数学思维训练的教学方法
上面谈了数学思维的类型和品质，数学知识是数学思维活动升华的结果，整个数学教学过程就是数学思维活动的过程。如何通过数学教学来培养学生的数学思维是值得探讨的重要课题。下面我们谈谈在教学中数学思维训练的方法。
（一）学生对数学思维本身的内容有明确的认识
长期以来，在数学教学中过分强调逻辑思维，特别是演绎逻辑，从而也就导致了数学教育仅赋予学生“再现性思维”“总结性思维”，因此，为了发展学生的创造性思维，必须打破传统数学教学中把数学思维单纯地理解成逻辑思维的旧观念，把直觉、想象、顿悟等非逻辑思维也作为数学思维的组成部分。只有这样，数学教育才能不仅赋予学生们“再现性思维”，而且更重要的是赋予学生“再造性思维”。
（二）概念教学是数学思维训练的最佳方法
数学概念是进行数学思维的基本材料。数学概念的教学应注意以下几点：
1.认识概念引入的必要性
创设思维情境及对感性材料进行分析、抽象、概括。此时，如果教师能结合有关数学史谈其必要性，将是培养学生创造性思维的大好时机。例如，为什么要将实数域扩充到复数域？扩充的办法为什么是这样？这样做的合理性在什么地方？又是如何想出来的等。也就是说，数学概念教学的任务，不仅要解决“是什么”的问题，更重要的是解决“是怎样想到的”问题以及有了这个概念之后，在此基础上又如何建立和发展理论的问题，即首先要将概念的来龙去脉和历史背景讲清楚。
2.对概念的理解过程
这一过程是复杂的数学思维活动的过程。理解概念是更高层次的认识，是对新知识的加工，也是旧的思维系统的应用，同时又是新的思维系统建立和调整的过程。为了使学生正确而有效地理解数学概念，教师在创设思维情境，激发学生学习兴趣以后，还要进一步引导学生对概念的定义的结构进行分析，明确概念的内涵和外延。在此基础上再启发学生归纳概括出几条基本性质、应用范围以及利用概念进行判断等。
3.应用概念解决问题
教师还应阐明数学概念及其特性在实践中的应用方法和表现形态。例如，用指数函数表示物质的衰变特征等。从应用概念的角度来看，教学不应只局限于获得概念的共同本质特征和引入概念的定义，还要学会将客体纳入概念的本领，即掌握判断客体是否隶属于概念的能力。教育心理学的研究表明，从应用抽象概念向具体的实际情境过渡时，学生一般将会遇到很大困难。因为这时既要涉及抽象的逻辑思维，更要求助于形象的非逻辑思维。
综上所述，数学概念的教学，从引入、理解、深化和应用等各个阶段都伴随着重要的数学思维活动过程。因而在概念教学的整个过程中蕴含了极其丰富的素材。只要我们能够恰当地运用科学的启发式进行教学，就能达到培养学生数学思维的目的。
（三）在数学定理的证明过程中进行数学思维训练
数学定理的证明过程就是寻求、发现和做出证明的思维过程。它几乎动用了思维系统中的各个成分，因而是一个错综复杂的思维过程。数学定理、公式反映了数学对象的属性之间的关系。关于这些关系的认识，要尽量创造条件，从感性认识和学生的已有知识入手，以调动学生学习定理、公式的积极性，让学生了解定理或公式的形成过程，并要设法使学生体会到寻求真理的兴趣和喜悦。另一方面，定理一般是在观察的基础上，通过分析、比较、归纳、类比、想象、概括而形成的抽象的命题。这是一个思考、估计、猜想的思维过程。因此，定理结论的“发现”，最好由教师引导学生独立完成。这样，既有利于学生创造性思维的训练，也有利于学生分清定理的条件和结论，从而对进一步做出严格的论证奠定心理基础。
定理和公式的证明是数学教学的重点。因为为它承担着双重任务：一是它的证明方法一般具有典型性，学生掌握了这些具有代表性的方法后可以达到“举一反三”的目的；二是通过定理和公式的证明是发展学生创造性思维的好机会。
在数学命题教学中还要注意使学生真正掌握知识的内在联系，这也是人的认识由感性上升到理性的一个重要方面。每一个数学定理、公式或法则实质上都揭示了数学对象某种内在联系。总之，一个命题展现在学生面前，首先应该使学生从整体上把握它的全貌，凭直觉预测其真假性，在建立初步确信感的基础上，再通过积极的思维活动从认识结构里提取有关的信息思路和方法，最后才能给出严格的逻辑证明。
（四）习题课教学进行思维素质的训练
习题在思维训练中的作用已经不言而喻。许多人已经编写出了大量的习题册，诸如“考王”“题海”“同步训练”以及“必读”等。但是强调习题的作用并不意味着让学生在无边的题海中“遨游”，我们必须根据学生的具体情况，对习题加以选择，并在教学中采用恰当的方法去处理，才能获得良好的效果。
1.加强习题的趣味性以发展思维的主动性
趣味性在数学教育中的地位已为越来越多的数学教师所认识，并且也已把“引起学生学习数学的兴趣”列入现行教学大纲。它包括的内容相当丰富。这里只谈谈在习题课中如何加强趣味性。
2.以概念性习题发展思维的深刻性
思维的起点（或者说解题思路的出发点）都是对概念的理解，根据不同的理解进行演绎推理，便可得出不同的方法。数学中有许多重要性质（实际上也是一种稍微复杂的概念），如不等式的方向性，幂函数和指数函数的增减性，方程变形中的增根和丢根，求极值时，必须一端为定值，甚至包括分母不能为0这样一些最简单的性质在内，虽经教师多次强调，但学生在遇到具体问题时依然出错。这就要靠在习题课适当地做一些概念性较强的题来理解，从而加深对一些重要性质的记忆。
3.以综合性习题和一题多解发展思维的广度
思维的广度在解题中，集中反映在是否能把代数、几何、三角等各个分支的数学知识结合起来进行思考，并得到更为简捷的思路和方法。思维广度的学生在解决一些综合性习题时，通常反应敏捷，思维灵活，因此有必要在大学阶段引导学生多做一些综合性的习题。教师可以有意识地要求学生对同一道题给出代数的、几何的、角的多种不同解法。
4.以技巧性习题训练思维的灵活性
思维的灵活性是在具有一定的深度和广度的基础上，才能产生的比较难得的思维素质。俗话说“熟能生巧”，这意味着学生做数学题应具备的技巧性，必须在做了一定数量、一定难度的习题之后才能获得。这种技巧性的获得，可促进思维灵活性的发展。
在习题课上，教师可以介绍这样一些题目，如果按部就班地做，将相当烦冗；但可以明白告诉学生，它们都存在着比较巧妙的方法。“巧”，通常是个别题目所特有的。学生探索巧思敏想的过程，也就是认识这个题目的“特殊性”的过程。所以，这样的训练对发展学生的观察、分析能力也是很有意义的。
5.有意地介绍一些“错误”以提高思维的辨别力和发展思维的批判性
在习题课上除了及时地纠正学生做题中出现的各种错误之外，还可以有意地介绍一些难以辨别的或个别学生出现的错误，从而提高思维的辨别力。
（五）形象思维与抽象思维结合，形成良好的理性思维的方法
在大学数学教育中，把形象思维与逻辑思维有机地结合起来，尽可能地先形象后抽象，不但能促进这两种思维能力同时得到发展，而且还为逐步培养学生的辩证思维能力创造了条件。因为后者在研究数学时，已经冲破了数和形之间那种同有的差异，而更多地强调二者的“统一”。在这一方面，教师可以由浅入深地做到以下几点：
1.尽可能让学生借助形象进行思维
在研究位置关系时，重视其相应的数量关系比较容易做到。例如，在平面几何中，由两个三角形相似即可导致对应边成比例，反之亦然；三角形内角平分线把对边所分的两段之比等于夹这个角的两边之比。在空间几何中，夹在二平行平面间的几何体，若与底面等距的截面处处等积，则其体积相等；锥体与柱体等底等高，则锥体的体积等于柱体体积的三分之一等。这些都是讲述由位置关系所确定的数量关系。定理的本身就是二者“对立统一”的范例。在这里数和形的结合既是自然的也是必然的，教师只需有意识地提出这种规律的存在性，学生就会留下深刻的印象。
2.重视代数问题的图画和几何意义
形象思维与逻辑思维相结合的能力差的学生，在学习中的表现是离开图像，死记硬背各种函数的性质；在理解、记忆各种数量关系的结论时，不会求助于“形”。他们通常是在“数”上下的功夫多，而在“形”上下的功夫少。在解题中的表现则通常是遇到了数量关系，通常想不到“形”，有的虽想到了却又不能正确地描画出来。要改变这种状况，教师在习题课上应重视把文宁叙述和解析表达式“图化”。这样，有的题可以从示意图或图像中得到启发；有的题还可以在题目的几何意义中使知识更加深化。
3.重视三角问题的图形构造
在大学数学教学中，在解析几何中强调数形结合的多，而在三角中强调数形结合的却不多，这是一个明显的不足。在三角中除了前面已经提到过的应用单位圆和图像研究三角函数的性质，证明基本公式（包括诱导公式、加法定理等）之外，还可以把平面几何和三角的知识结合起来，构造一些图形来解决三角问题。