【学习案例】破译古建筑的图形美[1]
①确定主题
永寿街历史文化街区是宁波市八大历史文化街区之一，是宁波老城内传统历史风貌的集中地。街区历史名人荟萃，现存名人故居众多。高墙、敝院、黛瓦、漏窗体现了宁波地方大气内敛而又灵活实用的民居特色。如果从数学的角度观察、研究，你能够发现古建筑图形的奥秘吗？
②设计方案
从研究的问题、地点、运用的数学知识、研究方法、运用的工具、合作伙伴、估计结果等方面设计研究方案。下面是学生提出的研究方案。
我们提出的问题：古建筑中的图形有哪些？是怎样排列的？
地点：永寿街、秀水街历史街区。
运用的数学知识：图形的知识、密铺的知识。
研究方法：拍照、观察、绘图、查阅资料、思考。
运用的工具：摄像机、电脑、彩笔、尺子、纸、大脑。
合作伙伴：朱同学、胡同学、妈妈。
估计结果：古建筑中的图形排列是有规律的。
③观察研究
用数学的眼光去观察古建筑中的图案，从数学的角度去思考，发现其中的规律。
地面的砖都是用长方形的砖拼成的（图一），墙是由两个或者三个不同的长方形的砖拼成的（图二、图三），美丽的壁画是正方形与多边形的结合（图四）。
（图一）
（图二）
（图三）
（图四）
为什么人们在铺设地砖和墙面时会较常选择长方形的砖呢？是因为长方形的砖能够把地面、墙面铺满，同时又方便施工吗？
长方形能把平面铺满，还有哪些图形能够把平面铺满呢？正三角形、正方形都可以把一个平面铺满，这里有怎样的奥秘呢？
图形能不能把一个平面铺满，和这个图形的内角角度很有关系。
原来正方形、长方形、正三角形这三种图形都可以拼出360度的角，所以它们能把一个平面铺满。那么正五边形、正六边形呢？让我们来算一算。
正六边形内角和：180°×（6-2）=720°
每一个内角：720°÷6=120°
120°×3=360°
正五边形内角和：180°×（5-2）=540°
每一个内角：540°÷5=108°
108°×3=324° 108°×4=432°
算一算，马上就可以看出，正六边形能把一个平面铺满，而正五边形是没有办法把一个平面铺满的，要么有空隙，要么会重叠。
④得出结论
通过计算、拼组，发现了正三角形、正方形、长方形、正六边形可以把一个平面铺满。那么是否还存在其他图形，也可以把一个平面铺满？接下来从内角的度数入手继续思考。如果这个图形能够铺满一个平面，那么它的内角度数应该是360度的因数。
通过计算发现，当每个内角都是120度时，这个图形是正六边形；当每个内角都是90度时，这个图形是正方形；当每个内角都是60度时，这个图形是正三角形。其他角度都无法找到对应的正多边形。看来只有这三种正多边形可以把一个平面铺满。
⑤拓展延伸
其他图形的排列规律又是怎样的呢？
如果不是正多边形，是否也能密铺呢？研究发现梯形、平行四边形也可以把一个平面铺满。
任意画一个四边形，是不是也可以把一个平面铺满呢？继续深入思考，可以画一画，把想法写出来。
任意的一个四边形都能把一个平面铺满，因为四边形的内角和是360度，只要把这四个角拼在一起，就能铺满一个平面了。
这类学习活动，重在使学生经历研究的过程。做研究，既是运用知识解决问题的过程，又是学习方法策略的过程。在这个过程中，教师要引导学生论证研究主题的适切性、研究方案的可行性、研究结果的科学性，帮助学生提炼出策略性经验。