一、问题化归策略

数学家波利亚用一个烧水的浅显例子说明了在面临复杂的实际问题时应如何进行化归。他说，给你一个煤气灶，一个水龙头，一盒火柴，一个空水壶，让你烧一满壶开水，你应该怎么做？你于是回答：把空水壶放到水龙头下，打开水龙头，灌满一壶水，再把水壶放到煤气灶上，划着火柴，点燃煤气灶，把一满壶水烧开。他说，对，这个问题解决得很好。现在再问你一个问题：给你一个煤气灶，一个水龙头，一盒火柴，一个已装满半壶水的水壶，让你烧一满壶开水，你又应该怎么做？这时波利亚说，物理学家会回答：把装了半壶水的壶放到水龙头下，打开水龙头，灌成一满壶水，再把水壶放到煤气灶上，划着火柴，点燃煤气灶，把一满壶水烧开。但是数学家的回答是：把装了半壶水的水壶倒空，就化归为刚才已解决的问题了。因此，在学习活动中，教师要带领学生思考如何把复杂的问题化归成简单的问题，把未知的问题化归成已知的问题。在“图形的奥秘”^[5]一课的教学中，学生围绕“在长方体上切一刀，会切得怎样的截面？”这一问题展开研究，从已知入手，逐层递推，最终得出研究的结论。

表3-2-1　“图形的奥秘”研究过程

续表

从学生已有的认知基础，即长方形截面出发，根据边和角的特征，层层递进，最终总结出截面与长方体各面之间的关系——这样的学习路径的设计，源自教师对学情的准确把握。教师进行了知识逻辑顺序的梳理，从两个角度对问题进行了化归，也就是对五（六）边形截面的研究，需要化归到对三角形、四边形截面的研究；而对四边形、三角形截面的研究，需要化归到对长方形截面的研究。这样就使原本没有思路、没有方向的研究有了清晰的路径，加上学生动手实践，从特征展开想象，用操作进行实证，并用说理总结方法，使得研究从一个简单的截面入手，直击空间思维的核心。