三、数学建模原理

数学建模（mathematical modeling）是计算机技术信息时代的产物，它指的是通过数学符号、数学表达式、程序、图形等对实际主体的基本属性的抽象，并且可以简洁表征的数学活动。粗略地说，数学本身就是量化关系和空间形式的模型。任何重要的数学内容就是一个或多个数学问题的模型。数学建模对数学教育产生了重大影响。20世纪80年代在美国出现的“解决问题”的教学模式，数学建模和数学应用是其中的核心课题。

对大学的数学教育而言，数学建模课程的发展是一项深刻的改革。它包括数学教学观念的转变、教学内容的重组和教学方法的更新。我们应该尽可能地研究和积累并考虑基础课程的特定部分、特定的句子甚至某个想法、某种能力作为工作中问题的模型。数学建模技能的培养不再是数学教育的奢侈度量，而是当今大学数学教育中应考虑的基本原则。

（一）数学应用题教学和数学建模教学

如果数学建模仍然是一个新事物，那么问题的应用是古老而众所周知的。即使在小学，数学教育也是非常重要的，如旅行问题、技术问题、流水问题、注水问题、鸡兔同笼等。数学建模和应用题教学有很多共同的地方。

数学建模有四个非常重要的步骤：合理假设→模型建立→模型求解→解释验证。应用题教学也有类似的四个阶段：实际情景→列数学式→解数学题→检验答案的合理性。

可以说，应用题教学是数学建模的初级阶段，数学建模则是应用题教学的现代发展。两者之间的区别主要有：①数学建模的实际情景更加具体、更加切合现实；②数学建模的抽象度更高，不只是某数学知识的直接运用；③数学建模的问题需要合理假设，条件通常冗余，次要因素需要忽略，问题的目标需要整合简化，数据需要整理，过程比较复杂；④数学建模问题的求解，通常需要借助计算机进行大量的计算；⑤数学建模的结果，通常不是唯一的，答案具有一定的开放性，可以做某种讨论。

因此，我们不否定数学应用题的教学，而是要在此基础上进一步提高，达到数学建模的水平。

（二）在大学数学主干课程中融入数学建模

姜伯驹认为，20世纪下半叶数学的最大进步在于它的应用。李大潜一再建议在课程中加入数学建模。北京理工大学的叶其孝和上海交通大学的陈贤峰将这些付诸实践，取得了一系列成果。根据研究成果和相关主题的总结来看，我们可以总结出以下几个“融入”的原则：①“融入”不能影响课程原定的教学计划。切入要自然，起点要低，不明显增加学生的负担；②融入主干课程的“建模”案例数量不必多，但质量要高，不可喧宾夺主，不能影响扎实的基础；③数学建模的四个关键步骤：合理假设、模型建立、模型求解、解释验证，这必须在案例中体现；④案例解决既要有解析方法，又要有数值方法。要会使用数学软件；⑤普遍受惠与因材施教相结合。例如，课堂讲解以基本原理和方法为主，课后习题可以安排不同层次的研究课题；⑥启发式教学和适度“传输”相结合，鼓励甚至“迫使”学生多思考、多动手、多提问和多讨论交流。