以项目化学习探索“数之美与意”
【学习内容】
唐塔中的数学密码
【适用年级】
六年级
【驱动问题】
校园旁矗立着一座千年唐塔，与我们的校园相依相伴。古塔历经千年而岿然不动，无论从哪个角度观看，都透露着无尽的美感。让我们走近它，从数学的视角去破解美的密码。
【案例背景】
（一）数学美育功能的缺失，提醒我们在教学中需要挖掘
受到中国传统实用主义的影响，人们在做什么之前总喜欢问一句“学这个有什么用”，这使得人们的审美水平远远跟不上经济发展的程度。美学家蒋勋说：“一个人审美水平的高低，决定了他的竞争力水平。因为审美不仅代表着整体思维，也代表着细节思维。给孩子最好的礼物，就是培养他的审美力。”因此，审美力是一个人的核心竞争力之一。
数学蕴含着无穷的美。罗素说：“数学，如果正确地看，不但拥有真理，而且也具有至高无上的美。”但是由于受到应试教育的影响，数学一直以来给予人的是枯燥、无趣的印象，很多学生“望数兴叹”，更别说体会数学之美了。因此，我们要挖掘数学的美育功能，让学生从知识内容的学习中，体会概念之美、公式之美、体系之美等；从思想方法的感悟中，体会简约之美、类比之美、抽象之美、无限之美等；从数学活动的实践中，体会对称之美、和谐之美、奇异之美等。
（二）数学的美时时刻刻存在，提醒我们在学习中需要感悟
要彰显数学的美感，就要让学生真切地感受到数学的可爱与美丽。尽管数学之美存在于生活的角角落落，但是对小学生而言，太常见的东西往往会让他们忽略其中的美。因此，在数学学习中，我们应多设计实践活动，让学生体会数学之美。宁波市海曙中心小学作为百年老校，有着江南现今保存最完整的唐塔——天宁寺塔。学生每天进入校园就能看见这座历史悠久的文物。如果从数学角度去欣赏塔，他们会发现塔中的数据是如此之和谐，塔的底面边长和高度有着锥体最美的比例，塔的各层的高度和宽度又有着一定的数学排列，这些都可以让学生感受到数学的和谐美。同时，数学不仅拥有着至高无上的美，还有着无穷的寓意。唐塔中的层数、壶门的高度等都有着我们中国传统文化的影子，因此可以通过对塔的研究，让学生根植于文化，体悟数字的寓意。
【单元设计】
“家乡的塔”项目化学习，融合了语文、数学、美术、信息技术等学科，形成了四个子项目。
1.塔的前世与今生——了解塔的历史、故事、文学作品等。
2.塔中的数学问题——从塔的数学结构入手，揭示美的密码。
3.标志性建筑的设计——汲取塔的造型思路，设计宁波市海曙中心小学分校的标志性建筑。
4.塔的模型构建——用3D打印实现模型的构建。
【学习目标】
1.识记——了解塔的历史、文化以及塔中简单的数学信息。
2.理解——发现塔的层数、面数的寓意；通过观察、猜想、测量、计算、分析等活动，发现塔中各部分之间的关系，揭示美的数学密码。
3.应用——能用学到的数与形之间的关系的知识来观察生活。
4.创造——能根据所探究到的数学规律指导创造活动——建筑的平面设计。
【案例展开】
（一）着眼古今中外，了解塔的相关信息
师：同学们带着调查表走近了塔。现在请大家来交流汇报一下，你们都了解了些什么？
1.塔的历史
学生调查结果：最早的塔建于公元520年。中国现存2000多座塔。塔最初是为供奉或收藏佛骨、佛像、佛经、僧人遗体等而建造的，以砖石或木结构为主。在现代，一般把高耸的塔形建筑也称为塔。
2.中国古塔
学生调查结果：
3.世界名塔
学生调查结果：
（二）关注家乡的塔，形成研究方向
师：同学们，之前的几节课中，我们了解了塔，画了塔。这节课，我们将继续欣赏，并研究美妙的塔。（板书课题：美妙的塔）
师：你对我们家乡的塔有哪些了解呢？（定格宁波的三座塔）
生1：天宁寺塔始建于唐咸通年间，又称为“咸通塔”，是我国江南地区现存原体保存最完整的唯一一座唐代砖塔。
生2：这座塔原在天宁寺门前，是原来的西塔，东塔已经倒塌。
生3：整座塔都是用砖垒成的。
生4：这座塔的底面是正方形的。
……
师：用数学的眼光去观察，你想研究什么？
生1：我想知道这些塔有几层，塔的底面是什么形状的。
生2：我想知道这些塔都有多高。
生3：塔建筑是上小下大的，我想知道工匠是怎么收缩的。
……
师：大家提出了很多有价值的问题，就让我们一起来探索研究吧。
（三）小组合作探索，解开数学密码
探索一：塔的层数和面数的特点，感受“数之意”
师：观察中国的古塔，你有什么发现？
生1：我们研究的是塔的层数和面数。天宁寺塔是五层，四面。我们知道一般古塔的层数都是单数的，天封塔就是七层，六和塔是十三层，西安的大雁塔也是七层。
生2：天宁寺塔的底面是正方形的，天封塔的底面是正六边形的，六和塔的底面是八边形的。
师：你们知道这是为什么吗？
生：塔的底面边数为偶数，如正方形、六边形、八边形、十二边形等。除了因为结构稳定，还与我们的文化有关。数字在中国古代除了运算功能，还被赋予了哲学意义。数字有奇有偶，有阴有阳。天数奇数，为阳数，生数；地数偶数，为阴数，成数。天在上，向高发展要用天奇数；地在下，平面展开要用地偶数，这是中国人对数的讲究。
师：那有没有特例呢？
生3：我知道大理的千寻塔是十六层，小塔是十层，因为古代大理生活的民族主要是白族，那时白族处于母系社会，所以他们用阴数作为层数。
生4：我还知道中国台湾的101大楼就是101层的。
探究二：塔的底面边长和高度之间的关系
师：为了便于研究，我以学校边上的天宁寺塔为例，按1：25画出了平面图，作为大家研究的材料。请大家根据自己的研究主题，量一量、算一算，并把结果记录下来，看看有什么发现。
生1：底面边长为3.2米，高度为12米，底面边长和高度的比值接近0.25。
生2：底面边长为3米，高度为12米，底面周长和高度的比值接近1。
师：大家都发现了这条规律，其实这样的比例是锥体最美的尺寸。
探究三：塔的每一层的高度、宽度的变化规律
师：同学们，你们测量了塔的每一层的高度和宽度。你们有怎样的发现？
生1：我发现每一层的高度，除了第一层比较高是2.5米，其余几层分别是1.08米、1.00米、0.92米、0.84米，是一个等差数列。
师：每一层的高度依次递减，逐层收缩，给人以美感。
生2：我发现每一层的宽度，第一层4.71米，第二层4.82米，第三层4.47米，第四层4.06米，第五层3.70米，也和高度一样，接近等差数列。
师：大家用数据说明了这个塔是逐层收缩的，这些数据接近等差数列，是依次递减的。
探索四：壶门的高度与塔的每一层高度的关系
生：我们通过测量和计算，发现壶门的高度大约是每一层高度的60%，接近黄金比。
师：黄金比是最具美感的一个比例数值，尽管它是由西方的数学家提出来的，但是我们的古人早已把这样的规律应用到了建筑之中。
（四）用数学眼光观察，发现数与形的完美结合
1.由形到数，体会不同美感背后的数值规律
师：天宁寺塔虽然简约，但是真是不简单。世间的事物并不是固定不变的。你们看，这是杭州的两座塔，人们亲切地称它们为“美女塔”和“将军塔”。如果从数学的角度思考，这两座塔蕴含着怎样的比例关系？
生1：我们研究这些塔的对径和高度的关系，发现了不一样的数值。
生2：保俶塔的底面对径和高的比是1：5，而六和塔的底面对径和高的比是1：2。
生3：我觉得底面对径和高的比值越小，这个塔就越细长，就像保俶塔，所以它才会有“美女塔”的称号。而六和塔的这个比值比较大，所以六和塔看起来比较魁梧、雄壮，所以它才会有“将军塔”的美称。
生4：不同的视觉美感，是因为其背后的数值是完全不一样的，真有意思。
2.由数到形，感受不同数值带来的不同的视觉美感
师：猜一猜，比萨斜塔的底面对径与高的比是多少？
生1：我觉得是1：5，我是估计出来的。
生2：我感觉是1：4，我觉得这个塔看起来比保俶塔更粗壮一些，而比六和塔又纤细一些，所以我觉得是介于它们之间的一个比。
……
师：大家的感觉比较准确，比萨斜塔底面对径与高的比确实是1：4。
师：有一座塔，它的底面边长：高=1：0.618，猜一猜，这会是哪一座塔？
生3：底面边长是1，高度是0.618，这座塔有点矮矮胖胖的。
生4：这座塔比我们学校前面的塔看起来要矮很多。
生5：这座塔是不是我们所熟知的埃及金字塔？
师：同学们真是厉害！能透过形状估计出其背后的数据特征，又能通过数据想象出不同的形状来。这就是数学的魅力，它能帮我们破解美的密码。
（五）学习方法迁移应用，挑战设计塔形建筑的新任务
师：同学们，今天我们从数学的眼光去观察，用数学的思维去思考，用数学的语言来表达，深入剖析了塔中的数学密码。
师：大家在美术课上，借鉴塔的元素，设计了我们分校的标志性建筑。如果要画出这个建筑的平面图，今天的学习会给你们怎样的启示？
师：请大家画出平面图，标上相应的尺寸，并想一想这样设计的理由。
【案例点评】
（一）引古塔进课堂，拓宽学生的视野
天宁寺塔作为学校旁真实存在的一景，已经深入学生的日常学习生活。把学习目标聚焦到古塔上，让学生经历一次真实的、富有挑战性的学习任务，打破学习的边界，从课本到生活，从例子到实际，是一次有意义的学习之旅。关于数字的寓意，我们的数学教学极少涉及，而我们的生活却与之密切相关。古今中外，无论是神性的象征还是礼数、历数，都是劳动人民智慧的结晶，而唐塔作为佛塔，也传递了中国传统文化的内涵。因此，看似简单的层数和面数，其实传递了极有文化内涵的寓意。同时，塔中的各种数学比例，无不凝结着劳动人民的智慧，传递着和谐之美。通过项目式学习活动，学生解开了塔中的数学密码，体会到数学的精准，进而拓宽了视野。
（二）做项目促内生，丰富学生的体验
对唐塔的研究，不是罗列客观事实，而是进行项目式学习，让学生面对富有挑战性的真实问题——解开唐塔的数学密码，进行持久的探索——进行塔的调查、了解塔的层数和面数的数字寓意、测量塔的有关数据、计算底面边长与高度的比值、排列各层宽度的数据、得到高度与宽度的比值……在这个过程中，学生要不断地进行反思、总结、评价和修正，最后形成自己的结论——塔的底面边长和高度的比值接近0.25，这是锥体最美的尺寸，塔中存在等差数列、黄金比等。这样的项目化学习，颠覆了就知识点展开的学习模式，需要高阶思维的积极参与，从而使得学生的高阶能力，也就是创新能力、问题求解能力、决策力和批判性思维能力等，得到了培养。
（三）联数形成一体，提升学生的审美力
毕达哥拉斯说：“美是和谐与比例。”的确如此，一幅让人赏心悦目的作品的背后一定有一组和谐的数。先有一个构思的草图，然后给草图标尺寸、找数据，再呈现完整的作品——学生的学习正是经历了这样的过程。让学生就富有美感的作品找出数据，从中发现各数据之间的关系，体会中国的古人是如何利用数的和谐关系来达到美学的最高境界，同时指导学生进一步完成自己的作品——这一过程能够引导学生运用数学来指导自己的创作，这样的思维方式同时也为学生打开了一扇窗。
“唐塔中的数学密码”这样的项目，充分挖掘了数学学科的美育功能，达到了培养学生审美力的终极目标。
在“唐塔中的数学密码”项目化学习中，学生体会到了数学的美感、数的寓意。审美性、人文性和趣味性被融入课堂，数学独有的魅力深深地吸引着学生，原本枯燥的数学变得生气勃勃、有血有肉。