一、数学命题概述

（一）判断和语句判断是对思维有所肯定或否定的思维形式

例如，对角线相等的梯形是等腰梯形，三个内角对应相等的两个三角形是全等三角形，由于判断是人的主观对客观的一种认识，所以判断有真有假。正确地反映客观事物的判断称为真判断，错误地反映客观事物的判断是假判断。判断作为一种思维形式、一种思想，其形式和表达离不开语言。因此，判断是以语句的形式出现的，表达判断的语句称为命题，因此，判断和命题的关系是问题对象的内核与外壳之间的关系，有时我们对这两者也不加区分。

数学命题是表示数学判断的语句，这种语句还可以用符号的组合来表达。在数学中我们常用p、q、r等来代表任意的命题，通常我们称为“语句变元”。当语句变元p表示一个真值语句时，我们说它取真值，记为“p=1”，否则我们说它取假值，记作“p=o”。

（二）命题特征

判断处处可见，因此命题无处不在，例如，在数学中，“正数大于零”“负数小于零”“零既不是正数，也不是负数”就是最普通的命题，命题就是对所反映的客观事物的状况有所断定，它或者肯定某事物具有某属性，或者否定某事物具有某属性，或者肯定某些事物之间有某种关系或者否定某些事物具有某种关系，如果一个语句所表达的思想无法断定，那么它就不是命题。因此，“凡命题必有所断定”，可看成是命题的特征之一，命题的主要特征是：“凡命题都有真假。”如果一个命题真实地反映了客观事物的情况，那么它就是真命题；否则，它就是假命题，例如，“1米=100厘米”“除法是乘法的逆运算”，“6≠7”等都是真命题。又如，“任意两个无理数的和是无理数”就是假命题。形式思维对命题的基本要求是，命题要真实。教学命题的真假，需要由教学理论加以证明或反驳科学命题的真实性，需要在理论上加以证明，并在实践中加以检验。

（三）命题与语句的关系

任何命题都要用语句表达，但并非所有的语句都能表达命题，一般地，只有陈述句表达命题，疑问句、祈使句、感叹句不能表达命题，例如，79是质数，这是陈述句，肯定了79具有质数性质；0是最小的个位数吗？这是疑问句，只提出了问题，并没有指明0是或不是最小的个位数。画一个六边形！这是祈使句，只表示了要求。这个数好大啊！这是感叹句，只是抒发了情感。因此它们都不表达命题。^[1]

表达命题的语句与命题，通常不是一一对应的。同一个命题可以由不同的语句表达，教学中通过等价命题，用不同的语句表达同一个命题是很常见的。例如，杏树比梨树少300棵；梨树减少300棵和杏树一样多；杏树增加300棵和梨树一样多，这里三个不同的语句，都表达梨树比杏树多300棵这个命题。在日常生活中，比如，用话语或文字与别人交流时，通常选择不同的语句表达同一个命题，使得表达得体、优雅、幽默，比如，“禁止践踏草地”，就不如“小草在成长，请勿打扰”来得优雅、亲切。

在数学中，同一个语句只能表达一个命题，但在生活中，同一个语句，在不同的语境中，可以表达不同的命题。例如，“那是白头翁”，这个语句可以理解为对一位老大爷的陈述，也可以理解为对一只鸟的陈述，还可以理解为对一株植物的陈述，自然语言中虽然有许多歧义句，但在特定的语言环境中，或暂加上语言的严格限制，所表达的命题还是唯一的，比如说“那是一位白头翁。”就只能理解为是对一位老大爷的陈述，因为在汉语中对鸟和植物的陈述不用量词“位”限制，因此，要准确地理解一个语句所表达的命题，必须弄清楚一个语句所处的语言环境及说话者的客观环境。