一、课堂教学设计
数学课堂教学设计大致分为三个方面或层次：关于课堂教学总体考虑的宏观设计、对具体教学内容或教学活动环节的微观设计和创设学习氛围的情境设计。
（一）课堂教学宏观设计
在教学过程中，既发挥教师的主导作用，又尊重和强化学生的主体意识，运用合作交流，把教师的教学过程和学生的学习过程统一在师生共同的探索研究中，同时在培养学生“浓厚的学习兴趣，强烈的学习愿望和科学的学习方法”方面有所作为。
宏观设计的前提是吃透教材，用“数学方法论”这把“解剖刀”弄清教学内容的性质、特点，纵横联系，不仅事半功倍，而且自然、连贯、巧妙，给人一种“奇妙”的艺术享受。
（二）课堂教学的微观设计
数学课堂教学的微观设计，也叫微型设计，即对一个概念、命题、公式、法则或例题教学过程的设计，它是教学环节的具体化，是以具体实现课堂教学总体构想为任务，是实现宏观教学设计构想的载体。
在教学过程中，教师通过一系列的教学措施，如指导学生制作模型、画图、计算、网上搜集资料、运用图表整理资料、对资料进行观察、实验，提出问题，启迪思考、讨论，做出类比、联想、猜想，给出证明等。恰当安排教学活动，使学生动手、动口、动脑，打开通向大脑的六条通道（看、听、尝、触、思、做）中尽可能多的通道；开通全部六个智力中心（语言与逻辑、视觉、人际、音乐、内省、运动）中尽可能多的中心；参与知识的尽可能完整的生长过程（问题的提出过程，概念的建立过程、定理及其证明的探索发现过程，题目求解方案的制定、执行过程，对解答的检验、回顾、评价过程，对方法的归纳、综合整理过程等），使学生真正成为学习的主人。
数学作为人类活动的“痕迹”，它的实质，它的精神，它的周折故事，通常凝结在数学的对象、内容、方法和思想之中，在做数学教学设计时，我们应当像考古学家一样，把冰冷的数学形式融化开来，用数学史、数学哲学和数学方法，作为“数学考古学”，“寻找回来的世界”，化开凝固的历史，从数学概念、命题、法则、公式、“惯用手法”、基本数学符号等，推知事件的经过，要动中求静，死中觅活，硬中找软，虚中见实，概括追索消逝世界的许多高明策略和艺术手法，这就是微观教学设计的辩证法。
（三）课堂教学的情境设计
课堂教学情境设计的目的：服务于宏观设计和微观设计，创设学术境界，渲染课堂气氛，调动学生的情趣和学习数学的积极性。
对于体现同样的学习任务（目的）的学习内容，不同的表述方式以及不同的背景素材选取，所产生的学习效果是不一样的。
1.情境设计的主要任务
为了吸引学生的注意力，使学生聚精会神地投入数学学习，发挥和增进学生的聪明才智，创设宽松和谐的学术气氛，就要精心进行情境设计，主要任务有：①激发学生学习兴趣；②烘云托月，呼唤主角，并预示着这“主角”的功能、形态、形象、出场的时机和方式等。这是许多艺术形式中所运用的高明手法。情境设计无法离开宏观与微观设计单独进行，而只能同前两种设计配合，情境设计是宏观与微观设计的深化。在情境设计中，可运用戏剧、诗歌、音乐、相声、绘画的手法，烘托重点，设问激疑、创设冲突，穿插倒叙、设陷打伏等。
2.情境创设的一些原则
所谓情境就是能够激起学生情感体验的问题背景，其目的是创设矛盾冲突、激发学生兴趣，烘云托月，呼唤“主角”“数学”登场。因此，数学情境创设应遵循以下原则：
（1）现实性原则
第一，现实的问题情境蕴含着大量的数学学习的对象，数学“好”问题尽量采自学生熟悉的事物，且具有一定的开放性，对于学生和他们的现有知识来说，是不能解决和解决不好的，因而需要进行探索，或呼唤着某一新的概念、法则公式、命题的导入或发现，由此暗示导入新知识的必要性和发现某些定理、公式、法则的必然性，因而要求通过学生所学数学知识获得解决。
第二，现实的或数学自身的问题情境提供的亟待解决的问题，应设计好提法，即提法简明，富于趣味性、激励性、挑战性。如当前市场经济问题（物价、储蓄、股票、投资等）、环保问题（如节水、节能、污水处理、绿化等）、网络、交通、教育、文化等现实情境的各方面，情境设计可利用“问题—解决”和数学建模研究等手段。[4]
（2）情趣化原则
学习的最大动力莫过于兴趣，能引起学生良好的情感体验：轻松和谐，富于情趣；完全投入，积极探索；活而不乱，紧扣主题。因此，情境的趣味性也是问题情境创设的一个原则，包括以下几方面：第一是设置悬念。如设疑激趣、打伏笔、求变求新等。第二是趣化题材。如模拟实际过程，揭示重大背景，内容的神秘化、戏剧化，引进竞争机制等。第三是在“导入”上下功夫，可平铺直叙、开门见山。
（3）数学化原则
数学教学情境创设应遵循数学化原则，也可以说是数学一致性原则。简单说就是活而不乱，紧扣“数学”这一主题。理想的情境创设的素材应力求做到学科性、现实性和趣味性的统一。设计出同时满足这样几个原则的问题情境是教学中的一个永恒的追求目标。但要求每一个问题情境都同时满足这样几个性质未必现实，在具体情境设计时，应认真分析各个情境的作用，并据此确定选材时的侧重点；从整个课堂教学实践来看，应该寻求几者之间的一个恰当的平衡。数学方法论是把握这种“平衡”的有效砝码。
用数学方法论指导数学课堂教学设计，我们应当注意以下三点：
第一，因为我们实施的是数学教学，数学方法论作为数学教学设计的指导思想，在教学中是辅助的东西，只能在处理数学内容时“渗透和使用”，在课堂教学过程中不必全部地把它们概括出来，毕竟数学教学不是数学思想的教学；但对于数学的基本思想方法，作为数学知识的一部分，也需要学生领悟、掌握和运用，应直接教给学生。
第二，数学方法论指导数学教学的本质在于按照数学知识的形成和发展规律进行教学。由于数学知识的生长过程延续时间长，充满了曲折反复，不可能原原本本地搬到课堂上，但也不应当不顾这个过程，完全“删除”曲折弯拐，直出直入地搬用方法，获得结论。教学情境创设一方面是通过具体的问题情境，引导学生联想和寻求数学学习对象，包括数学概念、法则、命题以及一些具体的方法等，从而解决情境中的问题，进而展开某个具体数学课题的学习；另一方面是通过有激励性的或有趣的问题，激发学生的学习兴趣。
第三，课堂教学设计的目的在于施用。组织指导课堂活动，像指挥一场战斗或一场体育比赛，是对混沌行为的调控，讲究临场发挥，而临场发挥也不是不做课堂教学设计。
二、课堂教学的实施
课堂教学是通过教师与学生的相互作用实现的，是在教师、学生和知识构成的一个复杂性适应系统中，以数学为中介，通过师生、生生之间的信息交流、碰撞，从而促进学生获得数学知识、技能，提高自身素养的过程。教学过程中影响教学的因素很多。教师的数学观、教学理念，教学活动的组织方式，在教学活动中学生主体性的发挥程度，教学内容的内在特征和教师对它的理解程度等，都是影响课堂教学实施的因素。数学课堂教学的实施，就是依据数学方法论指导数学教学的理论和原则，按照本课的教学设计，师生共同参与的一个教学研协调发展的过程。
（一）课堂教学特点
数学方法论指导数学教学，本质上是数学的启发式教学，充分贯彻学生为主体、教师为主导的方针，不限于一种教学形式，不固定于一种教学方法。这是由影响教学方法的因素决定的，因为从教学过程中信息的传输方向来看，有接受与发现之分，当然，接受应是有意义的接受；从学习过程中学生自主性的发挥程度来看，有自主与他主之分，当然这里的自主是指学生个体自主，而非群体自主；从学习过程中学生之间的相互作用水平来看，有合作学习与独立学习之分，当然合作学习与独立学习并存。
在这样的课堂上，教师着重发掘数学自身的规律，用于启迪学生思维，发掘数学美的因素，运用问题性，使数学富于情趣，富于激励性，师生共同参与，所实施的每项教学措施，安排的每个教学环节，都是给学生创造一种思维情境，一种动脑、动手、动口的机会，让他们在简化的、理想的、顺乎自然又有必要的波折歧路的氛围中，亲历知识的生长过程。
（二）课堂教学一般程序
课堂教学大体上可以分为三个阶段，即课题的导入、课堂活动和归纳小结。
1.课题导入
就是按教学设计和临场情况，简单自然地引导学生，进入学习情境。
2.探索与课堂活动
本阶段是教师根据实际情况，遵循教学设计原则，进入课堂教学过程。教师可参与活动，但主要是主持和导向。在这个过程中，教师要坚持渗透和选择使用、操作以下几方面的数学方法要素。
（1）返璞归真。
密切联系实际、提倡问题解决；培养数学意识、提高应用能力。由于数学是“量”及“量的关系”的科学，而“量”及“量的关系”是抽象的结果，抽象的思维总是遵循着人们认知的一般规律，因此要“返璞归真”——“去其外饰，还其本质”。就是按数学概念的产生、数学命题的形成和数学论证方法的发现、发明和创新等发展规律，主导或参与数学课堂活动，引导学生认识、模拟知识的“自然”生长过程。
（2）发现、发明
揭示创造过程、再造心智活动；诱发数学机智、培育创新能力。由于认识、模拟数学知识的生长过程，必然涉及数学创造活动中的心智过程，因此要以数学学习心理学理论为指导，以课堂活动的实际为依据，恰当“揭示”准确“诱导”，使课堂活动自然有序地进行。
（3）数学史志
巧用数学史料，编制轶事趣闻；运用唯物史观，启发洞察能力。数学的发展规律可以从丰富的数学发展和丰富史料中归纳出来，因此，数学史和数学教育史在指导课堂活动中的作用不容忽视。
（4）（数学家的）优秀品质
介绍（数学家的）生平事迹、分析成败缘由；培育科学态度、增强竞技能力。由于数学的形成和发展过程是知名的和佚名的数学家们在数学创造活动中所走过的路，所以，数学课堂活动必然涉及数学家们的研究方法及其研究成果，对数学家成长规律进行一般性分析，用于激发学习数学、进行数学活动的情趣是很有意义的。
3.归纳与小结
根据情况，可由学生或教师，对课堂活动的内容，包括结论、方法、思想和遗留问题诸方面做出小结。课堂小结的方式有以下几种方法：
（1）归纳式小结
这是课堂小结的最常用方法。这样的结尾，是将本节课所学习的内容加以归纳、总结，打破学生学习过程中知识形成的条条块块，明确本节课的重难点，起到巩固、加深、强化的作用。这样能使学生对所学知识由零碎、分散变为集中，同时使学生的知识结构更加条理化和系统化。
（2）问题式小结
一堂课结束后，如何知道学生对本节课知识的掌握情况，可以设计系列问题，通过这些问题来诊视，同时深化学生对课堂知识的理解。
（3）悬念式小结
在教学中，对于前后有联系的内容，一堂课内不能解释清楚的知识点，可以“设置”一个“欲知后事如何，且听下回分解”的悬念来结尾，它能激发学生的求知欲望，并告诉学生这些问题将在下节课中得到解决，学生为了探根究底，可能会提前预习，为下节课打下基础。
（三）课堂教学实施的组织
有效的数学学习活动不能单纯依赖模仿与记忆，动手实践、自主探索与使用交流是学生学习数学的重要方式。数学课堂教学实施，不仅要有好的教学设计和教师的基本功，而且要合理组织学生参与进来。
1.学生发展需要合作
我们教学的目标，自然是要使每个学生都得到发展，学生整体得到最大的发展，即实现教学效果的最大化。因此，要对班级进行重组，采用小组合作学习的形式。首先可以使学生成为学习真正的主人。其次可以改善传统的师生单向交流的方式，促进学生之间的多向互动交流，使每个学生都有表达自己观点和了解他人想法的机会。而同一年龄阶段的学生思维水平、认知能力等各方面都比较接近，因此教学中让他们通过有效的合作学习可以促进对问题的理解。最后，由于合作学习把个体间的差异当作一种教学资源，在教学中让学生进行合作也可以达到集思广益、取长补短、共同进步、协同发展的目的。特别在当今社会，由于个人能力的限制，很多工作需要团队协作方能完成，因此合作学习对于培养学生的合作能力、增强学生的团队精神尤为重要。
“自主探索”与“合作交流”是两种不同学习形式，自主探索体现个人独立的一种单向静态的学习活动，而合作交流提供课堂平等交流的机会，培养与人交流、协作的能力，因此它是一种体现团体协作的多向动态的学习活动。
2.合作的有效性
合作学习是指学生在小组或团队中为了完成共同的任务，有明确的分工的互助性学习。因此，建立有效的小组就是实施合作学习的前提条件。合作学习小组不能随意建立，首先要注重合理性。因为每个学生的知识基础、兴趣爱好、学习能力、心理素质都存在差异，这为合作学习提供了基础，也是建立合作小组必须考虑的因素。一般来说，合作小组的建立应遵循“组内异质，组间同质”的原则。“组内异质”可以增加合作小组成员的多样性，便于合作，“组间同质”有利于合作小组间的竞争。
其次，要注意建立比较稳定的小组，且小组内每个都有分工，如谁组织、谁记录、谁承担小组发言人的角色，发言时其他成员做什么。小组合作成员必须明白各自应承担的角色，明白各自为小组做什么，但角色最好不断轮换，使每个成员有机会担任不同角色，明白各个角色应承担的责任和义务，以此来增强合作者的合作意识和责任感，同时也让每个同学的能力得到多方面的发展。小组合作学习中各成员应形成一个利益共同体，发展为一个整合的群体，为共同的利益共同努力，最终达到共同进步。
3.合作小组的组织
（1）把握合作的时机
“数学学习”本质上是个人独立实施的，独立思考，独立完成作业等。因此，“合作”一定要在个人独立思考、充分准备的基础上实施，因为每个人都有“资本”都做贡献，才能谈得上“合作”。合作学习源于教学需要，合作学习次数也应视需要而定。需要合作时才合作，否则是多余的。合作的问题应具有一定的价值，存在一定的难度，且经合作可以在一定的“时空”内完成。教师还要善于观察学生的表现，把握合作的时机、设计可以合作的问题，一般包括以下几方面。
第一，学生个人独立操作时间和条件不充足的问题。数学学习不仅要求学生的演绎思维，也要求学生的归纳思维，而归纳思维的培养是建立在对大量个别材料的感知和经验的基础之上。
第二，学生独立思考会出现困难的问题。课堂教学中，要解决的某些数学问题通常具有一定的挑战性。学生在独立探索这些问题时出现困难是很正常的事，如果教师直接给出解法，学生即使当时明白，以后还会出现同样的解法障碍。
第三，学生提出的问题策略，但彼此之间不统一或有争议问题。在解决数学问题的过程中，不同的学生由于来自不同的文化背景，有各不相同的经历和思考问题的方式。因此，时常会出现这样的情况，即学生各抒己见，提出的解决策略各不相同，甚至有时还会因彼此不同意对方的观点或认为自己的解决方法更好等问题而发生争执，这也是一个很好的开展小组合作的学习时机。可以收到很好的学习效果，同时学生的个性也得到尊重和发挥，有利于提高学生学习的积极性。
第四，以学生个人力量不能全面解决的问题。教学内容是较为抽象和深刻的，有时由于学生个人认识问题的局限性，单独某一学生通常回答不全面。这也可以考虑采取小组合作学习形式，让组内的几个成员充分发表意见。通过有意义的协商和共享，相互补充，并不断从别人的发言中受到启发，从而对数学问题的认识更加丰富和全面。数学中也有不少开放题，答案不唯一，但学生通常从自己理解的角度，对问题进行不同的心理表征，个人给出的答案都存在一定的局限性，这时也应安排小组合作学习，让学生从别的学生那里看到表征和解决问题的另外角度，培养学生全面考虑问题，扩展解题思路。
（2）教学生如何合作
合作学习中学生必然要相互交流，否则仅是形合而“神”不合。然而合作有技巧，教师要引导。
第一，学会表述。在合作中，首先要求学生会表述自己的想法。可是学生在小组中要么不愿开口，要么开口不知道说什么，通常抓不住要点，东拉西扯；有时仅仅“嗯嗯”的口头禅比较多。教师可以从以下几方面入手培养学生的口头表达能力：①合作之前要独立思考，充分准备自己说的内容；②要鼓励学生大胆地说出自己的想法，说错了也没有关系，可以再修改；如果说不出来也不要紧，听了再说；③教给学生一些基本的启动、推进、终止交流的话语形式。
第二，学会倾听和思考。合作时要特别注意倾听别人的意见，这样同学之间才能真正地交流起来。①在教学中，教师要引导学生注意听，可用问题“谁听懂了他的意思？谁愿意来解释一下他的发言？”等，让学生感受听的重要；②教给学生听的方法。教师可以提示学生，要边听边想别人说的与我想的一样吗？有补充意见吗？想一想，他的想法与你不同在哪里？重复一遍，用自己的话说一遍。让学生边听边思考。
（3）注意过程性评价。
要实现有效的小组合作学习，必须建立一种合理的小组合作学习评价机制。评价时要把学习过程评价与学习结果评价相结合，将小组成员评价与小组集体评价相结合，在此基础上，侧重于对过程评价和小组集体评价。把过程评价与结果评价结合起来，就可以使学生更关注合作学习的过程，使他们认识到对他们最有意义的是合作的过程，最重要的是从合作学习的过程中认识合作学习的方式、合作学习的精神。同时，将小组集体评价与小组成员个人的评价相结合，并侧重于集体评价。这样就会使小组成员认识到小组是一个学习的共同体，在小组评价时也要对小组个人有一个合理的评价，如个人对合作学习的参与度、积极性、独创性，通过组内树立一个这样的榜样，激发小组内的竞争，以此来调动其他成员的积极性，以免让学生形成一种依赖思想。
【注释】
[1]孙雪梅，朱维宗，吴波.数学教学设计[M].哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，2014.
[2]曾友芳.试论大学数学教学设计的学习目标[J].科教导刊—电子版（下旬），2020（09）：211—212.
[3]周庆欣，吴玉东，王勇.大学数学教学内容供给侧改革原因探究及方案设计——基于哈尔滨商业大学高等数学课程[J].中外交流，2019，26（19）：10.
[4]徐光考.数学课堂教学设计[M].北京：国家行政学院出版社，2013.