【学习案例】用一张A4纸制作一个容积最大的立体图形[2]
①提出猜想
研究的问题：用一张长方形铁皮做一个容积最大的储蓄罐（底面另配、铁皮的厚度忽略不计）。
学生猜想1：用长方形铁皮能够做出长方体、正方体、圆柱等立体图形的侧面。
学生猜想2：不同形状的立体图形中，圆柱的容积最大。
学生猜想3：底面是正方形的长方体容积比较大。
②操作活动
用长方形铁皮做立体图形的侧面，先思考可以制作成哪些立体图形，再比较哪个容积最大。
分类思考：这些立体图形可分为两类，一类是横着折的，立体图形的高等于长方形的宽；另一类是竖着折的，立体图形的高等于长方形的长。可以先找出等高的图形中哪个立体图形容积最大，再比较。
概念明晰：因为铁皮的厚度忽略不计，容积近似于体积，因此可以通过计算各种立体图形的体积来解决问题。
容积比较：这些立体图形都是直柱体，体积的通用公式是“底面积×高”。因为用同一张长方形制作，当高相等时，只要比较底面积即可。
③验证建模
侧面为同一张长方形，即底面周长相同，如何比较底面积呢？在周长相等的情况下，圆的面积最大，因此圆柱的容积最大。
两个圆柱，哪一个容积更大？
用假设的方法思考，设长方形的长为2π，宽为π，那么两个圆柱的容积分别是π2和
。
用一般的方法思考，设长方形的长为a，宽为b，通过计算比较这两个圆柱的容积。
④得出结论
把储蓄罐设计成圆柱的形状，且用长方形的长作为圆柱底面的周长，宽作为圆柱的高时，该储蓄罐的容积最大。
⑤拓展延伸
如果用长方形的铁皮制作圆柱形的容器，成品还要包括上、下底面，这一张长方形铁皮用哪种规格比较合适？此时容积又是多少？
在此类学习中，操作前的分析、操作后的思考尤为重要，这会使得操作有方向，操作有提升。同时，教师还要注意到，不同内容、不同形式的操作活动背后其实有着某些相同的数学思维和数学理解，对之进行正迁移，能使学生形成系统的知识经验，在操作中反思，在运用中提升。