二、数学思维模式
在《数学思维理论》中，任樟辉指出，数学思维是针对数学活动来说的，通过对数学问题的提出、分析、解决、应用和推广等工作以获得数学对象（数量关系、空间形式、结构模型）的本质和规律性的认知过程。这个过程是通过人脑的意识对数学对象信息的接受、分析、选择、处理和整合。它是一种高级神经生理活动，也是一种复杂的心理过程。
（一）数学思维的含义
数学以数字和形状作为研究对象，数学思维是一种特殊的思维方式，它是数学对象、数学符号和数学语言的间接、概括的反映过程。数学思维是通过数学符号和数学语言，使用数字和形式作为思想对象，通过数学判断和数学思维揭示数学对象的本质和内部联系的过程。数学思维使用数学活动作为建立数学知识的工具，通过提出问题、分析问题和解决问题，然后引申、推广问题等形式，形成数学知识，概括总结数学的概念、思想和方法（包括思维方式和方法）以认识和改造客观世界。
数学思维与数学方法有关，数学思维应以数学结果的形式表达，数学过程是获得这些结果的思维过程，而数学方法本质上是数学思维活动的方法，包括数学的思想、概念、构建并找到数学的方法、数学证明方法和数学应用方法。数学思维除了具有明显的普遍性、抽象性、逻辑性、精确性和定量性外，还具有问题、类比、辩证法、想象性和猜测性以及直觉、美的特征。数学思维不是孤立的心理活动。数学思维具有多种思维品质，如灵活性、关键性、原创性、敏捷性、突发性、价值性、飞跃性和整合性等。
（二）大学数学中重要的思维模式
数学思维方式的形成和应用是数学思维的另一个基本过程。大学数学包括多种思维模式，下面将着重就以下模式进行介绍。
1.逼近模式
逼近模式是通过接近目标并逐渐连接条件和结论来解决问题的方式。其思考程序为：①把问题归结为条件与结论之间的因果关系的演绎；②选择适当的方向逐步逼近目标。逼近模式有正向逼近（顺推演绎法）、逆向逼近（逆求分析法）、双向逼近无穷逼近（极限法）等。
2.叠加模式
叠加模式是运用化整为零、以分求和的思想，来对问题进行横向分解或纵向分层，并通过逐个击破而解决问题的思维方式。其思维程序是：①把问题归结为若干种并列情形的总和或者插入有关的环节构成一组小问题；②处理各种特殊情形或解决各个小问题，将它们适当组合（叠加）而得到问题的一般解。
上述意义上的叠加是广义的，一般解可以从特殊情况的叠加中得到，或者子问题可以单独解决，并且叠加结果来解决问题。建立小目标的条件和结论之间存在一些中间点。最初的问题被分解为几个子问题，因此前一个问题的解决方案是解决后一个问题并叠加结果以得到最终解决方案的基础，并且还可以引入中间或辅助元素来解决问题。
3.变换模式
变换模式是通过适当变更问题的表达形式使其由难化易、由繁化简，从而最终解决问题的思维方式。其思维程序是：①选择适当的变换，等价的或不等价的（加上约束条件），以改变问题的表达形式；②连续进行有关变换，注意整个过程的可控制性和变换的技巧，直至达到目标状态。
变换模式是变更问题的一种方法。通过适当变更问题的表达，使其由难变易，从而解决问题。变换模式具有等价转换和不等价转换。
所谓的等价变换是指将原问题变为新问题，使两者的答案相同，即两种形式是相互必要和充分的条件。高等数学求极限方法中的等价无穷小替换、洛必达法则、求积分的换元法、分部积分法都是等价变换。等价变换的特殊形式是一种恒等变换，包括数字和方程的恒等变形。使用泰勒公式来找到极限是恒等变换。线性代数中的求解线性方程组（群）使用方程的通解变形，这也是等价变换。
非等价变换意味着新问题扩展或限制了原始问题的允许范围。
4.映射模式
映射模式是将问题从本领域（或关系系统）映射到另一个领域，在另一个领域求解后，返回到原始域来解决问题的思维方式。它与转换模式基本相同，但转换通常是从数学集到自身的映射。它的思维程序是：关系→映射→定映→反演→得解。
较具体的一些映射模式有：几何法、复数法、向量法、模拟法等。