“抽屉原理”学习体验案例
袁 英
一 教学设计
（一）教学目标
（1）经历“抽屉原理”的探究过程，初步了解“抽屉原理”，会用“抽屉原理”解决简单的实际问题。
（2）通过动手操作发展学生的类推能力，形成比较抽象概括的数学思维。
（3）通过“抽屉原理”的灵活应用感受数学的魅力。
（二）教学重难点
教学重点：经历“抽屉原理”的探究过程，初步了解“抽屉原理”。
教学难点：理解“抽屉原理”，并对一些简单实际问题加以“模型化”。
（三）设计思路
1.激发兴趣，谈话导入
同学们喜欢刘谦吗？喜欢看刘谦表演魔术吗？今天老师也给大家带来一个魔术。想看吗？
2.小组合作探究学习
利用学生的生活经验，为学生自主探索提供时间和空间，引导学生通过观察、实践、推理和交流等活动，经历探究“抽屉原理”的过程，学会用一般性的数学方法思考问题，培养学生的数学思维能力，发展学生解决问题的能力。
3.动手操作，建立模型
充分放手，让学生自主思考，采用自己的方法“证明”：“把4支铅笔放入3个纸盒中，不管怎么放，总有一个纸盒里至少放进2支铅笔”，然后交流展示，为后面开展教与学的活动做了铺垫。此处设计注意了从最简单的数据开始摆放，有利于学生观察、理解，有利于调动所有的学生积极性。
4.解释应用
解释应用是新课程倡导的课堂教学模式，本节课运用这一模式，设计了丰富多彩的数学活动，让学生经历“抽屉原理”的探究过程，从探究具体问题到类推得出一般结论，初步了解“抽屉原理”，再到实际生活中加以应用，找到实际问题和“抽屉原理”之间的联系，灵活地解决实际问题。
二 教学过程
片段一 动手操作，感知模型
师：同学们喜欢刘谦吗？
生：喜欢。
师：喜欢看刘谦表演魔术吗？
生：喜欢。
师：今天老师也给大家带来一个魔术。想看吗？
生：想。
师：来点掌声啊！（出示扑克牌）一副扑克牌有多少张？
生：54张。
师：除了大王、小王，你们知道扑克牌有几种花色吗？
生：四种。
师：老师现在把大王、小王抽掉，还剩下多少张？
生：52张
师：现在我就用这52张扑克牌来变魔术，老师需要五位同学当助手，谁愿意？
学生争先恐后，师请上五位同学。
师：请你们五位任意抽取一张牌，不要让我看到哟，自己看好牌记在心里，记住了吗？把牌收好了。
师：同学们，下面就是见证奇迹的时刻。
师：我敢肯定的说在你们这五张牌里，至少有两张是同一花色的。信吗？
师：把牌拿出来验证一下，同一花色的站到一起，把牌举起来面向大家。
我猜对了吗？
生：表示赞同。
师：要不要再来一次？
生：要。
师：这一次老师请一位同学帮忙，请上一名学生，把扑克牌交到他手中，这名学生反复洗牌。
师：你有没有必要向大家澄清一下，你不是老师的托？
生：我不是托。
此时其他学生窃窃私语，有的说此地无银三百两。
生：洗好牌后，让五位学生每人任意抽一张。为了避嫌，学生抽牌的时候老师背过身去。
师：我这次还敢肯定地说，在这五张牌中，至少有两张是同一花色的。我这次猜对了吗？请五位同学把牌举起来，面向大家，同一花色的站到一起。
生：又猜对了。
师：如果让这5位同学反复抽牌，不管怎样，总是至少有2张牌是同一花色的，你们相信吗？
学生脸上露出了疑惑的表情，有的信，有的不信，有的半信半疑。
师：不要着急下结论，上完这节课再告诉我。
师：现在上课行吗？
生：行。
师：上课。
师：刚才老师为什么能做出准确的判断呢？因为啊在这个游戏中蕴含着一个有趣的数学原理，同学们想不想通过动手操作来发现它？我们先从最简单的情况入手。
1.动手操作（课件出示）
小组合作研究：把4支铅笔放入3个杯子，有几种方法？
学生动手操作、交流，师巡视、指导。
2.全班交流：
师：哪个小组愿意到前边展示一下你们的研究结果？
学生把小组合作研究记录表放到展台上，边演示边说方法。（这个小组是用画小棒的方法表示的）
生：有的杯子里怎么是空的？
生：可以是空的，因为题目是说把四支铅笔放入三个杯子，又没说怎么放？
生：表示赞同。
师：其他组还有不同的表示方法吗？
用数字表示的一组学生展示，并说出了用数字表示更简洁方便。
师：观察这四种方法，它们有什么共同点吗？
生：三个杯子里的铅笔加起来都是四支。
生：有的杯子里有笔，有的是空的。
生：每一种方法中，都有一个杯子里有两支或两支以上的铅笔。
生：两支或两支以上就是至少两支吗？
师：能把你的发现完整地说一下吗？
生：不管怎么放，总有一个杯子里至少有两支铅笔。
师：总有是什么意思？
生：一定有。
生：一定存在。
师：你们的发现和他一样吗？
生：我觉得他这个结论有问题？你看第一种方法（4，O，0），有一个杯子里有四支铅笔，
生：我说的是至少两支，四支不也是至少两支吗？
生：表示赞同。
生：第三种方法（2，2，0）就不符合刚才的结论，有两个杯子里都是两支铅笔。
生：总有一个意思就是存在一个就行，可以存在两个或多个。
生：点头同意。
师：其他同学听明白了吗？
生：明白了。
师：刚才这位同学说得太棒了，同学们把掌声送给他。
师生齐鼓掌。
师：像刚才这样我们把所有情况都一一列举出来，从而得出结论的方法，叫枚举法。（板书：枚举法）
生：我觉得只放一种也能得出刚才的结论。
师：说说你的想法。
生：先往每个杯子里放一支铅笔，这样还剩下一支，剩下的这一支随便放入一个杯子就行了。
师：听明白了吗？
生：明白了。（声音不响亮）
师：看来有的同学还不太懂，你到前边来给大家演示一下吧。
生：（一边演示一边说）先往每个杯子里放一支铅笔，这样还剩下一支，剩下的这一支随便放入一个杯子就行了。
师：现在听明白了吗？
生：明白了。
生：我也是这么想的，这其实就是先将四支铅笔平均分，余下的一支放入其中任意一个杯子。
师：既然是平均分，能用算式表示吗？
生说算式，师板书：4÷3=1（支）……1（支）
师：商1和余数1意义相同吗？
生：商1指的是每个盒子里放进去的一支，余数1指剩下的那一支。
师：在解决这类问题时，用平均分的方法比较简便。
（教学反思：通过让学生自己动手操作，用枚举法找出四支铅笔放入三个杯子的所有方法，观察总结概括出四种方法的共同点，即总有一个杯子里至少有2支铅笔，让学生充分理解“总有”、“至少”的含义。）
片段二 逐步深入，建立模型
1.初建模型
师：如果把5支铅笔放入4个杯子，会是什么结果呢？
有的学生接着举起了手，有的学生在和同桌交流，个别学生在操作。
生：还是那个结论。
师：能把结论说完整吗？
生：还是总有一个杯子里至少有两支铅笔。
师：你怎么想的？
生：先把每个杯子里放一支，还剩一支，再把剩下的一支放入其中任意一个杯子。
师：能用算式表示吗？
生：5除以4等于1余1。
师板书算式：5÷4=1（支）……1（支） 1+1=2（支）
师：如果把6支铅笔放入5个杯子呢？
生：还是总有一个杯子里至少有两支铅笔。
师：用算式表示是……
生：6除以5等于1余1。
师板书算式：6÷5=1（支）……1（支） 1+1=2（支）
师：把7支铅笔放入6个杯子呢？
生：结论不变，总有一个杯子里至少有2支铅笔。
师：把8支铅笔放入7个杯子呢？
把10支铅笔放入9个杯子呢？
把1000支铅笔放入999个杯子呢？
生：都是总有一个杯子里至少有两支铅笔。
师：你有什么发现？
生：当铅笔的数量比杯子的数量多1时，总有一个杯子里有两支铅笔。
2.完善模型
师：如果铅笔的数量不是比杯子的数量多1呢？这个结论还成立吗？
师：把5支铅笔放入3个杯子，总有一个杯子里有几支铅笔？
可以和你组里的同学交流一下。
师：谁想说说你们的结论？
生：总有一个杯子里至少有3支铅笔。
生：总有一个杯子里至少有2支铅笔。
师：说说你们的想法。
先让得出“总有一个杯子里至少有3支铅笔”的学生说。
生：把5枝铅笔放入3个杯子，先每个杯子放一支，还剩两支，把这两支放入一个杯子。
生：你这样就不能保证至少了。
生：我们是这样想的，把5支铅笔放入3个杯子，先每个杯子放一支，还剩两支，把这两支放入不同的杯子，于是得出了总有一个杯子里至少有2支铅笔的结论。（一边说一边演示）
师：可以用算式表示吗？
生：可以，5除以3等于1余2。
师板书算式：5÷3=1（支）……2（支） 1+1=2（支）
师：把7支铅笔放入4个杯子，你能得出什么结论？
生：总有一个杯子里至少有2支铅笔。
师：你怎么想的？
生：把7支铅笔放入4个杯子，先每个杯子放一只，还剩3支，把这3支放入不同的杯子就可以了。
师：把9支铅笔放入5个杯子呢？
生：总有一个杯子里至少有2支铅笔。
师：观察黑板上这些算式？你有什么发现？
生：商都是1。
生：都有余数。
生：铅笔都比杯子多。
生：不管余数是几，都是总有一个杯子里至少有2支铅笔。
生：总有一个杯子里至少有商加1支铅笔。
（教学反思：通过小组合作，学生之间争论，使学生理解余数不是1的情况，要保证至少余数也要尽量平均分，将过程用除法算式表示出来，为总结至少数与商、余数的关系做好铺垫。）
片段三 深入研究，验证模型
刚才同学们都表现得非常棒，老师有几道难题想请教大家，愿意帮忙吗？
课件出示题目：
把5支铅笔放进2个笔筒里，
把15支铅笔放进4个笔筒里，
把54支铅笔放进7个笔筒里，
把70支铅笔放进8个笔筒里，
不管怎么放，总有一个杯子里至少有几支铅笔？
小组合作，共同完成。
教师巡视、指导。
师：那个小组愿意展示一下？
指一组展示交流。
师：你们的结果和他们组一样吗？
师：说说你们组有什么发现？
生：总有一个杯子里至少有商加1支铅笔。
师：你们的发现和他们相同吗？
生：相同。
师板书：商+1
师：同学们发现的这一规律，其实就是一个非常著名的数学原理，也是我们今天研究的“抽屉原理”（板书课题）。
一起看大屏幕（介绍抽屉原理的相关知识）。
最先发现这一规律的人是德国数学家“狄里克雷”，人们为了纪念他从这么平凡的事情中发现的规律，就把这个规律用他的名字命名，叫“狄里克雷原理”，又把它叫做“抽屉原理”。
师：抽屉原理虽然简单，却能解决许多有趣的问题。运用它时，关键是要找出谁是“抽屉”，谁是“物体”。像刚才的问题中，谁相当于“抽屉”？谁相当于“物体”？
生：杯子相当于抽屉，铅笔相当于物体。
师：现在，你能利用这一原理揭秘课前的魔术了吗？
生：五张牌相当于物体，四种花色相当于抽屉，五张牌中至少有两张是同一花色的。
（教学反思：通过小组合作，解决四个问题，验证刚才得出的结论即“至少数=商+1”是否适用商不是1的情况，用得到的原理揭秘课前魔术，进一步巩固模型。）
片段四 利用模型，解决问题
师：抽屉原理不仅在数学中有用，在现实生活中也随处可见。
你能举出生活中应用抽屉原理的例子吗？
生：任意三个人中，至少有两人是同一性别的。
生：从大街上随意找13个人，至少有两人属相相同。
师：能解释一下原因吗？
生：“二桃杀三士”的故事。
师：早在两千多年以前，晏子就应用抽屉原理制造了有名的二桃杀三士的故事，但是我们的先人缺乏总结概括，最后这一原理不得不冠以西方学者的名字。是不是很可惜呀？
生：是。
师：所以我们同学在今后的学习生活中要善于归纳总结。
生：从今天来听课的老师中任意找13人，至少有两人在同一个月过生日。
师：我们班（48人）有多少人在同一个月过生日？
生：4人。
师：不是商加1，吗？应该5人才对呀？
生：有余数时，才能用商加1，没有余数的就不用加1。
师：明白了，跟你学了一手。
课件出示12星座图。
学生很兴奋，都抢着说自己的星座。
师：现在非常流行用星座测性格，用星座测运势，你们信吗？
有的学生说信，有的说不信。
师：（找不信的说）你为什么不信？
生：就拿我们班来说吧，至少有4个人是同一星座的，但性格却都不相同。
师：全国13亿人中，至少有多少人是同一星座啊？
生：至少2亿，天哪，根本不可能有这么多人性格命运相同，太荒谬了。
生：实在不可信。
生：我们要相信科学。
师：是啊，我们要相信科学，用科学的眼光去看待问题，用科学的方式去分析问题，用科学的方法去解决问题。
（教学反思：此环节是让学生用建立的模型解决问题，通过“抽屉原理”的灵活应用体会数学有用，感受数学的魅力，引导学生用科学的眼光去看待问题，用科学的方式去分析问题，用科学的方法去解决问题。）
三 学习体验
数学课程标准指出，数学课堂教学是师生互动与发展的过程，学生是数学学习的主人，教师是课堂的组织者，引导者和合作者。本节课的教学注重为学生提供自主探索的空间，引导学生在观察、猜测、操作、推理和交流等数学活动中初步了解“抽屉原理”，学会用“抽屉原理”解决简单的实际问题。
（一）情境导入，激发学习兴趣
兴趣是最好的老师。课前“魔术”小游戏，简单却能真实地反映“抽屉原理”的本质。通过小游戏，一下就抓住学生的注意力，让学生觉得这节课要探究的问题，好玩又有意义。
（二）探索空间，经历“数学化”过程
运用“感知模型—建立模型—验证模型—应用模型”这一模式，让学生经历“抽屉原理”的探究过程，从探究具体问题到类推得出一般结论，初步了解“抽屉原理”，再到实际生活中加以应用，找到实际问题和“抽屉原理”之间的联系，灵活地解决实际问题。让学生经历“数学化”的过程，学会思考数学问题的方法，培养学生的数学思维能力。
采用列举法，让学生把3根小棒放入2个杯子里的所有情况都列举出来，初步感知抽屉原理，再通过把4根小棒放入3个杯子里的操作熟练列举法。运用直观的方式，发现并描述、理解最简单的“抽屉原理”。让学生理解抽屉原理的一般化模型。让学生类推猜测6根小棒放入5个杯子里会有什么结果？然后提出如何验证？让学生借助直观操作发现，把小棒尽量多地“平均分”到各个杯子里，看每个杯子里能分到多少根小棒，剩下的小棒不管放到哪个杯子里，总有一个杯子比平均分得的小棒数多1根，还可以用有余数的除法来表示这一数学规律。大量列举之后，再引导学生总结归纳这一类“抽屉问题”的一般规律，即“小棒数比杯子数多1时，总有一个杯子里至少有2根小棒”。
在此基础上，主动提问：还有什么有价值的问题研究吗？让学生自主地想到：小棒数比杯子数多2或其他数会怎么样？来继续开展探究活动，同时，通过活动结合板书引导学生归纳出求至少数的方法——“商+1”。游戏中深化知识。课前的游戏简短有效，在结束新课前，用“抽屉原理”来解释，会有一种前后呼应的整体性。学了“抽屉原理”有什么用？能解决生活中的什么问题？在教学中联系学生的生活实际。在试一试环节里，设计了一组简单、真实的生活情境，让学生用学过的知识来解释这些现象，有效地将学生的自主探究学习延伸到课外，体现了“数学来源于生活，又还原于生活”的理念。
（三）引导提升，发展学生思维
有意识地培养学生的“模型”思想，让学生理解“抽屉问题”的“一般化模型”。在学生自主探索的基础上，教师引导学生对两种方法进行比较，使学生逐步学会运用一般性的数学方法来思考问题；在学生解决了“把4支铅笔放入3个杯子”的问题后，继续思考，类推，得出一般性的结论。这样设计，提升了学生的能力。
数学如果能够做到深入浅出就好了。知识虽然逻辑性很强，但是这些规律都是从现实生活中抽取出来的，可以用浅显的语言描述出来。我们的学生都才十一二岁，思维是有限制性的，那么将知识深入浅出地讲解出来，学生掌握起来可能更容易一些。学数学一定要多思考。同样，教数学更应该多思考。人总是在思考和学习中不断长大的。
［参考文献］
［1］陈景林.抽屉原理及其应用［J］.唐山师范学院学报，1999年05期
［2］朱华伟，符开广.抽屉原理［J］.数学通讯，2006年19期
［3］庞晓丽.用“抽屉”原理解决逻辑问题［J］.保定师专学报，2001年02期
［4］朱莉莉.从集合论的原理来讨论抽屉原理［J］，贵州商业高等专科学校学报，1994年02期
作者单位：东皇镇二小 贵州 习水 564600
【点评】
本节课通过魔术活动引入新课，有效地调动学生的学习兴趣，激发学生的求知欲。在小组合作活动中，让学生体验和理解“抽屉原理”的最基本原理，当物体个数大于抽屉个数时，一定有一个抽屉中放进了至少2个物体。这样的教学过程，从方法层面和知识层面上对学生进行了提升，有助于发展学生的类推能力，形成比较抽象的数学思维。通过小组合作，动手操作的探究性学习把抽屉原理较为抽象难懂的内容变为学生感兴趣又易于理解的知识，帮助学生“建立模型”，使复杂问题简单化，简单问题模型化。
本节课在评价学生解决问题的方法时，既让学生在自主探索中体验成功，获得发展，又针对学生的不同方法教师给予针对性的鼓励和指导，并且通过比较进行优化，让学生逐步学会运用一般性的数学方法来思考问题。
本节课紧紧抓住抽屉原理最核心的思路就是用“有余数除法”形式表示出来，使学生借助直观，以具体实例帮助学生理解：如果把书尽量多地“平均分”给各个抽屉里，“某个抽屉至少有书的本数”是除法算式中的“商加1”，而不是“商加余数”，教师适时挑出针对性问题进行交流、讨论，使学生从本质上理解了“抽屉原理”。让学生经历“数学化”的过程，学会思考数学问题的方法，培养学生的数学思维能力。
点评人：王宽明