多期二项式定价法

第二节 多期二项式定价法

上一节讨论的方式是针对股价只上涨或下跌一次的情形，但是只有一期的情形，并不足以反映全貌，因此以下将先介绍两期模型，再进而推导多期模型。

一、两期模型

假设股价在期权到期前有两次上涨或下跌的机会，如图18-2所示。股价在第二期有上涨2次的Suu，上涨一次及下跌一次的Sud及下跌二次的Sdd，其对应的看涨期权价值分别为Cuu、Cud及Cdd。

看涨期权两期模型的公式可以表示如下:

看涨期权两期模型公式18-2 可以由公式18-1 单期推导出来。由于Cu=，将Cu、Cd代入公式18-1，即可得到公式18-2，此部分留于本章习题。另外也可以由Cuu、Cud、Cdd往前推而得到Cu、Cd; 然后由Cu、Cd再推出C。

【例题2】 假设目前股价S=100，看涨期权执行价格K=100，还有1年到期，每半年股价变动一次，另假设u=1.1，d=0.95，年利率为10%，求此欧式看涨期权的价格。

解: 根据上面的说明，有两种计算方法可以得到看涨期权价值:

解法1: 直接利用公式18-2，求出期初看涨期权价格:

所以

解法2: 由后往前回推的方法: 即为由树形图一步一步反推出期初看涨期权价格。由上述资料可知:

Su=100×1.1=110

Sd=100×0.95=95

Suu=110×1.1=121

Sud=110×0.95=104.5

Sdd=95×0.95=90.25

因此 Cuu=max(0，121－100) =21

Cud=max(0，104.5－100) =45

Cdd=max(0，90.25－100) =0

Δt=0.5，r=10%

又a=erΔt=e10%×0.5=1.05(或a=1+rΔt=1+10%×0.5=1.05)。

另外

所以先求出:

由此可知:

所以，最后求得看涨期权价格为10.29。图18-3为股价展开及期权回推的树形图。

二、二项式多期定价公式

当n为多期时，譬如n=10，表示股价在期权到期前有10次上涨或下跌的机会，二项式看涨期权的一般公式为:

其中，n为分割期数，j为上涨次数，为从n中抽出j的组合次数。

因此，根据公式18-3便可很快由股价求出看涨期权公式，不需要一期一期地折现回来，亦即不需要处理中间的节点。当n愈大，即股价切割愈细时，公式18-3会愈接近理论值，如图18-5所示。[3]