适度形式化原理
20世纪下半叶，数学具有过度形式化的倾向，并被阿诺德批评为“丑陋的学术形式的伪数学”。在这方面，我们应该保持警惕并遏制它。然而，形式化是数学科学的特征之一，大学数学的内容也需要正式的表达。从教学的角度看，问题在于学生不容易理解正规数学，所以大学的数学教育也必须转变为学生容易理解的教育形式。根据数学的内容和学生的特点，适度掌握形式化水平已成为高校数学课程成功设计必须遵循的基本原则。
（一）形式主义数学哲学的适当运用
19世纪下半叶，数学概念发生了巨大变化。以微积分为核心的分析数学用ε-δ语言得以完成严谨化的历程。希尔伯特重写了《几何基础》，把《几何原本》中不严谨的部分加以规范，并开发了一个严格的欧几里得几何公理系统。20世纪，形式主义、逻辑主义和直觉主义的数学哲学开始争论，最后形式主义的哲学趋势得到了大多数数学家的认可。一些数学家追求纯粹形式化的纯数学，认为所有的象征、逻辑和公理数学都是最好的数学。法国布尔巴基学院的《数学原本》是杰出的代表之一。然而，以计算机技术为代表的信息时代的数学迅速增长，形式主义的数学哲学逐渐减弱，甚至《数学原本》也没有在20世纪70年代之后出版。到目前为止，学术形式的数学依旧是形式化地加以表述的。公理化、象征化和逻辑仍然是保持数学完全健康的绝对保证。我们看到的正式技能是我们需要学习掌握的技能。形式化的冰冷之美是理性文明的标志。我们绝不能否认或鄙视正式的数学表达。我们应该注意的是如何避免火热的思考被淹没在形式主义的大海之中。
20世纪80年代左右，随着形式主义数学趋势的消退，中小学数学教育的研究提出了“非形式化”教学诉求。这样的课程并非完全拒绝数学的形式化，而应正式将其正式化。通俗地说，就是把正式的数学学术形式转变为易于学生理解的教学形式。
一般来说，正式的严格定义和数学证明来自实践思维，因此概念教学必须从非正式问题开始。使用简单语言和具体例子来描述数学概念，使学生首先对学习概念进行更具体的理解，然后用严格的数学语言对其进行定义。
同样，定理的证明也应该基于问题的性质和特征，以便找出合理的理由和猜想来找出思考的方向。不断寻找解决问题的方法，甚至是一些失败的尝试，都是非正式的，这反映了数学发现阶段的火热思维。下一步是从不严格到严格，从非正式描述到正式描述，这是数学教学创新的基础，体现了数学家第一次遇到问题时的“热思”过程。
（二）不同“形式化”水平的适当选择
如上所述，数学必须正式化，但尚未完全正式化。这尤其适用于数学的教育形式。事实上，大学教科书的形式化程度是不一样的，我们需要做出适当的选择。
例如，对于一些完全成熟的理论，我们可以直接接受它们而不需要任何论证。换句话说，鉴于一些完美的数学基石，我们可以继续前进并取得更大的进步。
构成分析基础的实数理论是严格分析过程中的核心问题。无论是戴德金的“分割”理论还是柯西的基本序列理论，都得到了很好的定义。我们不再需要单独检验四个算术公理和排序实数系统的公理、阿基米德公理、完整的公理等。类似地，坐标轴上的点可以一对一地对应于所有实数，直观上可接受并且可以直接参考。另外，虽然需要正式的数学和公理系统，但它不是一个有时间限制的教学过程。
这种数学基石可以被视为一个平台（在计算机科学中有一个术语），可以放心使用，但不一定是单独使用。就像我们使用WORD软件来编写文档一样，但不知道它们是如何创建的，我们只知道原因，并不知道为什么。
这样的“平台”对数学教育具有特殊的意义。数学科学与其他学科不同，具有严格的逻辑结构。因此，数学的现代化不能离开以前的理论，而是源于古希腊。