价值追求：数学学习要促进对知识的深度理解
TIMSS与PISA是近年来较为活跃的两个国际学生评价项目。通过这两个国际学生评价项目，我们可以从评价的视角倒过来看看数学学习的价值追求。
TIMSS测试是指国际数学与科学教育成就趋势研究，首次测评在1995 年，每四年进行一次。TIMSS数学测试主要是为了评价世界各地中小学生的数学基础知识技能和数学思维能力，特别注重学生的发展趋势和发展能力。TIMSS小学数学测试的对象主要是四年级的学生。TIMSS 2007从对基本事实、过程和概念的了解，运用知识和概念性理解解决问题及超出常规问题的不熟悉的情境、复杂情境和多步骤问题的解决中的说理三个不同的认知水平对学生的能力进行测评。[2]
TIMSS，其评价框架的建立基于三层次的课程模型：（1）预期课程，即国家、社会和教育背景下的课程；（2）实施课程，即学校、教师和课堂背景下的课程；（3）达到课程，即学生实际的学习结果和特点。从TIMSS来看，数学学习更强调在真实情境下的学习，更强调从数学的角度认识和理解客观世界，更强调学生在实际问题中对策略方法的选择。
如图1-1-1，左侧是我们平时的练习题，单纯地就知识论知识，仅仅考查学生对东、南、西、北四个方位的认识，是一个静态的过程。而右侧为TIMSS（四年级）的一道测试题，模拟司机在街区行驶的情境，让学生能够身临其境，把对知识的理解和掌握融入具体的现实情境，更具现实性、创新性和挑战性。
图1-1-1 日常数学测试题与TIMSS（四年级）测试题
国际学生评价项目PISA是由经济与合作发展组织（OECD）在20世纪90年代发起的，每三年举行一次，是目前世界上规模最大的教育测试。该评价项目的目的是评价15岁学生为成为终身学习者和建设性公民做准备的情况。它关注年轻的成年人为了迎接未来的挑战做了怎样的准备。它认为成人生活所需的基本知识、技能和能力主要表现为数学素养、科学素养和阅读素养。首部PISA测试结果报告的前言中提出了如下计划：PISA代表了OECD成员国的一种新的承诺，即在国际商定的共同框架内，定期从学生成绩的角度来监测教育体制的效果。PISA通过对成人生活所需技能的判断，旨在为政策对话、定义和实施教育目标上的合作提供新的依据（OECD 2001，p.3）。[3]
PISA数学测试框架定义了数学素养和PISA数学测试的范围，也介绍了测试的方法。下图（图1-1-2）是对PISA 2012框架（OECD 2013a）主要结构及它们之间的相互关系的概述。
图1-1-2 数学素养的实践模型（OECD 2013a）[4]
上图最外面的方框表明了在真实世界中遇到挑战时需要的数学素养；中间的方框突出了可用于解决所遇到的挑战的数学思想和活动；最里面的方框阐明了如何按照数学建模活动过程解决问题。从图中我们能很清晰地感受到，PISA数学测试关注真实世界的真实问题，要求学生能够经历数学化的过程，应用所学知识解决问题的过程，运用数学知识解释、说明的过程。
我们可以从很多PISA开发的题目中，看出PISA数学测试对数学素养的要求。下面是PISA 2012开发的“攀登富士山”问题，我们来具体分析。
攀登富士山
富士山是日本著名的死火山。
问题1
富士山只在每年的7月1日至8月27日对外开放，这期间大约有200 000人来攀登富士山。
平均每天有多少人攀登富士山？
问题1考查了一个除法模型，即平均数=总数÷总份数，只要找到总人数和总天数就可以解决这个问题。从“7月1日至8月27日”这个现实情境中，学生须区分大小月，计算出总天数。这样一个问题，基于富士山的具体情境，对时间的知识、估算的能力、数学的模型等方面进行了考查。
攀登富士山
问题2
从御殿场到富士山的登山路线长约9公里（km）。登山者必须在晚上8点前完成来回18公里的路程。
山本估计自己可以以平均每小时1.5公里的速度登山，并以两倍的速度下山。这样的速度还可以留有让他用餐和休息的时间。
按照山本所估计的速度，要在晚上8点前回来，他最迟在什么时间出发？
问题2考查了速度、时间、路程之间的数量关系，通过分别计算来、回的时间，得出登山者登山的总时间。然后根据“最迟”这个现实信息，从晚上8点倒推出发时间。这题蕴含了推理、模型等数学思想。
攀登富士山
问题3
山本带着一个计步器去记录在御殿场登山路线所走的步数。他的计步器显示他共走了22 500步。
山本在御殿场登山路线走了9公里，估算他每一步的平均长度，以厘米（cm）为单位。
问题3考查了平均步长、距离、步数之间的数量关系，通过总长9公里除以总步数22500，从而得到平均步长。为了解决这三个连续的问题，学生需要理解相关生活情境，进行相应的数学化，提炼基本数学模型，通过计算、分析、推理等数学活动，得出合理的结论。
从TIMSS和PISA这两大评价项目中，我们可以很清晰地感受到，评价的观测点已经发生了变化——不再是简单的知识点，而是更关注问题情境，更关注“用”知识的过程，更关注实际问题解决的过程。因此，从评价的视角来看数学课堂，我们应以学生的实践能力发展为目标，促进学生知识的深度建构，以形成学生在复杂的现实情境中运用数学知识的能力。