发深度思考。整节课，实际上都一直贯穿着数学思想方法的渗透，使学生经历“猜想—质疑—求证—梳理—总结”的思维发展过程，从而形成一个“活”的知识体系。
四是新媒体手段的辅助运用。精心制作动态演示课件，让学生能够通过几何直观感受变量之间的关系，从直观到抽象，从一般到特殊，让学生亲身经历了探究过程，再开始动手推理计算验证猜想，一气呵成，有效解决了教学重点和难点。
（3）本节课的困惑
本节课的学生活动很多，这对我自身提出了较高的要求：一是要做好充分的预设与应对，对活动具有较强的指导能力和临场应变能力，能够灵活机智处理课堂上成；二是时间上要恰当把握，既要保证足够的时间，让学生充分探究，真正培养学生求异、发散的思维，又要完成预设的教学目标，这两方面对我来说还是有一定的挑战。
6.学习监控
环节一和环节二，主要是由学生独立思考，然后小组内交流解决。环节三，通过学生个别解答和集体质疑研讨实现；“梳理小结”环节的监控，主要是通过学生自由发言、发表自己见解的途径实现。
观察者A：张老师刚才提到，这节课始终坚持“以核心问题引领学生深度思考”。教材上所出示的例题，是以问题串的形式，循序渐进地带领学生建立二次函数模型去解决。我想观察一下，张老师是如何将教材进行改编，激活学生思维的。所以我想观察的是如何以问题驱动进行教学。
观察者B：数学建模是初中学段要求学生形成的核心素养之一，而函数模型又是解决数学问题的重要模型。二次函数的应用，这部分内容是学生学习的难点，张老师在课堂实施过程中是如何引领学生自主完成问题解决，有效突破难点，是我想观察的地方。所以我观察的是学生学习·学生是如何突破难点的。
观察者C：张老师，本节课你一直是用情境引出问题，能不能具体说一下？
执教老师：好的。有效的问题情境，不仅可以激发学生的学习兴趣，更重要的是能够让学生切身体会到数学的生活化，深刻理解数学的应用价值。所以本节课我想通过情境的创设来实现教学目标。比如，引出新课部分，我设计了一个利用直角三角形空地设计一个最大面积矩形的情境，虽然这个情境比较抽象，但是这种“留白”问题情境，能够更有效地激发学生思考。
观察者C：既然这节课情境的使用效度是一项这节课目标达成的一个关键因素，那么我就想观察你是怎样运用情境达成学习目标的。
观察者D：张老师刚才你介绍了本节课你的设计思路是以活动呈现问题，引领学生深度思考。我想观察的是教师教学·教学活动设计的有效性。
观察者E：我对本节课的教学活动设计也很感兴趣，而且对于环节一的设计我有个人的一点想法，我想观察一下张老师的设计在课堂上的实施效果如何。所以我和C老师的观察点是相同的。
观察者A：课程性质·实施 如何以问题驱动进行教学。
观察者B：学生学习·学生是如何突破难点的。
观察者C：课程性质·情境创设的有效性。
观察者D：教师教学·教学活动设计的有效性。
观察者E：教师教学·教学活动设计的有效性。
观察者F：教师教学·课件的设计与演示。
观察者G：课堂文化·学生是如何思考的。
观察者H：教师教学·教学环节设计和时间分配。
课前会议结束后，观察教师开发设计观察量表，并进行了一次试观察，然后对量表进行修改完善。
【课中观察】
观察量表（见课后会议后的观课报告）
观察者A、G选择一位学优生和学困生作为观察样本，所以坐在了靠近这两位学生的区域观察。其他几位观察者，不需要正面观察学生的学习情况，所以就现在坐在教室后排观察，以便最大限度减少对学生课堂学习的影响。
课前。观察者于上课前进入教室，随机与学生交流，了解其学习水平。
课中。观察者根据自己选择的观察点，使用开发的观察量表进行记录，包括数据的记录，和师生对话、现象描述、教学细节、即时反思等。
【课后会议】
这节课，我始终坚持“以设计核心问题引领学生深度思考”，让学生在解决问题时，自己去思考判断，这类问题需要联系所学过的什么知识、建立什么模型来解决，在这个过程中不仅突破了本节课的难点，也很好地引领学生的数学思维、提升其数学素养。
本节课的成功之处：
1.驱动问题导学，有效达成目标
本节课的设计思路就是以核心问题引领学生自主探究、深度思考。在第一环节直角三角形的亲密矩形，抛出了一个大问题给学生，让他们自己设计方案，求出最大值。这个题目的素材来自教材的96页和97页的议一议。教材中是直接给出方法，设矩形的一边为x，问另一边如何用x表示？第二问又直接设面积为y，问当x取何值时，y的值最大，最大值是多少？我把这几个小问题隐藏了，目的是要让学生自主探究，寻找渗透解决数学问题的一般思路：提出猜想之后验证，而验证又从动态演示到推理计算，让学生体验特殊到一般、直观到抽象的思维过程，积累数学活动经验。而不是老师上课说，这个题设什么什么为x，什么什么为y，而后学生就顺藤摸瓜列函数关系式。我们需要让学生在解决问题时，自己去思考判断，这样的问题我需要联系所学过的什么知识、建立什么模型来解决，将函数的概念解释得清晰明了，在这个过程中不仅突破了本节课的难点，也很好地引领学生的数学思维、提升其数学素养，这就是我们设计核心问题的价值所在——以核心问题引领学生深度思考。
2.注重思想方法渗透，发展数学素养
由于本节课是二次函数的应用第一课时，学生脑子里缺乏用二次函数来解决实际问题的解题经验和思想方法。我利用课件动态演示，让学生观察图形在运动变化过程中产生了几个变量，以及变量之间的相互影响和变化，引导学生联想到函数知识，体会解决几何图形的问题可以借助于函数模型，渗透数形结合的思想方法。
再如总结提升环节，让学生体会并不是所有的问题都是处在特殊位置时有最值，同时让归纳出解决最值问题、方案最优化问题都可以尝试用二次函数解决，当产生三个变量时，可以先将其中一个变量用另一个变量来表示，这也体现了“用函数表示函数”的思想方法。
整节课中，将众多的数学思想贯穿于整节课中，从开篇的“类比”、活动一的“从特殊到一般”、活动二做法的再次“类比”、两个活动中的“函数表示函数”等等，尤其是最后在知识提升环节“数形结合”思想的归纳更是让学生形成系统的解题思路与思想方法。
3.教学环节衔接自然，充分体现教学评一致性
每个探究活动，由浅入深，层层递进，从初三学生认识的直角三角形的亲密矩形入手，让学生设计使矩形面积最大的方案，让学生明确二次函数的最值问题的应用，是解决这类问题的思路和方法，而后即时检测，既检测所学知识，又让学生体会从特殊到一般的数学思想。接着将问题背景由原来的直线变成了曲线，即探究活动二（抛物线的亲密矩形），旨在让学生积累在坐标系中利用“线段与坐标”的转化来解决问题的经验。
4.信息技术手段的辅助运用，有效突破重、难点
探究活动二中，问题背景由直线图形变成了曲线形（抛物线），前面的相似其实此时不存在了。学生简单地延续前面的思路出现相似，课堂上我抓住课堂的生成错误，即时借助希沃授课助手拍照上传展示，引导学生自我质疑、自我矫正。及时捕捉课堂生成，合理利用错误资源，指出曲线上是不存在相似的，经过这样的处理学生学习效果非常好。
亟待改进之处：
1.解题方法最优化。在环节一中用的相似的知识解决问题，前面一章刚学过三角函数，如果用三角函数的知识解决，既延续了知识间的相互联系，又简化了做题过程，效果可能会更好些。
2.及时抓住课堂每一个微生成。在环节一，两位学生板书展示关系式中，两位同学都是设的平行于水平线的线段长为x，另一边为y，和老师设的不一致，这时候可以及时补充面积S与y其实也是存在函数关系的，三个变量中，两两之间都是成函数关系的。
观察者A：我观察的是课程性质·实施 如何以问题驱动进行教学。
研究问题：设计核心问题引领学生深度思考。
正如张老师所说，这节课她始终坚持“以设计核心问题引领学生深度思考”，提升其数学素养。在第一环节直角三角形的亲密矩形，教师大胆改编了教材的例题，隐藏了小问题，直接抛给学生一个大问题：自己设计方案并进行验证。这个探究过程，渗透解决数学问题的一个常用思路：先猜想后验证，而验证过程又是从直观演示到推理计算，让学生再次体验特殊到一般、直观到抽象的思维过程，积累数学活动经验。
观察者B：我观察的是学生学习·学生是如何突破难点的。
函数的概念比较抽象，这部分内容是中考的重点、热点，必考内容，又是学生学习的难点，学生的基础很薄弱，为了让学生真正感悟到什么样的问题需要联想到建立函数模型来解决，张老师利用课件动态演示图形的运动变化过程，引导学生观察发现，当一个问题中有变量且变量间相互影响变化时，可以联想用函数知识解决，将函数的概念解释得清晰明了。学生在解决问题遇到困难时，老师没有直接告诉，而是让自己去思考判断，这样的问题我需要联系所学过的什么知识、建立什么模型来解决，然后在小组交流讨论中，倾听他人的见解，发表自己的观点，提出困惑，积极进行计算和推理验证，最终得出正确结论。在这样的学习活动中，不仅突破了本节课的难点，学生的数学思维、数学素养也得到了发展。
观察者C：我观察的是课程性质·情境创设的有效性。
这节课每个环节的问题都是以情境的形式呈现，看似简单，实际上提供了充分的“留白”，让学生大胆尝试，猜想结论，而后积极寻求解决方法进行验证。环节三的“抛物线的亲密矩形”情境，蕴含了丰富的生成资源。教师充分预设了学生可能出现的错误，提供场景让这个错误自然呈现，然后再引导学生进行质疑反思，自我矫正，找到正确的解决方案。应该说，每个情境的创设有效促成了学习目标的达成，情境创设是高效的。
观察者D：我观察的是教师教学·教学活动设计的有效性。
张老师精心设计教学活动引领学生深度思考。例如，上课伊始，张主任提出问题“最近我们学习了二次函数的哪些方面的知识？接下来你觉得应该学习二次函数的什么知识？”引导学生梳理学习函数及数学知识的一般顺序都是“定义、图像及性质、应用”，同时体会类比的数学思想方法在数学的学习和研究中经常用到。提一点建议：在中考链接部分中，时间有点仓促，学生自主学习时间不是很充足，如果能将前面综合应用部分的时间紧凑点，课堂效果会更好。
观察者E：环节二和环节三在衔接上有些陡，如果在直角三角形的亲密矩形那里，尝试运用建立直角坐标系，再用函数的方法解决，是不是就会把二者建立起联系。
观察者D：我倒认为张老师这样处理还是比较恰当，因为在学生没有复习一次函数的前提下直接建立直角坐标系，利用函数解决问题可能会有一定的障碍，等后面学习了建立直角坐标系，再将这两道题进行整合，效果会更好些。
观察者F：我观察的是教师教学·课件的设计与演示。
张老师精心制作了动态演示课件，让学生能够通过几何直观感受变量之间的关系，从直观到抽象，从一般到特殊，让学生亲身经历了探究过程，再开始动手推理计算验证猜想，一气呵成。
观察者G：我观察的是课堂文化·学生是如何思考的。
本节课还有一大亮点是课堂展示“精”。探究活动二中，问题背景由直线图形变成了曲线形（抛物线），前面的相似其实此时不存在了。但是学生简单地延续前面的思路依然用相似来解决，张老师抓住课堂的生成错误，引导学生自我质疑、自我矫正，让学生经历了“猜想—质疑—求证—梳理—总结”的思维发展过程，在深度思考中积累数学活动经验。
观察者H：我观察的是教师教学·教学环节设计和时间分配。
函数的应用课是比较难上的，题型大，计算量大，设计的数学思想变化多。这也是我们一直头疼的问题。听了张老师老师执教的《二次函数的应用》，确实是受益匪浅，对于我们今后上课，尤其是大型的综合应用函数题的探究，有着很好的借鉴与指导意义。
首先，张老师设计了一个开放式习题，让学生大胆猜想，并进行探索验证。这是我们平时课堂所欠缺的。这一环节充分体现了张老师非常注重数学思维的培养，遇到问题首先大胆猜想，然后想法验证，遵循由特殊到一般的数学思想，先从特殊情况入手验证其合理性，包括直观的演示和严密的推理，回归一般。验证过程有几何画板的直观验证，也有严谨的推理证明，培养学生的逻辑推理能力。尤其是在分析学生的猜想时，真正体现了张老师的极高的数学涵养，把二次函数的应用问题，转化成一次函数和二次函数的问题，用函数问题解决函数问题，使学生明确遇到复杂的问题，可以把它分解成若干个简单的问题。如果我们每节课都能这样精心备课，学生的数学素养怎会不突飞猛进。
张老师的课堂注重渗透数学思想、解题方法，大容量，高密度，久而久之，一定会使学生获得长足的进步。教学生“学会”转向让学生“会学”，是我们在教学中应该非常重视的问题，而我们很多老师都忽略了。今后的课堂教学中一定不断反思，以更高的要求督促自己，不断进步。
1.张老师是一位个人素质高、数学思维严密的教师，教学中不只是关注结果，而是坚持“过程取向”。善于引导学生用数学的思维去分析问题、解决问题。上课初始，由于网络不稳定，手机和触控一体机不能成功链接，不能将学生的不同做法及时上传到屏幕，张老师及时调出白板，调整授课方式，将学生的做法改用手绘在白板屏幕上呈现给学生，这充分展示了张老师高超的应变能力和调控课堂生成的能力。
2.本节课通过创设情境，由情境产生问题，以问题驱动学习，激发了学生的学习兴趣，培养了学生的数学思维。虽然问题情境并不是很多，但是在每个情境的处理上，教师给予学生充分的自主探究，在问题解决中，学生经历了深度思考与探索的过程，思维量是很大的。整堂课下来，学生积累了丰富的数学活动经验，形成了开放的知识体系，促进了学生的终身发展。
3.从教师的讲解行为这个角度分析本节课，方案最优化问题的梳理和总结稍显欠缺。如，在环节一中展示了几种不同的设计方案，最后如果能再总结哪种设计方案更优，回归课题，是不是更好些；另外，在解题方法上也可以关注最优化，在环节一中用的相似的知识解决问题，前面一章刚学过三角函数，如果用三角函数的知识解决，既延续了知识间的相互联系，又简化了做题过程，效果会更好些。
【附 件】
教学设计《二次函数的应用》
