四、变式训练原理

数学是做出来的，解题练习必不可少。对上海的学生来说，临界点是11个小时。在每周作业时间11小时以内，作业时间与学校表现之间存在显著的正相关，并且这种正相关在超过11小时后会显著降低。

大多数数学练习以问题的形式出现。如何准备练习以避免简单地重复并反映生动的新想法？变式训练是一种有效的方法。变式训练是中国中小学数学教育的优势之一。一般来说，所谓的变式是指当核心内容不变时，非必要内容和形式的转换，以便学生能够找到本质和解决方案，可以更深入地了解所学到的知识。除上述定义的核心内容不变的情况外，变式问题还可以部分地改变核心内容中的构成要素，然后通过观察所产生的效果来加深对数学本质的理解和掌握。例如，通过培养概念的要素来学习概念，提出概念的正面和负面例子，以便学生能够判断和辨析问题何时得到解决，在解决问题时将问题的条件和结论进行变换，让学生推测，以培养学生的思维能力。

大学数学教学也需要不同的培训。数学问题在不断变化，如何在混乱的形式中掌握本质是一项重要的数学技能。变式训练的目的是发展解决问题的技能。就像一个木匠，虽然他的基本技能非常好，但如果不能灵活运用这些基本技能来满足不同家具和不同部件的实际要求来完成最终产品，那么他就不是一个好木匠。变式训练的目的是使学生能够在掌握基本概念和基本属性的基础上理解各种问题和对象的数学本质，并使用概念和属性来解决问题。在大学数学教学中，变式训练仍缺乏系统的研究。本书提出了大学的数学教育中五种基本类型的变化，但这些建议还不是很成熟。该提案的目的是激励他人并希望有更好的理论总结。

类型1：替换，非本质形式的替换，化难为易。类型2：拼接，围绕核心问题，不同技巧的联合运用。类型3：化归，表面不一样的形式化归到同一本质的问题。类型4：辨识，分辨对表面形式相近，但本质不一样的问题。类型5：转换，将复杂的问题转化为较简单的问题加以解决。