整体建模，搭建“学”与“用”的桥梁
【学习内容】
植树问题
【适用年级】
五年级
【驱动问题】
为什么棵数与间隔数有时候相等，有时候不相等？
【课前思考】
（一）明知识结构，定“用学”目标
植树问题是一个很经典的数学问题，其蕴含的价值不言而喻。梳理这一单元的教学内容，从模型结构来看，可以分为“两端都种”“只种一端”“两端都不种”三种；从题型变式来看，可以分为求棵数、求总长、求间距这三种问题。也就是说，这看似简单的内容，实则包含了九种不同的问题解决方案。再加上还有种一侧还是种两侧，封闭与直线等信息变化，植树问题看似简单，其实并不简单。
如果把上述知识与技能作为首要教学目标，学生的学习只是记忆，日子一长，遗忘加干扰必定会成为学生解决问题的痛点。
因此，本课的教学目标应牢牢定位在对数学思想的体验与感悟上，真正建立起棵数与间隔数之间的一一对应关系，搭建起稳固而又清晰的植树模型。
（二）探学生起点，定“用学”活动
纵观许多植树问题的教学案例，学生在学习时一般都会遇到三种困难。第一，不明白模型背后的道理。数量关系一般都是概括出来的，学生对棵数与间隔数的对应关系感悟很弱。第二，模型之间互相混淆。三种模型依次学习，前后之间的沟通与比对不够强，学生大脑中形成的结构散乱无序。第三，利用模型解决问题难。在解决“楼梯问题”“敲钟问题”“锯木问题”等实际问题时，很多学生就判断不出到底是该加1、减1，还是不加不减。
基于以上对教材和学情的分析，本节课首先将以整体呈现植树问题的三种模型的情境导入，让学生在自主探究的过程中多重体悟模型的本质。然后，利用同一素材进行巩固练习，使学生能深刻体会模型的价值。最后为了让学生能更好地把握植树问题的内涵，将例题进一步延伸，呼应课的开头。
【教学目标】
1.借助熟悉的问题情境，初步感知植树问题的三种模型，在观察、比较中发现三种模型的共同点。
2.利用线段进行抽象，通过点与段之间的关系，归纳总结出不同模型下棵数与间隔数之间的关系，渗透一一对应的思想。
3.经历建模的过程，并形成自觉运用模型解决问题的意识，在建模—用模的过程中体验成功的喜悦，增强学好数学的信心。
教学重点：在具体情境中抽象出数学模型，归纳出三种模型下棵数与间隔数之间的关系。
教学难点：整体建构植树问题的三种模型，能运用所学解决实际问题。
【课堂实录】
（一）情境导入：整体呈现植树问题的三种模型
动画出示现实问题：五年级三个班要在120米的小路上植树，每隔5米植一棵。一班先种40米，二班接着再种40米，三班完成最后的40米。
师：猜一猜，五年级三个班分别要植多少棵树呢？
生1：每班都是8棵。
生2：三个班分别是9棵，8棵，7棵。
生3：三个班各9棵。
……
（二）自主探究：多重感悟模型本质
1.学生自主探索
师：看来同学们有很多种猜想，哪名同学的想法更符合题意呢？同桌合作，画一画、算一算，检验一下吧。
2.建立三种植树情况的表象
（1）两端都种——一班的种树情况
生：一班在40米的小路上，每隔5米种一棵树，要种9棵树。
师：40除以5等于8，怎么会是9棵呢？
生：因为从头到尾，头也要种，尾也要种，所以多了一棵。
师：像一班这样头尾都要种树的情况叫作“两端都种”。
（2）只种一端——二班的种树情况
生：二班接着种，要种8棵。
师：二班的种树情况和一班有什么不同呢？
生：二班头里的一棵树被一班种去了，所以二班头里不用种，只要种中到尾。
师：像二班这样，头不种、尾要种的情况叫作“只种一端”。
（3）两端都不种——三班的种树情况
生1：三班再接着种，也要种8棵。
生2：我不同意种8棵，120米的小路最后是图书馆，难道图书馆上也要种一棵吗？
师：请大家思考，三班在最后5米的时候还需要种树吗？
生：最后是图书馆了，肯定不用种了。
师：那三班种树有什么特点？大家也能取一个名称吗？
生：三班头里的一棵树给二班种了，尾是图书馆也不需要种，所以三班的种树情况是“头尾都不种”。
师：对呀，三班的种树情况叫作“两端都不种”。
3.抽象比较三种植树情况
教师通过描述并结合多媒体，利用线段图进行抽象。
师：请你仔细观察，这三个班植树有什么共同点？
预设：都是在40米的小路上，每隔5米植一棵；都有8个间隔。
（教师根据学生的生成，适时追问间隔数，引导总结并板书：通过40÷5可以得出三个班的间隔数都是8个）
师：咦，都是8段，三个班级种的棵数怎么不一样了呢？（根据学生的汇报，结合多媒体，渗透一一对应的思想）
生：一班是头尾都种，每一个间隔对应前面的树，最后还需要种一棵，所以一班比8棵多了1棵。
生：二班属于只种一端，头里不用种树，每一个间隔对应后面的树，所以正好是8棵。
生：三班头尾都不用种，每一个间隔对应后面的树，最后一个间隔就多出来了，所以只有7棵了。
4.在对比中发现棵数和间隔数之间的关系
师：这三种情况下，棵数和间隔数各自有着怎样的关系呢？
生：两端都种时，棵数=间隔数+1；只种一端时，棵数=间隔数；两端都不种时，棵数=间隔数-1。
5.揭示课题“植树问题”
（三）巩固练习：深刻体会模型价值
1.寻找生活原型
师：其实在我们的生活中，还有很多类似的现象，你能说一说吗？（引导学生说清楚什么是树，什么是间隔，属于哪种情况）
生1：马路边的路灯，灯是树，两盏灯之间是间隔。
生2：小朋友做操，小朋友是树，两个小朋友之间是间隔，属于两端都种。
……
2.解决生活问题
（1）说一说：你能找到每一幅图中所蕴含的植树问题吗？
（2）判一判：图中的数学问题分别属于植树问题中的哪一种情况？
生：琴桥上的钢柱属于两端都不种的情况；南塘老街的灯笼属于只种一端的情况；杭州湾跨海大桥路面两边的路灯属于两端都种的情况。
（3）解一解：解决图中的三个问题。
（四）拓展延伸：引发对植树问题的新思考
师：我们再回到学校里这条通往图书馆的小路上，你们还发现了什么？
预设1：无论哪种情况，三个班级都共植了24棵树。
预设2：把这条路看作整体，就是只种一端的情况。
师：哇，你们的发现太有价值了。那三个班种树还有其他可能吗？
预设：考虑到教师引导和学生对本节课知识的理解，可能会出现（8，9，7）（8，8，8）（9，7，8）。教师根据学生的回答追问。
师：今天我们主要研究了直线上的植树问题，其实，我们生活中还有不一样的植树问题呢！
【案例点评】
（一）整体架构学习内容，打通知识“隔断墙”
在教学植树问题时，教师往往先教学两端都种，然后再推及只种一端和两端都不种，这样的散点的呈现方式容易造成知识的分离，使学生对三种模型的对比、辨析不足。因此在教学中，笔者通过内容重组，将三个模型以一个情境主题构建，整体推进，通过一班、二班、三班的种树情况的比较，把三种模型完整呈现，让学生既能找到共同之处，又能分辨不同之处。这样的架构方式，打通了知识之间的“隔断墙”，整体建构植树问题的模型，更有利于学生高阶思维及创新能力的 培养。
（二）选用真实生活情景，激发学习“兴趣点”
数学来源于生活，是对生活现象的抽象。本课利用学生熟悉的种树情境，自然而然地引发学生思考“三个班该怎样种树”，从而主动发现问题、探究问题。学生在模拟的场景下，通过画图、观察、分析等方法，自主探索了间隔数和棵数之间的关系，得到相应的数学模型。这样的学习不仅能激发学生的学习兴趣，而且有利于他们对三种植树模型进行横向比较，厘清棵数与间隔数之间的关系。
（三）链接生活问题解决，拓宽思维“生长带”
通过回归生活，学生能在实际问题中找到植树问题的原型，并能辨别其属于哪类模型。同时通过具体的问题，学生感受到了加1、减1以及不加不减的原因。最后，在拓展延伸过程中，学生打破局限，站在整体上找到了现象的本质，拓宽了思维的“生长带”。