包有形之“边”明周长之“理”[1]
【学习内容】
周长的认识
【适用年级】
三年级
【驱动问题】
怎样给杯垫包边？需要多长的丝带？
【课前思考】
周长是小学阶段关于图形测量的一个重要概念，是度量图形的起始。“周”即封闭图形一周的边线，“长”即长度。所以把周长的概念放置于纵向的知识体系中，应该走一个从长度到周长的路径。同时，学生在日常生活中已经积累了大量关于长度测量的经验。因此周长概念的建立需要对学生原有的生活经验和数学直觉进行数学化改造，从而建构起属于学生个体的知识结构。
（一）“因用而学”：厘清周长概念的学习价值
“因用而学”以“用”为学习目标，其核心追求是充分挖掘学习内容的价值，以便在后续用旧知探索新知、解决实际问题、知识再创造等各个环节发挥重要作用。那么，周长概念的学习有哪些作用呢？
生活中，人们通常会遇到“篱笆需多长”“跑一圈多少米”“腰围是多少”等问题，而解决这些问题时，都需要用一个固定的“数”来量化，这个具体的“数”就是周长。这个“数”的获得，需要经历找一周、测量、求和等活动，具有清晰的过程性。因此，教学中关于辨析一周、测量方法、计算求和等知识与技能的习得，将有助于学生提高解决实际问题的能力。
从数学知识体系的角度来审视，周长与面积、体积等概念在结构上具有高度的一致性，它们都属于度量类概念，都需要明确度量的对象，讨论测量的方法，渗透化曲为直的思想，经历计算求和及公式推导的过程。因此，周长作为度量类概念学习的第一课时，其积累的活动经验、感悟的思想方法，在后续用旧知探索新知方面会起到至关重要的作用。
（二）“用学融合”：赋能探究活动的有效实施
从“用”的视角出发，经历“用—学—用”的过程，把“用”融于“学”的全过程，深入数学学科的本质和知识内核，促进学生知识学习和实践能力的双向发展。
首先，寻找用什么材料学。教材中提供的学习材料涵盖了直边、曲边与不规则图形的一周边线，内容丰富，却与学生生活相距较远。以教师选用最多的“树叶”为例，学生既没有测量树叶边线的经验，也不具备准确测量的技能与方法，更遗憾的是没有测量这一长度的“真”需求。理想的学习材料必须满足学生喜欢“用”（真需求），探究中能“用”（易操作），“用”后能激活“学”（新疑问）等特征。因此，作为“草席之乡”的宁波市海曙区古林镇，其草席工艺品杯垫与丝带正好符合以上 要求。
其次，设计用什么活动学。“用学融合”更多指向于探究式学习，需要把学习融入真实问题的解决过程。我们结合学习材料，即不同形状的草席杯垫与漂亮的丝带，设计了两个探索活动，分别是怎样给杯垫包边和包边的丝带有多长，并将每个活动关键问题具化为：
图6-3-1 “周长的认识”一课的两个探索活动
由此，从包边的真实情境切入，激发学生动手探究的欲望，再把活动中产生的疑问“怎样包边？包的边的总长是多少？”通过交流、辨析逐步明确，直至深刻，最后对周长概念进行概括与精炼，夯实学的深度。
【教学目标】
1.通过包边活动，正确围出物体表面或简单图形的一周，能测量并计算简单图形的周长。
2.通过包边活动，在具体操作中感受、体验、探索图形的周长，积累测量周长的活动经验，感悟化曲为直的数学思想，进一步理解周长的概念。
3.感知周长与实际生活的密切联系，激发学习数学的兴趣。
【课堂实录】
（一）文化熏陶，激发兴趣
播放视频《宁波物语——席》，呈现草席之乡——古林镇，以及古老传承的草席工艺。
（二）聚焦现象，引出问题
师：同学们，在刚才的视频中，你们看到了什么？想说些什么吗？
生1：我看到了草席的制作过程，古林镇是草席之乡。
生2：我们宁波人喜欢夏天睡草席。
师：其实，蔺草除了可以用来制作草席，还可以制作成各种各样的工艺品。让我们一起来欣赏一下。（呈现各种用蔺草制作的工艺品）
师：同学们，老师带来了一个杯垫（没有包边），它制作完成了吗？
生：没有，它还差最后一道工序——包边。
（三）动手操作，感悟“一周”
活动一：怎样给杯垫包边——感悟“一周”
活动要求：学具盒里有四个不同形状的杯垫，四人小组分工合作，用红色丝带完成包边。
活动反思：想一想，你是怎么包的？
师：谁愿意来说一说自己是怎么包的？
生：（手拿长方形杯垫）我是从这个点开始包的，包……包……包，包一圈，然后把多余的剪掉。
子问题1：丝带包在哪里——明确周界，即封闭图形的一周
师：大家都听懂了吗？你知道他的丝带是包在哪里的吗？谁能来说一说？
生：（上台边指边说）丝带沿着长方形（图形）边缘包一圈。
师（追问）：剩下的三个杯垫也这样包吗？
生：是的，丝带都这样绕着图形边缘包一圈。
师（小结）：原来，对于不同形状的杯垫，我们都是绕着这个图形的边包一圈，也就是这个图形的一周。
子问题2：从哪里开始包，回到哪里——明确封闭图形，即从不同的起点出发绕一圈，回到各自的起点
师：刚才你们在包图形的一周时，包的方法都是一样的吗？你们是从哪里开始包的？
生1：（指某一个点）我是从这里开始包的。
生2：（指另一个点）我是从这里开始包的。
师：奇怪了！为什么他们从不同的点开始包，最后却都完成了包边？
生：因为都是从出发点绕一圈后回到了出发点。
（PPT动态演示包边过程，即从某一点出发绕一圈，最后回到该点，由此形成了一个封闭图形）
师：当把这些杯垫都去掉，只剩下用来包边的丝带时，这包边丝带不管是正方形、长方形、圆形还是心形，都是这个封闭图形的一周。
（四）测量计算，理解“周长”
活动二：用来包边的丝带有多长
活动要求：四人小组分工合作，利用学具盒中的测量工具量一量杯垫的一周。
活动任务：小组合作，完成活动记录单。
生1：我把长方形的四条边都量了，所以是12+8+12+8=40厘米。
生2：长方形我只量了两条边，因为长方形的对边相等，（12+8）×2=40厘米。
生3：正方形我只量了一条边，因为正方形四条边都相等，10×4=40厘米。
师：同样是测量长方形的周长，方法一是每条边都测量，再加起来；方法二是只量两条边，再计算。你们更喜欢哪一种？
生：方法二。
师：那圆你们是怎样量的呢？
生1：把它在直尺上滚一圈。
生2：撕下包边丝带，量包的“边”的长度。
师：心形呢？
生1：也是把包边丝带都撕下来，用皮条尺量。
生2：不用，只需要撕一半，因为心形是轴对称的，量一半后，乘2就可以了。
图6-3-2 学生操作
（五）整理概括，精炼概念
师：请大家观察，所有图形一周的边线都能转化成什么？
（课件演示图形一周边线拉直后都是一条线段，提问引导学生，并请学生概括：这一条线段就是图形一周的边线）
师：同学们，刚才我们进行了包边活动，明确了图形的一周。接着通过量一量、算一算，得到杯垫一周的长度分别是40厘米、40厘米、37.8厘米、35厘米，每个图形的一周都有固定的长度，我们把图形一周的长度叫作它的周长。你能用一句话来说说什么是周长吗？
生1：周长就是一个能包边的图形最外边缘一圈的长度。
生2：“周”其实是包边后所形成的一条线，而“长”就是这条线的长度。
师：是的，周长的“周”指的是一周边线，“长”指的是长度。
（六）拓展应用，凸显本质
1.辨析“一周”：下面的图形都有周长吗？有的话请描出它的一周。
2.小正方形的边长为1厘米，由9个这样的小正方形拼成的图形的周长是多少？
师：任意拿走一个小正方形，图形的周长变了吗？
3.周长是12厘米的图形，你能画吗？
【案例点评】
（一）以境促趣，让学习在“用”中悄然发生
对小学生来说，最初的知识往往是在做事中获得的，因此，他们对“做有趣的事”感到无比兴奋，愿意投入时间和精力去完成。本课中，笔者通过筛选生活中学生常见的本地草席制品，把周长的教学巧妙链接到“包边”这一手工活动的真实情境中，使课堂成为制作工艺品的“真实场所”。学生一边做事，一边分享成果，经历亲身操作、同伴分享、合作互助等过程，慢慢明晰了什么是一周、如何围图形一周、任何封闭图形的一周拉直后都是一条线段、图形一周的长度可以通过测量得到，这些都是理解周长概念所必要的经验与重要感悟。
（二）以问促思，让学生在“学”中发展思维
学生在操作过程中获得的经验与感悟往往比较粗浅，教师需要设计具有挑战性的问题，组织学生交流、思辨、比较、概括，夯实学的厚度。
在实施过程中，笔者主要通过以下五问来推进。第一问“为什么从不同的点开始包，最后都完成了包边”，直指一周概念的本质，即沿着一周边线，从某一点出发，绕一圈又回到该点，学生的语言描述逐渐清晰规范。第二和三问“那圆你们是怎样量的”“那心形呢”，让学生把目光聚集于曲边图形，生动呈现绕线、滚动等方法，化曲为直的思想在此萌芽。第四问“你能用一句话来说说周长吗？”，既是对概念的概括，更是对其精炼的过程，当学生建立起“周（测量对象）是一周边线”“长是长度累加后的数”的概念时，周长概念的本质便得到了凸显。第五问“任意拿走一个小正方形，图形的周长变了吗？”，让学生掌握分情况讨论、计算验证等认知策略，真正为发展高阶思维服务。