【学习案例】汉诺塔[3]
①游戏展示
汉诺塔的传说：传说在印度北部的圣庙里，一块黄铜板上插着三根宝石针，其中一根针从下到上穿了由大到小的64片金片，这就是汉诺塔。不论白天黑夜，总有一个僧侣在按照法则移动这些金片，一次只移动一片，不管在哪根针上，小片必须在大片上面。
②理解规则
呈现游戏规则：把所有圆盘移动到目标柱上；一次只能移动一个圆盘；大圆盘不能放在小圆盘上面。
③操作探索
一阶汉诺塔：1步完成。
二阶汉诺塔：3步完成。
方法一：1→C 2→B 1→A 2→C 1→C
方法二：1→B 2→C 1→C
两种方法比较，要让2号圆盘到达C柱，就需要让1号圆盘在B柱等一等，这样才最优。
三阶汉诺塔：7步完成。
先确定各个圆盘应该放在哪里：3号圆盘是要到目标柱，2号圆盘在过渡柱等一等，1号圆盘先到目标柱。
操作：1→C 2→B 1→B 3→C 1→A 2→ C 1→ C
发现：前三步是把1号和2号圆盘整体搬到B柱；第四步是移动3号圆盘到C柱；最后三步又把1号和2号圆盘整体搬到C柱。
四阶汉诺塔：四个圆盘可以参照三个圆盘的过程来思考。
第一阶段：把1号、2号和3号圆盘移动到B柱
1→B 2→C 1→C 3→B 1→A 2→B 1→B
第二阶段：4→C
第三阶段：把1号、2号和3号圆盘移动到C柱
1→C 2→A 1→A 3→C 1→B 2→C 1→C
总步数：7+1+7=15（步）
④解密结构
观察一阶到四阶的操作过程，根据表格信息思考。
思考一：当圆盘是单数时，第一步是将圆盘移动到目标柱；当圆盘是双数时，第一步是将圆盘移动到过渡柱。
思考二：可以分成三个阶段来思考，第一阶段是上一阶的最少步数，第二阶段是1步，第三阶段也是上一阶的最少步数。
继续思考：5个圆盘为15+1+15=31（步）
6个圆盘为31+1+31=63（步）
⑤感悟原理
汉诺塔游戏应用了递推的思想，那么64个金片的问题就可以这样来思考：64→63→62→61→60→……（18446744073709551615步）
这种学习形态，寓数学于游戏，让体验自然生发，借助游戏这个有意思的立脚点，使学生在经验的调动中，实现数学知识的习得，数学方法的感悟，数学思想的领会，从而培养了数学核心素养。