解密r2塑整体思想
【学习内容】
圆的面积
【适用年级】
六年级
【驱动问题】
在方圆组合图形中，如何通过正方形的面积求得圆的面积？
【课前思考】
（一）“用”的需求悄然而生：破r的思维定式，立r2的整体意识
学生对于圆面积的求解，一直停留在“先获得半径r的数据，再通过面积公式S=πr2进行求解”，往往意识不到求得半径r的目的是求得r2，再通过r2求得圆的面积。这种只关注局部而不关注整体的思维方式就如“不识庐山真面目，只缘身在此山中”。如果能够将r2看成一个整体，反而能够将复杂的问题简单化，快速准确地解决有关圆面积的问题。更重要的是，在小学阶段，学生能够经常用这样的思维方式来解决问题。比如解稍复杂的方程，可以把ax或者（x±a）看成一个整体来思考，这有利于学生掌握解稍复杂方程的方法。因此，从“为用而学”的视角出发，我们要引导学生突破思维定式，在解决某些问题时能够敏锐地意识到，可以有目的地将某些部分看成一个整体，以达到快捷、有效地解决问题的 目的。
（二）“用”的能力自然提升：强数形的关联，构r2的图像思维
在提升学生实际应用能力时，图像思维是一个很有效的方法。可以运用图像，把复杂问题简单化，把抽象问题直观化。r2在面积计算公式中是一个代数式，而在空间中是一个正方形的面积，这是一个数与形完美结合的学习点。因此，学习的路径有两条，一条是通过观察方圆结合的图形，从图形中找出r2，知道圆中以圆的半径为边长的正方形的面积就是r2；另一条则是通过r2联想图形会是怎样的。一正一反两条路径，强化了图形与r2的关联，促进学生形成见数即见形，见形即见数的图像思维。
【教学目标】
1.通过对方圆组合图形的探索，掌握将r2看成整体求解圆面积的方法。
2.在对问题的探索中，感受解决问题方法的多样性。同时通过比较多种解题方法，感悟不同方法的本质是相同的这一道理。
【课堂实录】
（一）关联已知，引向新问题
（出示课题：方圆之说）
师：看到这个课题，你们想到了什么？
生1：外方内圆，外圆内方。
生2：圆与正方形的关系。
师：是呀，我们已知圆的半径，可以计算出这圆形与正方形的面积。（课件演示）
师：如果现在不告诉你们圆的半径，而是已知正方形的面积是20 cm2，你们能求出圆的面积吗？
（二）方法联想，提出解决方案
1.交流想法，形成初步方向
师：同学们可以先独立思考，想一想你有什么好方法。
生1：可以先求正方形的边长，边长就是圆的直径，再求出圆的半径，根据公式计算圆的面积。
生2：可是正方形的面积是20 cm2，我们不知道哪个数的平方是20，求不出正方形的边长，也就求不出圆的半径。
师：要求得圆的面积，一定要知道圆的半径吗？让我们来试着算算这道题，看看有几种方法。请拿出学习单，完成在第一题的方框里。
2.独立尝试，展示思考方法
师：谁愿意来介绍一下自己的想法？
方法1：如果把正方形的边长看作2r，那么正方形的面积就是2r×2r=4r2，r2=20÷4，圆的面积S=πr2=5×3.14=15.7（cm2）
方法2：因为圆的面积：正方形面积=π：4。所以圆的面积S=20÷4×π=15.7（cm2）。
师：听明白他介绍的了吗？圆的面积：正方形面积=π：4是怎么来的？
生：圆的面积是πr2，正方形面积是4r2，约分后就是π：4。
方法3：如果把正方形的边长看作2r，那么正方形的面积就是4r2，圆的面积是πr2。那么圆的面积就是正方形面积的78.5%。20×78.5%=15.7（cm2）。
师：这里的78.5%是怎么来的？
生：78.5%就是π：4的比值。
3.比对方法，揭示方法本质
师：刚才你们可真棒，用了不同的方法解决了这个问题。让我们来观察比较一下，在运用这3种方法求圆的面积时，我们分别先求出了什么。
生1：方法1先求出了r2，然后求出圆的面积。
生2：方法2和方法3都是先得出圆面积和正方形面积的关系，然后求出圆的面积。
师：在我们最初的想法里，先求出半径就是为了得到什么呢？方法2和方法3中，为了得出圆面积和正方形面积的关系，我们又借助了什么呢？请先独立思考，然后把你的想法与你的小组成员交流一下。
生：在以前的方法中，求出r是为了得到r2，进而求出圆的面积。而在方法2和方法3中，我们借助了r2来表示两种图形的面积。
师：是呀，看来无论是哪种方法，都借助了圆半径的平方，也就是r2，来帮助我们解决有关圆面积的问题。
（三）变式探索，形成矛盾转化
1.由r2联想到不同的图形
师：让我们继续来探究r2。请大家看，这个圆的半径是r，如果要用r2表示一块阴影部分的面积，你觉得这块阴影部分应该是怎么样的呢？想一想，也可以和同桌说一说。（课件演示）
师：原来大家可以根据r2想象到这么多不同的阴影部分。大家还想继续挑战吗？你能画出4r2，
吗？请你画一画，用阴影部分表示。（学生上台展示作品，自主介绍想法）
师：基于r2，我们展开了大胆的想象，一个圆的r2可以表示这么多不同的图形，r2的用处可真大啊！
2.用r2表示不同的图形
师：那么如果圆的半径是r，下面这些阴影部分的面积又该怎样表示呢？
（四）实际问题，实现矛盾转化
师：接下来我们用r2来解决一些生活中的图形面积问题。
师：生活中方圆结合的物品有很多，老师找到了这三样（略），抽象出了这些图形（略）。你能先找到r2，再求出阴影部分的面积吗？
师（小结）：看来我们可以通过找到r2来解决与圆有关的问题了。你们看，r2多重要啊。
（五）拓展应用，提升整体思维
师：通过本节课的学习，我们发现将r2看成一个整体，能够快速、准确地解决问题。那么你能用这一思想解决下面这两个问题吗？
问题1：
问题2：
【案例点评】
（一）引发认知冲突，从实际问题引出r2的需求
根据圆的面积公式S=πr2，学生很容易产生定势思维，即要求圆的面积，先要求得半径r，这是从一维角度出发的。而在外方内圆的图形中，如果正方形的面积是20 cm2，根据学生已有的知识是无法求得圆的半径的长度的。由此，认知冲突产生，原有经验无法解决新的问题，该怎么办？以新的单位面积r2来解决，为学生提供了持续探索的动力。
（二）加强表象建立，丰富r2的映像促学以致用
面积单位r2以多种形式出现在组合图形中，这就需要学生建立丰富的表象，加强对r2的敏感性。在本节课的学习活动中，画一画r2、4r2、
以及用带有r2的式子表示图形面积两种形式，从顺、逆两个方向帮助学生丰富了r2的映像，从而为学生解决各种变式问题打下了扎实的基础。
（三）围绕问题解决，提升解决问题的整体思想
本节课希望传达的一个重要的思维方式就是从整体的角度进行思考。从以r2作为一个整体衍生到将上、下底之和作为一个整体，或者将“3□+○”作为一个整体进行问题解决，开拓了学生的思路，引导学生感悟不仅在与圆面积有关的问题中可以采用整体思维方式，该方式还广泛地适用于许多其他问题。