一、数学思想方法
数学思想是指人们对数学理论和内容的理解，数学方法是数学思想的具体形式，它们本质上是相同的，通常被混淆为数学思想方法。数学思想方法在人类文明中的作用体现在数学与科学的结合以及数学与社会科学的结合上。数学思想方法是大学数学课程中的重要文化点。数学思想方法是数学理论的灵魂和指导思想，主要包括七种思维方式：函数与方程、数形结合、分类与整合、化归与转换、特殊与一般、有限与无限、必然与或然。在课堂练习中，我们应该小心改进这些数学思想方法。根据知识的历史演变顺序和课程内容顺序，引导学习者从文化思维的角度审视相关内容，使学生理解知识的精神实质。文化教育与良好的教育材料密不可分，很少有融入文化性的大学数学教材。如果教科书能够向学生介绍数学事实的背景和相关数学家、数学故事，那么学生不仅可以掌握数学知识，还可以学习数学技能，体验数学思维过程，促进他们的数学学习。
（一）化归与转换
所谓的化归就是将未知的、未解决的问题转化为已知的、已解决的问题并解决问题的过程。在数学课程中，在解决数学问题时会经常使用转换和化归的思想。学生必须理解和掌握化归思想，将其转化为自己的基础数学教育，并有意识地运用化归的思想。转换更多指等价转换。等价转换是思考如何将未知解决方案的问题转化为可在现有知识中解决问题的重要方式。持续将未知转换，把非标准和复杂问题转化为熟悉的、标准化的，甚至模块化的简单问题。转化的想法无处不在，我们需要不断发展和拓展学生的数学意识，这有助于学生强化解决数学问题的应变能力，提高他们的思维、意识和能力。转化可分为等价转化和非等价转化。等价转化需要转换过程中的因果关系，以确保转换后的结果仍然是原始问题的结果。非等价转化的过程是充分或必要的，让人们能够对推论进行必要的修正（因为无理方程和有理方程需要验根），这让人们能够在解决问题时找到突破口。在应用时，我们必须意识到转化的等价和非等价的不同要求，确保在等价转化时实现等价性，并确保逻辑正确性。
（二）有限与无限
有限和无限之间存在根本区别。初等数学主要研究常数并更多使用有限性，高等数学主要研究变量，更多用到无限性。因此，找出有限与无限之间的联系和区别是一项重要的数学技能。关于“无限距离的和可能有限”的问题，学生可以想象无穷递缩等比数列的总和。这样的序列具有无限倍数，但无限倍数的总和是有限的。芝诺故意将有限的距离划分为无限的部分，创造了一种永远无法追上的错觉。
（三）函数与方程
函数思想是用函数概念分析、转换问题以及用函数概念解决问题。方程思想从问题的数量关系入手，通过使用数学语言将问题的条件转换为数学模型，然后通过解决问题或方程组（不等式组），最后解决问题。
函数描述了数字之间的关系，函数思想根据问题的数学性质创建了函数关系的数学模型。在解决问题时，最好挖掘问题的隐含条件，并构建函数解析式和妙用函数的属性，它是应用函数思想的关键。如果对给定问题的观察、分析和评估更加深入、完整和全面，则可以生成两者之间的关系并构建函数原型。此外，方程问题、不等式问题和一些代数问题也可以转化为与它们相关的函数问题。
笛卡儿方程是：实际问题→数学问题→代数问题→方程问题，即将任何问题转化为数学问题，将任何数学问题转化为代数问题，并将每个代数问题归结为解方程。我们知道，一般都是通过解方程来实现求值问题。列方程、解方程和研究方程的性质都是方程理论应用中的重要考虑因素。[1]
（四）数形结合
数形结合是数学思想的重要方法，包括“以形助教”和“以数辅形”两个方面。数形结合的应用大致可分为两种情况：一是用形的生动性和直观性阐明数字之间的联系，即应用函数图像的手段来直观地解释函数的本质；二是借助数的精确性和严密性来说明图的一些属性，即以数为手段，以形为目的，如应用曲线方程以准确地阐明曲线的几何属性。
数形结合是基于条件和数学问题的结论之间的内在关系，它不仅分析代数意义，而且揭示其几何直观，从而让量关系的精确刻画与空间形式的直观形象和谐地结合在一起。使用此结合，找到问题的解决方案，使复杂化的问题变得简单化。数形结合的本质是抽象数学语言与直观图像的结合，关键是代数问题和图形之间的转换。如果使用数字和形式的组合来分析、解决问题，我们必须注意三点：第一，我们必须彻底理解概念和运算的几何意义以及曲线的代数性质，对数学问题中的条件和结论既分析其几何意义，又要分析其代数意义；第二，正确设置参数，合理使用参数，建立关系，做好数形转换；第三，确定参数的取值范围。
（五）分类与整合
分类是一种逻辑方法，一种重要的数学思想，也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想方法。分类讨论思想的数学问题显然是合乎逻辑的、全面的和具有探索性的，可以培养人思想的条理性和概括性。在回答分类和讨论的问题时，我们的基本方法和步骤是：首先，确定讨论对象的整个范围；其次，确定分类标准，合理分类，标准是统一的，没有遗漏的，分类互斥（不重复）；再次，对所分的类再次逐步讨论，分级进行，得到阶段性的结果；最后是归纳总结并得出结论。
（六）特殊与一般
特殊和一般是重要的数学思想方法。作为对客观事物的一种理解，数学与其他科学概念一样，遵循实践→认识→再实践的认识过程。然而，数学对象（数量）的特殊性和抽象性产生了特殊的认知方法和理论形式，这些方法和理论形式在数学认识论中产生了独特的问题。“一般”是指数学认识的一般性。数学与其他学科一样，遵循感性具体→理性抽象→理性具体的辩证认识过程。“特殊”是指数学知识的特殊性。数学研究事物的量的规定性，而不是事物的质的规定性。数量在事物中是抽象的，是不可见的，只能通过思维来掌握，思维有其自身的逻辑。因此，数学对象的特性决定了数学理解方法的特殊性。
（七）必然与或然
“必然”是合乎一般规律，因此事件的结果具有更大的确定性；“或然”是规律发生作用的条件具有复杂性，因此事件的结果表现形式相对不确定。世界上的一切都是多样的，人们对事物的理解是从不同角度进行的，人们发现事物或现象可能是确定的，也可能是模糊的或巧合的。为了理解随机现象的规律性，便生成概率论这一数学分支。概率是一门调查随机现象的学科。随机现象有两个基本性质：一是结果的随机性，即重复相同的测试，得到的结果不一定相同，因此测试结果无法在测试前预测；二是频率的稳定性，也就是说，在重复的测试中，每个测试结果发生的频率是“稳定”的。要了解一个随机现象，就要知道这种随机现象的所有可能结果，并知道每个结果出现的概率。概率研究的是随机现象，研究过程是在“随机”中找到“必然性”，然后用“必然”规律来解决“偶然”问题。其中所体现的数学思想就是必然与或然的思想。