6.2.2 反步法控制
1）反步法原理。
Back stepping法又称反步法、反演法、回推法，它是一种鲁棒递推设计方法，它是从离控制输入量最远的那个方程开始，通过一步一步地对子系统进行设计，向着控制输入“步退”（step back）的方法。即从位于最后的一级开始设计，使其达到渐进稳定，以后再对包括最后一级在内的前一级进行设计，使达渐进稳定，依次类推，直到完成整个控制系统的设计。而各级的稳定性证明是基于Lyapunov函数的方法，整个控制系统则通过逐级累加得以证明。
反步法设计过程清晰，集系统化、结构化于一体，易于实现，对于高阶非线性系统有优越性，它可以保留系统中的有用的非线性。而且容易与鲁棒或自适应控制结合应用于不确定系统（内部特性变化或外部扰动）。但也存在潜在的问题，如对系统结构有严格要求，推导出的控制量的控制参数多且数学表达式复杂等。
为了说明反步法的基本原理，考虑参数严格反馈的单输入单输出（非线性系统）。
系统结构示意图可以表示如图6.6所示。
图6.6 系统结构示意图
下面我们对以上系统进行反步控制器设计。
步骤1：
步骤2：
定义Lyapunov函数：
步骤i：
定义Lyapunov函数：
步骤n：
应用上面的定义，我们有：
选取控制律为：
则：
其中，c k（k＝1，2，…，n）为正常数。
通过n 步推导最后得出控制律表达式，使得系统的每个子系统满足了Lyapunov稳定理论条件，从而保证系统具有全局意义下的渐进稳定性。
2）基于反步法的控制器的设计。
考虑到机身的内部耦合复杂性、系统模型的非线性和外界干扰的不确定性因素，本次设计采用由位置控制和姿态控制构成的双闭环控制系统，结合反步法和Lyapunov函数来设计鲁棒控制律，即以Lyapunov稳定性理论为基本思想，设计每个子系统所对应的虚拟控制律用于正定，然后通过一步步地迭代，最终获得系统的实际控制信号。其中位置控制器将被划分为3个二阶子系统——x 通道、y 通道和z 通道，每个子系统均采用基于反步法的鲁棒控制，x 通道和y 通道的控制信号u x，u y 可转换为姿态指令信号——期望滚转角（φd）、俯仰角（θd），z 通道的控制信号u 1 即为u 1；同样地，姿态控制器也是分3个二阶子系统来设计控制律，从而得到姿态控制信号（u 2，u 3，u 4）。最后，根据飞行器性能特点，油门控制信号u 1 和姿态控制信号（u 2，u 3，u 4）通过姿态解耦就能得到4个电机的转速控制信号，从而控制飞行器按照指令运行。
（1）位置控制器。将位置子系统看作3个二阶的子系统，分别用于控制飞行器三轴方向上的平移运动，每个二阶的子系统都是严格反馈控制，根据期望信号和对应反馈信号结合反步法和Lyapunov函数来设计鲁棒控制律。在该位置控制器中，输入信号为控制指令信号中的期望位置（x 7d，x 9d，x 11d），所需的反馈信号为飞行器实时三轴位置（x 7，x 9，x 11）和三轴线速度（x 8，x 10，x 12），同时也需要用到当前时刻飞行器的姿态信息（x 1，x 2，x 3），它们都可由IMU以及GPS等传感器的测量值通过姿态解算和组合导航计算得到。位置控制器输出信号为油门控制信号u 1、期望滚转角φd 和期望俯仰角θd。
以高度控制器为例：
z 通道的状态空间方程为：
引入误差状态向量：
则：
其中，α11 为x 11 的虚拟控制量；x 11d 为x 11 的期望控制量，即期望高度z r。
第一步，设计虚拟控制量α11。
考虑z 11 的Lyapunov函数及其导函数：
第二步，设计U 1 系统的鲁棒控制律。
考虑子系统（z 11，z 12）的Lyapunov函数及其时间的导数：
此时，设计U 1 系统的鲁棒控制律为：
水平坐标x，y 通道的状态空间方程为：
同理，可以得到u x 的鲁棒控制律为：
位置控制器的输出为高度控制信号即u 1 和滚转通道、俯仰通道的指令信号（φd，θd）。所以，需要将x 通道和y 通道控制信号u x，u y 进行如下转换。
系统运行过程中考虑到四旋翼飞行器的安全飞行，对滚转角和俯仰角的范围给出如下约束条件：
作如下变量代换：
（2）姿态控制器。将姿态子系统看作三个二阶的子系统，分别用于控制飞行器绕三轴的旋转运动。显然，每个二阶的子系统都是严格反馈控制。
以滚转角控制器为例：
φ 通道的状态空间方程为：
引入误差状态向量：
其中α1 为x 1 的虚拟控制量；x 1d 为x 1 的期望控制量，即在位置控制器中得到的期望滚转角φd。
第一步，设计虚拟控制量α1。
考虑z 1 的Lyapunov函数及其导数：
第二步，设计U 2 系统的鲁棒控制律。
考虑子系统（z 1，z 2）的Lyapunov函数及其导数：
θ，φ 通道的状态空间方程为：
同理，可以得到U 3 系统的鲁棒控制律为：
同样的，U 4 系统的鲁棒控制律为：
