7.3.4 作用在操作臂上的静力
操作臂的链式结构特性自然让我们想到力和力矩是如何从一个连杆向下一个连杆传递的。考虑操作臂的自由末端（末端执行器）在工作空间推动某个物体，或用手部抓举着某个负载的典型情况，我们希望求出保持系统静态平衡的关节扭矩。
对于操作臂的静力，首先锁定所有的关节以使操作臂的结构固定。然后对这种结构中的连杆进行讨论，写出力和力矩对于各连杆坐标系的平衡关系。最后，为了保持操作臂的静态平衡，计算出需要对各关节轴依次施加多大的静力矩。通过这种方法，可以求出为了使末端执行器支承住某个静负载所需的一组关节力矩。
在本节中，不考虑作用在连杆上的重力。我们所讨论的关节静力和静力矩是由施加在最后一个连杆上的静力或静力矩（或两者共同）引起的，例如，当操作臂的末端执行器和环境接触时就是这样的。
我们为相邻连杆间所施加的力和力矩定义两个特殊的符号：f i 为连杆i－1施加在连杆i上的力；n i 为连杆i－1施加在连杆i上的力矩。
我们按照惯例建立连杆坐标系。图7.15所示为施加在连杆i上的静力和静力矩（除了重力以外）。将这些力相加并令其和为0，有：
将绕坐标系｛i｝原点的力矩相加，有：
图7.15 单连杆的静力和静力矩平衡关系
如果我们从施加于末端执行器的力和力矩的描述开始，从末端连杆到基座（连杆0）进行计算就可以计算出作用于每一个连杆上的力和力矩，为此，对式（7-28）和式（7-29）进行整理，以便从高序号连杆向低序号连杆进行迭代求解。结果如下：
下面按照定义在连杆本体坐标系中的力和力矩对式（7-30）进行变换。用坐标系｛i＋1｝相对于坐标系｛i｝描述的旋转矩阵进行变换，就得到了最重要的连杆之间的静力“传递”表达式：
最后，提出了一个重要的问题：为了平衡施加在连杆上的力和力矩，需要在关节上施加多大的力矩？ 除了绕关节轴的力矩外，力和力矩的所有分量都可以由操作臂机构本身来平衡。因此，为了求出保持系统静平衡所需的关节力矩，应计算关节轴矢量和施加在连杆上的力矩矢量的点积：
对于关节i是移动关节的情况，可以计算出关节驱动力为：
注意，即使是线性的关节力，我们也使用符号τ。
按照惯例，通常将使关节角增大的旋转方向定义为关节力矩的正方向。
式（7-31）到式（7-33）给出一种方法，可以计算静态下用操作臂末端执行器施加力和力矩所需的关节力。