素养导向的数学命题教学实施策略
注重过程包括两个方面，一是注重命题产生的过程；二是注重命题证明的过程。首先，追溯命题产生的过程，就是寻求命题生长的根，从逻辑关系看，也就是溯源命题的逻辑起点。一般说来，这个逻辑起点是先于命题产生的、学习者已经习得的知识。如，探究“平行四边形的判定定理”时，首先要依据平行四边形的定义“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”，因为定义既可以作为性质又可以作为判定。平行四边形的判定定理都要以定义为起点。在猜想判定定理的命题时，可以利用性质与判定互逆关系，依据平行四边形的性质写出逆命题，再进行推理验证。可见，让学生经历知识产生的过程，有助于使他们厘清知识之间的关系，为形成命题域和命题系建立认识基础。
其次，要注重命题证明的过程。一个命题的证明可能以一组命题作为基础，也可能以另一组命题作为基础，这就使得在命题的证明中可能与多个命题产生联系。如，平行四边形的判定定理的证明，要依据平行四边形的定义“两组对边分别平行”以及“三角形全等（SAS，AAS，ASA，SSS）”等命题。而另一方面，证明一个命题还可能用到多种方法，这也是由个体形成命题域和命题系所需要的积淀。如，在验证“对角线互相平分的四边形是平行四边形”这一命题时，可以通过推理证出“两组对边分别平行”或“两组对边分别相等”，也可以证明“一组对边平行且相等”，证明的过程中运用多种方法，在培养逻辑推理能力的同时，发展了学生的发散思维。
变式包括公式变式、图形变式、命题的条件（或结论）变式等。如，弧长公式
，已知弧所对的圆心角度数n与弧所在圆的半径R，即可求出弧长；学习此公式时，教师要引导学生对公式进行变式运用。当已知弧长l及半径R，可求弧所对圆心角的度数
；还可由圆心角度数n、弧长l求出半径R=
，这样学生对这个公式有了全面的认知，即对于三个量“弧长l、所对圆心角度数n、弧所在圆的半径R”中，已知其中任意两个，即可求出第三个量，简单地说就是知二求一。
再如，学习“圆周角定理”时，可以进行图形变式，分为三种图形进行探究：（1）圆心在圆周角的一边上；（2）圆心在圆周角的内部；（3）圆心在圆周角的外部。
图5.3
图5.4
图5.5
图5.3是一种特例（圆周角的一边是直径），依据三角形的外角定理和等腰三角形的两个底角相等即可得出结论“圆周角等于它同弧所对的圆心角的一半”。图5.3探究完成后，对图形进行变式即可得到图5.4、5.5，实际上这个变式就是从特殊到一般的过程。这两个图形的探究，就需要将一般图形再转化为特殊图形，也就是构建图5.3的基本构图（添加直径），再利用图5.3的思路方法即可解决。
命题是概念与概念之间的联结。中学数学是由概念、公理、定理、公式等组成的严密逻辑体系，数学命题的教学可以有效提高学生的问题解决能力，培养学生形成良好的认知结构，因而初中数学教学必须要加强命题教学。所以数学教学中，教师要注重引导学生，学会按照等价关系，或者是强抽象关系、弱抽象关系和广义抽象关系，将一组有内在联系的命题进行梳理，构建该组命题的知识体系。
这种陈述性知识体系可以清晰呈现知识的发生发展脉络，显现知识的层次性和内在结构的统一性。值得注意的是“数”与“形”结合是数学的最典型特征，所以在构建知识网络时，除了呈现“数”还应体现“形”，既有“数”的网络又有“形”的网络。如“圆”的学习，其中“点与圆的位置关系”“直线与圆的位置关系”“圆与圆的位置关系”这三个单元，每个单元的初始课，都涉及位置关系与数量关系的对应，即“数”与“形”的结合，而且其推导思路都是一致的。如，“点与圆的位置关系”是利用点到圆心的距离d与半径r的大小关系去判断点与圆的位置关系，即：
点在圆内；
点在圆上；
点在圆外。类比这个思路，也可以根据圆心到直线的距离d与半径r的大小关系去判断“直线与圆的位置关系”，依据两个圆心的距离d与半径r的大小关系去判断“圆与圆的位置关系”，从而构建完整的由“数
形”的知识体系。
很多教师在教学中都有这样的感受：课堂上反复强调的知识及知识之间的联系，但是学生还是掌握不好。出现这种现象，与知识应用的数量不足、强度不够或知识应用的质量不高有一定关系。解决这一问题的有效途径就是精选例题和习题，通过命题的应用加深学生对命题之间关系的理解，建立命题之间稳固的联系。命题应用的教学设计中，要注意以下两点：
首先，应当精选问题。以问题为桥梁沟通命题之间的联系。选取问题时，最好的方法是组成问题系列，这样利于学生形成命题域和命题系。
如，“中点四边形”命题串：
（1）任意四边形的中点四边形是平行四边形。
（2）平行四边形的中点四边形是平行四边形。
（3）矩形的中点四边形是菱形。
（4）菱形的中点四边形是矩形。
（5）等腰梯形的中点四边形是菱形。
（6）正方形的中点四边形是正方形。
可继续对（3）（4）变式拓展：
（7）对角线相等的四边形，其中点四边形是矩形。
（8）对角线垂直的四边形，其中点四边形是菱形。
（9）对角线相等且互相垂直的四边形，其中点四边形是正方形。
【教学思考】
命题（1）的证明是简单的，学生由中点会联想到中位线，通过连接四边形的对角线构建三角形的中位线几何构图，由中位线的性质和平行四边形的判定大道理，问题即可轻松解决。重要的是，解答结束后，教师要引导学生继续深入思考一些问题。
反思1：如果这个命题的条件不改变，那么还可以推出哪些结论呢？
这个问题首先含有数学抽象——线段相等问题能否抽象到面积问题，也蕴含着合情推理——中点四边形的面积可能是原四边形面积的一半（猜想假设）。
接着，教师引导学生进行推理验证：
命题1：若四边形ABCD各边的中点依次为E、F、G、H，则
。
反思2：如果把原四边形ABCD依次改为特殊的四边形：平行四边形、矩形、菱形、正方形或等腰梯形，其他条件不变，则其中点四边形的形状又是怎样的呢？这个问题的解决，包含数学抽象：强抽象，即把四边形特殊化（增加了内涵条件），其中蕴含着合情推理：把四边形ABCD改为特殊的四边形“平行四边形、矩形、菱形、正方形或等腰梯形”之后，原四边形具有了一些特殊性质，因而中点四边形就可能会得到一些特殊的结果。
此时，教师再次引导学生进行自主探究，就会发现（2）（3）（4）（5）（6）这五个命题。
反思3：若结论中的中点四边形由平行四边形改为矩形、菱形、正方形，则原四边形ABCD应具备什么样的条件？这个问题中包含的数学抽象，体现为逆向思维（通过改变结论去考察条件的变化）。而其蕴含的合情推理则体现为：把结论中的平行四边形EFGH依次改为平行四边形、矩形、菱形、正方形，则原四边形ABCD也将随之需要特殊化。
在教师的引导下，学生经过探究会得到如下结论：
命题（7）如果四边形ABCD的对角线相等，那么该四边形各边中点依次连线组成的四边形是菱形。
命题（8）如果四边形ABCD的对角线AC⊥BD，那么该四边形各边中点依次连线组成的四边形是矩形。
命题（9）如果四边形ABCD的对角线相互垂直而且相等，即AC⊥BD，AC=BD，那么该四边形各边中点依次连线组成的四边形是正方形。
完成了上述问题串后，教师可以继续引导学生深入思考，原四边形中的“中点”改为“等分点”，则其中点四边形的形状又是怎样的呢？
反思4：如果把条件中的中点改为定比分点，那么四边形EFGH是怎样的四边形？此命题中包含着数学抽象是一种弱抽象，将“中点”这个特殊条件改为“等分点”一般化的条件，从而使问题变得更加一般化。合情推理：把条件中的中点改为定比分点，四边形EFGH可能还是平行四边形。
师生共同探讨，得到如下结论：
命题（10）已知：点E、F、G、H分别在四边形ABCD的四条边上，且满足
，则四边形EFGH是平行四边形。
反思5：如果把条件中“一组对边的中点”改为“两条对角线的中点”，其他条件不变，那么中点四边形EFGH是怎样的四边形呢？这个命题中培养学生的抽象能力体现为，从图形与图形的关系中抽象出数学命题之间的关系。同时蕴含着合情推理：由于之前那些命题的推理证明都与三角形中位线有关，因此，当把条件中一组对边的中点改为两条对角线的中点，其他条件不变，此时四边形EFGH可能还是平行四边形。
经过推理验证，学生可得到下面结论：
命题（10）在四边形ABCD中，E、F、G、H分别为AB、DB、CD、AC的中点，则四边形FEGH是平行四边形。
前面10个问题的解答过程，每一次反思都包含着丰富的数学抽象和合情推理，毫无疑问，学生经历了这种模式的学习活动后，其数学抽象能力和合情推理能力一定会显著提升。
其次，要强调命题的变式应用，特别是公式的变形应用。
如，一元二次方程“韦达定理”的综合运用：
（1）不解一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），求两根x1，x2与系数a、b、c的代数表达式。
（2）不解一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），求以两根x1，x2的代数式为根的另一个一元二次方程。
（3）已知一元二次方程的一根，不解方程求另一根。
（4）已知一元二次方程的两个根，求此方程。
（5）利用方程两根之间相互关系的条件，求一元二次方程字母系数间的关系。
（6）抛物线y=ax2+bx+c与x轴交点的个数如何确定？若存在两个交点，则两交点之间的距离如何确定？
四、命题教学中要注重提升学生的核心素养
命题学习的价值不仅仅是掌握命题，更重要的是发现命题，这对于培养学生的合情推理能力显得尤为重要。再者，学习数学命题也是为了让学生领悟数学思想方法，并能运用这些理论去解决问题，发展数学运算、数学推理、直观想象、数学建模、数据分析等核心素养。
使用归纳衍生命题教学模式，创设情境的途径之一是将问题特殊化。特殊与一般是相辅相成的，由特殊到一般是一种重要的数学思想方法。定理的发现大多是由一些简单事实经过抽象、概括、归纳后形成。反过来，在求解一般性的题目时，常常从一些简单的特例开始，在解决特例的过程中找出解决一般问题的方法。
将问题现实化也是使用归纳衍生命题教学模式中情境创设的途径之一。学生在解决现实生活中的问题时，通过建立数学模型以抽象出数学命题。
问题：如图，足球训练场上，教练在球门前划了一个圆圈进行无人防守的射门训练。甲、乙两名运动员分别在C、D两地，他们争论不休，都说在自己的位置射门好。如果你是教练，请评判一下他们的说法。
教师引导学生把实际问题抽象成数学问题：“研究同弧所对的圆周角的大小关系问题”。这个学习过程中，教师通过创设有一定挑战性的问题情景，不仅能够激发学生的探索激情和求知欲望，在短时间内把学生的注意力集中到本课的学习中。更重要的是，引导学生形成数学建模意识，将现实生活问题抽象成“两个圆周角大小比较”这一数学问题。这样引导学生继续探究下去，通过画图测量，发现两个圆周角度数相等这一结论。
使用归纳衍生命题教学模式，情境的设计还要注意开放化和变式化尤其是在几何教学中，这两种方式往往相互渗透、相得益彰。如，“勾股定理”一课，在探索直角三角形的三边关系时，教师设置了如下探究活动（遵循从特殊到一般的思路）：
1.验证下图中以c为边长的正方形的面积为2
2.验证下图中以c为边长的正方形的面积为8
【设计意图】
既是为了解决探究活动一的第三个问题，同时让学生学会用“割补法”解决图形的面积问题，特别是在网格中充分运用小正方形和直角三角形等基本构图灵活解决有关面积问题。
【问题应对】
学生可能比较习惯“割”的方法，忽略“补”的思路，课堂上放手给学生自主思考，通过展示交流开阔思路。对于学生的各种方法（比如数格子的方法），教师会鼓励他们进行表达和交流。当然，方法应来源于学生的实际，不要为了所谓方法的多样性而向学生提供更多的方法。
3.类比前面的解题思路，求出下图中以c为边长的正方形的面积（a=1，b=2）？
【设计意图】
由特殊（等腰直角三角形）到一般（任意直角三角形），继续用“割补法”解决图形的面积问题，寻找直角三角形三边之间的关系式。
【问题应对】
此题用“割”的方法——将斜边上的正方形分割为边长为整数的直角三角形可能有部分学生会遇到困难，教学中可以采取小组合作、互相交流的方式帮助学生找到解决方法。同时，对比分析“割”与“补”的思路方法的优劣。
4.类比3题的思路方法，探究a=3，b=4时，关于c的式子？
【设计意图】
此题作为一道即时评价检测题，反馈学生是否真正学会用“割补法”探索直角三角形的三边关系问题，同时为下一环节的探索提供素材。
5.将探究活动二中的四个图形的相关数据填在下表中
总结归纳：根据表格探索a、b、c之间的关系为____________________
【设计意图】
通过具体实例找规律，探究直角三角形的三边关系，符合学生的认知规律。勾股定理的语言叙述，先让学生自己归纳，然后再自学课本，了解相关名称。
2.几何画板的演示（特殊——一般）
——任意直角三角形中，两条直角边的平方和都等于斜边的平方。
【设计意图】
几何画板的演示，验证了在任意一个直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方，同时再次体现了由特殊到一般的数学思想。
上述“勾股定理”的探索过程，就是充分运用了问题变式，通过充分探究获得了命题“直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方”，在这个活动过程中，培养了学生的直观想象能力。
在命题教学中，命题直接呈现模式主要任务是命题的证明和命题的应用。命题应用属于解题教学范畴，我们将在下一节讨论。命题证明旨在训练学生的演绎推理，因为证明涉及判断推理命题演算等多种逻辑知识，这些知识只有结合具体的数学命题解决问题方能牢固掌握和娴熟运用。因此，教师在教学中，第一，要揭示新命题与原来学习过的命题之间的关系，是上位、下位、同位还是并列关系，尽可能在原有命题基础上引入新命题。第二，分析命题证明的思路，做到逻辑清晰、线条分明。第三，注意揭示隐含在逻辑推理中的数学思想方法。第四，如果命题可用多种方法证明，就要尽量采用多种证明，开阔学生视野。第五，在命题应用过程中，要指出命题之间的关系，逐步形成命题域和命题系。
如，“n边形的内角和是（n-2）·180”的多种证明。首先，教师引导学生探索证明的一般思路，由180°联想到三角形的内角和，因而可以将n边形转化为三角形来研究。转化的方法有多种，一是可以由某一顶点连接对角线，将n边形分成（n-2）个三角形（这里教师可以追问为什么是n-2个？），再结合三角形内角和180°即可证得结论。二是可以从多边形的一边上任取一点，由这点连接多边形的各个顶点，此时将n边形分成（n-1）个三角形，这些三角形的所有内角和为（n-1）·180°，再减去此点所在的平角180°，又可得到n边形的内角和是（n-2）·180。继续探究下去，可发现由多边形内部（或外部）的任一点连接各顶点，利用三角形内角和都可证明出该命题。而这些方法都要化归为学生已有的原命题“三角形的内角和是180°”，在此基础上进行推理证明得出新命题。