综合与实践视野下的数学眼光[4]
【学习内容】
自行车速度里的奥秘
【适用年级】
六年级
【驱动问题】
汤姆的自行车被朋友偷偷改造了，车把的连接杆上被焊接了一个齿轮，导致这辆自行车无法正常行驶。如果要设计一辆稳定又快速的自行车，你觉得可以怎么设计呢？
【案例背景】
小学数学教材中的综合与实践内容以学生感兴趣的实际问题为素材，引导学生通过数学思考，或构建模型，或给出方案，或解决问题，是发展学生数学眼光的好材料。“自行车里的数学”是在学生学习了《比例》单元后编排的综合与实践活动，活动以自行车“蹬一圈能跑多远”为研究问题，主要探索“前后齿轮比与自行车蹬一圈行进路程”之间的关系。教学时如果按照教材直接呈现研究问题，引导学生进行探索，会缺少让学生自主发现问题、提出问题的过程。直接呈现问题还会让研究的内容仅限于前、后齿数的比值上，缺少对所涉及知识的综合应用的探究。为此，教师对该活动进行了改造，把“自行车里的数学”改为“自行车的哪些设计与速度有关”，将研究两个问题改成了研究四个子问题（见表6-10-1），使研究更有现实 价值。
表6-10-1 “自行车的哪些设计与速度有关”问题分析
这样的改造使得探究活动更为综合，研究的问题不仅指向比例的知识，更链接了图形的知识，应用图形的特征解释生活现象的原理，应用圆的周长公式解决自行车轮胎大小的问题等。生活中的实际问题具有复杂性和多样性，改造后的学习设计更贴近真实世界，便于教师引领学生从数学的视角进行观察、分析、建模、解答、反思，发展学生的模型思想、运算能力、应用意识和创新意识。
【学习目标】
1.通过观察、分析、操作等，围绕车轮、车架、车座、车把等进行研究，应用图形的特征解释生活现象的原理。
2.通过操作、计算、归纳等，研究轮胎的大小，会用圆的周长公式解决生活中的实际问题。
3.探索齿轮与速度的关系，理解其中蕴含的反比例知识，能运用比的知识解决实际问题。
【案例展开】
（一）数学眼光洞察：经历“现象—问题”的过程
1.情境驱动：播放视频，汤姆的自行车被朋友偷偷改造了，车把的连接杆上被焊接了一个齿轮，导致这辆自行车无法正常行驶，汤姆多次挑战都没有成功。
思考：看到这个现象，你对自行车有什么想法？
2.形成驱动问题：自行车的哪些设计与速度有关？
3.构建研究方案：
（1）学生自主提出初步猜想
影响自行车速度的因素可能有：轮胎大小、蹬脚踏板的速度、自行车的齿轮数、车轮的形状、人骑车的姿势、车轮一周的长度、车把手的形状……
（2）小组讨论筛选最优猜想
四人小组讨论，针对“自行车的哪些设计与速度有关”这个问题选出最优猜想，形成小组意见（如蹬脚踏板的速度确实能够影响自行车的速度，但是这个因素不属于自行车的设计，因此不纳入最优猜想之中），并全班交流。
（3）学生汇报形成子问题
通过小组汇报，讨论下阶段研究的方向，形成子问题。
（二）数学眼光论证：经历“猜想—实践”的过程
学生对四个子问题的研究，基本上都经历了“小组共识，聚焦猜想→小组讨论，形成方案→合作探索，验证猜想→构建模型，得出结论”的过程。
1.子问题一：车轮的形状为什么设计成圆的？
（1）小组共识，聚焦猜想
猜想一：圆形的车轮可以使汽车行驶起来比较稳定。
学生理由：生活中的汽车乘坐时都比较舒服，因为车轮是圆形的，圆心到圆周上任意一点的距离都相等，所以车轮转动时比较稳定。
猜想二：不同形状的车轮，行驶的轨迹不一样。
学生理由：不同形状的车轮，行驶的轨迹不会都是一条直线。
（2）合作探索，验证猜想
用不同形状的车轮，如圆形、正方形、三角形、六边形等，模拟行驶过程，并画出轨迹。
图6-10-1 学生研究不同形状的车轮在行驶时的轨迹
（3）对比分析，得出结论
学生的结论：假设车轮是三角形、正方形，或者其他多边形，车缘到轮子的中心点的距离并不是相等的，所以行驶起来一定会上下颠簸。从不同形状的车轮行驶时的轨迹可以看出，车轮越接近圆形，车子行驶越平稳，因为圆心到圆周的距离是处处相等的。
2.子问题二：车轮大小的设计有什么奥秘？
（1）小组共识，聚焦猜想
猜想一：自行车的行驶速度与车轮大小有关。
学生理由：车轮向前滚动一周的距离，就是车轮一周的长度。因为车轮是圆形的，所以既可以直接测量车轮的周长，也可以通过测量车轮的半径、直径来求出车轮的周长。
猜想二：自行车的车轮有怎样的规格。
学生理由：生活中常常用18寸、24寸等来形容自行车的大小，这与车轮的周长有关系。
猜想三：车轮是不是越大越好。
学生理由：我们每个人的身高各有不同，不同身高的人骑的自行车也是不一样的。那么身高与自行车车轮的大小有一定的关系。
（2）实践操作，验证猜想
①测量不同大小车轮的半径，探索自行车车轮滚动一周时自行车前进的路程。
图6-10-2 学生测量不同大小车轮的半径、直径
②通过查阅资料、计算，发现车轮的大小与人们常说的“英寸”“寸”有关。
查阅资料：1英寸≈2.54 cm 1寸≈3.33 cm
计算：18×2.54≈46 cm 18×3.33≈60 cm
22×2.54≈56 cm 22×3.33≈73 cm
28×2.54≈70 cm 28×3.33≈93 cm
英寸数×2.54≈车轮的直径
图6-10-3 学生汇报自行车轮胎大小的设计所形成的板书
③车轮大小不同的自行车适合不同身高的学生骑行。
实践体验：
图6-10-4 学生体会车轮大小不同的自行车骑行的舒适度
资料查阅：常见的自行车规格有10、16、20、24、26、28，单位是英寸。人们应该根据自己的身高来选择合适的自行车。
80 —90 cm应选择10英寸；100 —120 cm应选择16英寸；
150 —160 cm应选择20英寸；160 —170 cm应选择24英寸；
170 —180 cm应选择26英寸；175 —185 cm应选择28英寸。
（3）构建模型，得出结论
模型一：车轮的周长=英寸数×2.54×π
模型二：不同身高的人应该骑不同尺寸的自行车
3.子问题三：车架、车座、车把的形状为什么设计成近似三角形？
（1）小组共识，聚焦猜想
猜想一：车架设计成三角形与自行车的稳定性有关。
猜想二：车座设计成三角形与骑行时的舒适度有关。
（2）实践操作，验证猜想
①画出不同形状的自行车车架。
图6-10-5 学生研究自行车车架的形状
对比发现：自行车车架的形状基本近似于三角形。三角形具有稳定、坚固、耐压的特点，因此用三角形构造来连接前后两个轮子的自行车，在骑行过程中，会相对稳定。
资料查阅：比赛用自行车基本上也有着类似框架，只是在材料选择上更趋向于轻巧类的材料。而创意自行车会在三角形框架的基础上设计更多流线型的结构。
②实践体会不同形状的车座的感觉。
图6-10-6 学生研究自行车车座的形状
（3）对比分析，得出结论
结论一：自行车的车架设计成三角形，比较稳定。
结论二：三角形的车座可以让我们在骑行时双腿不用分开很多，肌肉活动受影响很小，更容易发力，而其他形状的车座则会阻碍大腿活动。
4.子问题四：齿轮的设计与速度有什么关系？
（1）小组共识，聚焦猜想
思考：研究“齿轮的设计与速度有什么关系”，可以从哪些方面入手？
猜想一：研究前齿轮数、后齿轮数的比值。
学生理由：因为知道齿数和转的圈数成反比例，前齿轮数×转的圈数＝后齿轮数×转的圈数=总齿数（不变），所以前齿轮数与后齿轮数的比值就是蹬一圈后齿轮转几圈，后齿轮转几圈，就是后轮转几圈。
猜想二：研究车轮的周长。
学生理由：通过观察，自行车是通过脚蹬踏板，带动前齿轮、链条、后齿轮，最后带动后轮转动才往前走的。所以只知道后轮转了几圈还不够，还需要知道车轮周长。
猜想三：研究自行车蹬一圈能走多远。
学生理由：要研究齿轮与速度之间的关系，可以先研究蹬一圈，然后通过蹬一圈走多远来推测自行车的速度。
教师建议：研究了前面两个猜想就可以研究第三个猜想了。
（2）小组讨论，形成方案
师：刚才已经讨论出了需要研究的要素，现在要知道它们的具体数据，有什么好方法？
生：可以数一数齿轮数，可以量一量车轮的周长，还可以先测量再计算。（板书：数、量、算）
（3）合作探索，验证猜想
师：车轮的周长是怎样得到的？
生：通过直接测量车轮的周长；先测量车轮半径，再通过计算得出车轮周长。我们是先测量了车轮的直径，再计算车轮的周长。
师：比值怎样得到？表示什么？
生：这个比值是用前齿轮数除以后齿轮数得到的，是前后齿轮数的比值。
师：周长为什么要去乘前齿轮数与后齿轮数的比值？
生：因为齿轮数与转的圈数成反比例关系，所以前齿轮数与后齿轮数的比值就是前齿轮转1圈，后齿轮转几圈，也就是后轮转几圈。
（4）构建模型，得出结论
模型一：前齿轮数÷后齿轮数×车轮周长＝蹬一圈的路程
模型二：蹬一圈的路程×单位时间蹬的圈数＝单位时间行驶的路程（速度）
图6-10-7 模型构建的板书
（三）数学眼光创见：经历“质疑—创造”的过程
师：如果运用今天所学的知识来设计一辆自行车，你们准备怎么设计？
生1：可以把自行车的车轮设计得大一点。
生2：那车轮也不能无限大吧！如果车轮很大很大，根本就不能骑了。
生3：前后齿轮比大，也就意味着蹬一圈，后轮转动的圈数多。那是否可以让前后齿轮比随意增大？
生4：如果前后齿轮比大，确实蹬一圈能够使后轮多转几圈。可是太大了，我们会不会骑不动？
生5：变速自行车就是改变了前后齿轮比，从而改变行驶的速度。
……
【案例点评】
学生往往在应用数学的思想和方法解决问题的过程中，寻求对现实世界现象的认识和理解，发展数学的眼光。可见，数学眼光是一种意识，一种能敏锐地把实际问题抽象成数学问题的意识；数学眼光是一种思想方法，一种能借助分析、推理等探求数学结构的方法；数学眼光是一种综合能力，一种能综合运用所学知识，活学活用的能力。“综合与实践”板块以与学生生活密切相关的各类具有现实性、综合性、实践性特征的问题为抓手，以自主探究为主要学习方式，为学生提供了广阔的实践平台，使学生能够从中积累数学经验，增强应用意识和创新意识，发展数学的眼光。在实际的教学中，我们可以从以下几个维度去尝试发展学生的数学眼光。
（一）驱动问题变“给予”为“内生”，促进数学意识的生长
综合与实践活动以问题为抓手，因而驱动性问题的设计至关重要，一个好的驱动问题能够为学习者提供一个广阔的、多向度的探索空间。它既能激发学生学习的内在动力，也能提纲挈领地为学生指出持续思考、自我探究的方向。
教学实践中，教师容易从知识本位出发，直接把经过加工、改造的问题抛给学生，而忽视了学生自发地从现象中发现并提出自己想要研究的问题的过程。而单纯地让学生漫无边际地提问，也会使研究的方向不清晰。因此，驱动问题的产生，应该是师生共同交流并达成共识的过程，也是学生问题“内生”的过程。
要让驱动问题真正“内生”，首先就要创设一个真实情境，这个情境好比是一个触发器，能够引导学生产生问题，然后在师生的交流中不断让问题聚焦，逐步形成驱动问题。接下来，需要学生根据产生问题的情况提出自己的猜想，并在小组中分析、对比、交流，集中大家的意见，形成研究的主要方向。图6-10-8反映了驱动问题“自行车的哪些设计与速度有关”的“内生”过程。学生只有不断经历这样的“内生”过程，才会拥有敏锐的数学眼光，并自觉地去洞察大千世界，从纷繁的表面现象中抽离出数学问题。
图6-10-8 “自行车的哪些设计与速度有关”驱动问题的“内生”过程
（二）探究过程变“形式”为“实质”，促进数学方法的发展
综合与实践以自主探究为主要学习方式。在探究活动中，如果学生按照教师设计的探究路径一步一步走，那么学生仅仅是一个简单的操作工，而不是独立思考、研究的个体，无法很好地达成对研究过程的感悟，对数学思想方法的体会。同时，如果缺少指导的探究，学生就会无所适从，找不到研究的方向。因此，教师可以从数学问题探究的一般方法入手，找到普适的方法，给予学生指导。
“猜想—研究—结论”是学生解决数学问题的基本步骤。因此，教学中，教师要引导学生先各自进行猜想，然后讨论各自的猜想是否合理，是否指向需要解决的问题，接着根据猜想，开展计数、测量、计算、推理等一系列数学活动，从中感悟方法、提升能力，最后通过探究得到相关的数据，并进一步对这些数据进行分析、综合，逐步形成学习成果——数学结论或数学模型。
探究活动以学生为主体，学生在教师的引导和点拨下，经历科学检验的历程，在全方位的思维活动中达成数学思想方法的认知，发展数学眼光。
（三）学习评价变“单一”为“丰富”，促进综合能力的提升
教师要引导学生用数学的眼光审视本人和他人在学习过程中的表现，从提出问题、敢于猜想、探索研究、合作交流、达成目标等维度展开自我评价和相互评价。在自评和互评中，学生总结、梳理学习的全过程，推动综合能力的提升。例如在本节课的尾声，学生开展了如下的评价对话：
生1：我在一开始拿到研究问题时，有点不知道从哪个方面入手，经过小组讨论，我们提出了自己的猜想，所以第一点，我给自己打2分。
生2：我的同桌，他带领我们一起数前后齿轮数、测量车轮的半径，并计算出了比值、周长，最后求出了蹬一圈能够走多远，我给他每一项都打3分。
表6-10-2 “自行车的哪些设计与速度有关”评价量表
总之，综合与实践的教学，是引导学生用数学的眼光观察现实世界，从表面现象中抽象出数学问题并进行数学探究的重要渠道。让学生在实践中，养成从数学角度观察现实世界的意识与习惯，提升洞察力、论证力、创造力，就是在培育学生的核心素养，发展学生的数学眼光。
【注释】
[1]本案例发表于《小学数学教师》2022年第1期。（收录时有删改）
[2]本案例发表于《小学数学教师》2021年第6期。（收录时有删改）
[3]本案例发表于《小学数学教师》2020年第1期。（收录时有删改）
[4]本案例发表于《教学月刊·小学版》2021年第12期。（收录时有删改）