11.7.2P-S-N曲线的绘制
研究表明，最适宜表达对数疲劳寿命x分布规律的曲线是“正态分布概率密度曲线”，也叫作“高斯曲线”。
式中 e——自然对数的底，e=2.718；
μ——母体平均值；
σ——母体标准差。
当μ和σ已知时，函数f（x）也就确定了。按照这个函数绘制出的正态分布概率密度曲线如图11-20所示。
图11-20 正态分布概率密度曲线
当已知对数疲劳寿命x=lgN的正态分布概率密度曲线时，给定任意一个xp值，即可知道xp以右曲线与横坐标轴所包围的面积，如图11-20所示。
如以ξ表示作为随机变量的对数疲劳寿命，则该部分面积为随机变量ξ大于xp的概率P（ξ＞xp）。反之，当指定某一概率，也可确定出对应的xp值。如指定这个概率为90%，即随机变量ξ大于xp的概率P（ξ＞xp）为90%，则意味着：100个试件中，有90个试件的对数疲劳寿命高于xp，因此这个指定的概率90%，称为“存活率”。由于概率密度曲线与横坐标轴之间所包围的面积为1，图11-20中xp左边的空白面积为10%，它表示随机变量ξ小于xp的概率P（ξ＜xp），因此10%相当于“破坏率”。存活率P（ξ＞xp）和破坏率P（ξ＜xp）之间存在着以下关系
P（ξ＞xp）+P（ξ＜xp）=100% （11-23）
由图11-20可见，存活率取得越高，xp值就越小。在航空产品设计中，存活率一般都取得很高。对应于这种高存活率的对数疲劳寿命叫作对数安全寿命。譬如，存活率常常取99.9%，此时x99.9就叫具有99.9%存活率的对数安全寿命。而“安全寿命”N99.9就是x99.9的反对数。即
N99.9=lg-1x99.9 （11-24）
具有99.9%存活率的安全寿命N99.9的含义是：在1000个产品当中，有999个的寿命都高于安全寿命N99.9，只有一个未达到安全寿命N99.9而提前发生破坏。更确切地说，母体中有99.9%的个体寿命高于N99.9，有0.1%的个体寿命低于N99.9。存活率为P的对数安全寿命xp计算公式为
xp=μ+upσ （11-25）
式中，up可通过查表11-4获得。
表11-4 标准正态偏量数据
威布尔分布概率密度函数的优点在于存在最小安全寿命，即100%可靠度的安全寿命。按照正态分布理论，只有当对数安全寿命xp=lgNp趋于-∞时，即Np=0时，可靠度才等于100%。显然，这是不符合实际情况的，这也是正态分布理论的不足之处。
采用威布尔分布理论，在极高可靠度范围（99.99%～100%）内所给出的安全寿命或最小安全寿命仍然比较符合实际情况。但由于威布尔分布概率密度函数的数学形式较繁，使得它在一些统计推断方面受到限制。
在同一循环载荷作用下，各试件疲劳寿命N的分布规律，可以由以下威布尔分布概率密度函数表示。即
式中 N0——最小寿命参数；
Na——特征寿命参数；
b——威布尔形状参数（斜率参数）。
由于威布尔分布概率密度函数中包含三个待定参数，因此它能更完善地拟合试验数据点。
图11-21 威布尔分布概率密度曲线
当b=1时，f（N）为一简单的指数分布概率密度函数。当b=2时，f（N）为一瑞利分布概率密度函数。当b=3～4时，f（N）接近正态分布概率密度函数。曲线高峰通常偏斜向左，偏斜程度随b而变化。对于b＞1的情况，当N=N0时曲线与横坐标轴相交，由图11-21可以看到，存在有大于零的最小寿命值N0。差值（Na-N0）越大，曲线外形越扁平，分散性越大。曲线右端延伸至无限远处，以横坐标轴为渐近线。
根据威布尔分布概率密度函数，求出威布尔变量的分布函数F（Np），即Nξ小于某一数值Np的概率P（Nξ＜Np）。
P（ξ＞xp）+P（ξ＜xp）=100% （11-29）
由图11-20可见，N0是对应存活率100%的疲劳寿命。按威布尔函数分布计算不同存活率的疲劳寿命，显然要比对数正态分布函数复杂得多。