揭秘数学魔术“吃不完的巧克力”[3]
【学习内容】
比例的应用
【适用年级】
六年级
【驱动问题】
数学魔术“吃不完的巧克力”的奥秘是什么？
【课前思考】
疫情期间，宁波市海曙区教育局组织名师骨干录制小学数学微课，其中有一节六年级数学拓展课“吃不完的巧克力”。许多学生看完这节微课中的数学魔术后，对“图形中线段的比例关系”产生了浓厚的兴趣，纷纷借此去破解其他魔术。笔者基于“因用而学”的理念，进一步开发本节拓展课，并着重思考以下两个问题：
（一）如何把课本习题开发为学习项目
人教版《数学》六年级下册第四单元有这样一道题：用图中的4个数据可以组成多少个比例？
学生通过计算，得到以下比例：
3:1.5=4:2 1.5:3=2:4
2:4=1.5:3 4:2=3:1.5
3:4=1.5:2 4:3 =2:1.5
1.5:2=3:4 2:1.5 =4:3
大部分学生还能感悟到，图中的两个三角形形状相似，对应底和高之间的比值是相等的，即大三角形的高：大三角形的底=小三角形的高：小三角形的底，或大三角形的高：小三角形的高=大三角形的底：小三角形的底。
要将本习题开发成更有价值的学习项目，需经历以下过程。首先，探寻生活中需要应用比例关系解决的实际问题，发现魔术“吃不完的巧克力”背后的原理正是图形中微小的比例之差，且这一内容兼顾趣味性和深刻性，适合放手让学生研究。其次，思考如何让学生经历认知冲突，将内隐的思维外显，并明确要紧紧围绕“用什么材料做”“用什么问题导”这两条主线展开设计。最后，需要设计探究类作业，让学生喜欢“用数学解决问题”，感受在生活中探索数学问题的乐趣。
（二）如何从魔术揭秘升级为数学发现
日常的魔术揭秘往往是魔术师将魔术过程做详细拆解，对道具功能做一一演示后，观众才能发现其中奥秘，从而发出“原来如此”的感叹。这样的过程虽能牢牢地吸引观众，但在发展思维、提升能力方面的作用微乎其微。
如果学生能从一个看起来并不相关的魔术现象——“吃不完的巧克力”中觉察到它其实是利用微小的比例之差产生“视错觉的欺骗”，并发现比例知识在这一数学魔术中的妙用，进而领悟到相似三角形对应边成比例以及直角三角形两条直角边的比值在判断直线段上的作用，他们才算真正自主发现了其中所蕴含的数学知识，真正培养了高阶思维。
也就是说，对学生思维能力的评价不应只包括对其已学知识熟练程度的评价，更应包括通过已学知识进行推理和应用的评价，以及对透过现象看本质从而产生数学发现这一思维能力的评价。
【教学目标】
1.通过小组合作完成“魔术还原”，学会用比例的知识分析图形问题，并求出对应线段的长度。
2.通过小组合作完成“魔术揭秘”，培养学生认真观察、思考并分析问题的能力，学会解决问题的一般步骤，发现微小的比例之差所引起的“视错觉”。
3.通过小组合作完成“魔术挑战”，通过让学生自主选择问题、分析问题和解决问题来激发其应用数学的兴趣，并深化对比例及其相关应用的理解。
【课堂实录】
（一）呈现魔术，形成研究方案
1.玩“手指魔术”，激发学习兴趣
师：你们知道这个魔术背后的奥秘吗？其实，魔术的背后有非常多的奥秘，我们一起运用数学知识来变魔术吧。
2.播放微视频，引发学生思考
切：
拼：
师：看了数学魔术“吃不完的巧克力”，你有什么想说的？
生1：没有任何数学信息，不知道怎么破解。
生2：感觉巧克力还是原来那一块，是不是在切拼的过程中，我们忽略了 什么？
3.师生讨论，形成研究方向
师：这个数学魔术的奥秘在哪里？如果把它当作一个数学问题，你觉得要怎么研究？
生1：我们可以来变一变这个魔术，让切巧克力的过程慢一点，说不定就能发现奥秘了。
生2：比一比原来的巧克力和现在的巧克力，看看有什么变化。
……
师：大家想到了很多办法，我们就从“魔术还原”展开思考，通过分析来进行“魔术揭秘”。
（二）还原魔术，初探数学规律
1.小组合作，还原魔术
材料：每组一块纸制巧克力和学习单。
要求：同桌合作，先还原魔术，再比一比变化前后的两块巧克力。
2.引导质疑，指向关键
师：是不是真的多出了一小块巧克力？
生1：我们通过变一变这个魔术，发现确实多出一小块。
生2：不对，最后拼成的巧克力比原来的巧克力小，整块巧克力的长变短了。（该生呈现如下三种不同的拼法，以证明其想法）
拼法1
拼法2
拼法3
（三）揭秘魔术，再探数学规律
1.深入思考，形成聚焦点
师：经过刚才的探索，同学们都发现巧克力其实是变化了的。那么，重新拼组后的巧克力是哪里变了呢？
生1：我仔细观察，发现拼起来的巧克力比原来的巧克力短了一截。
生2：面积变了，（指拼法3）这一整块巧克力就是在第三行那里变短了的。我认为原来的面积是4×6=24，而现在的面积应该比24少。
师：观察得真仔细，拼组后整块巧克力的长确实变短了。那么，到底短了多少呢？你们知道吗？能不能用数学的方法来说明呢？
2.推理论证，得出结论
组织学生交流反馈，得到以下三种方法。（假设每一块正方形巧克力的边长为1）
方法1：拼组后减少的巧克力就是多出来的那一小块，即减少的面积为1。1÷4=0.25，应该是短了0.25。
方法2：设拼组后的巧克力的第三行的高度为x，则有1：4=x：3（形状相同的两个三角形高和底的比值相等），得到4x=3，解得x=0.75，所以1-0.75=0.25，即短了0.25。
方法3：设拼组后的巧克力的第四行减少的高度为x，则有1：4 =x：1（形状相同的两个三角形高和底的比值相等），得到4x=1，解得x=0.25，即短了0.25。
3.链接教材，加深理解
师：方法2和方法3你看懂了吗？它们真的成比例吗？你在哪里见到过？
（出示课本上的练习题，并呈现结论“相似三角形对应底与高的比值相等”）
师：请各小组把方法2和方法3在组内说一说。
总结：通过计算发现，切割重组后的整块巧克力确实变短了，第三行的高度变成了0.75，这样就使巧克力的整个面积减少了4×0.25=1，这一小块巧克力就是这样多出来的。面对这样的“数学魔术”，当我们难以用肉眼观察区分时，数学知识就可以大显身手了。
（四）挑战魔术，运用数学规律
1.呈现新魔术
数学魔术①：
数学魔术②：找一找，少了的一块面积去哪儿了？
师：仔细观察这两个魔术，请思考你打算如何破解。
生1：找一张方格纸，按照魔术过程操作看看。
生2：其中肯定出现了细小的问题，我们可以算算比例关系。
2.探究作业：请以小组为单位，任选一个魔术进行破解，并记录你发现的数学奥秘。
【案例点评】
“因用而学”强调知识的实际运用能力，以促进学生实践能力的发展、培养学生的创新精神和理性思维为主要目标。
（一）项目设计，突破教材知识边界
教学中，作为教师，我们经常遇到学有余力的学生提出一些好问题，但受限于教学要求，我们往往只能给学生“以后我们会学习”或“课后再单独讨论”的回复，并没有顺应学生思维的发展，让他们自主展开对数学知识的进一步学习。而本课的构思正是不对数学知识设定边界，而是提供学生切实可行的探究任务，让他们自主获得解决问题所需的数学知识和方法。如此，像相似三角形这一初中才学的概念，学生也能自然接受并运用。
（二）项目实施，驱动学生持续探究
课后，学生的学习热情并没有消退，而是带着自己小组的成品或半成品继续探究与实验。更重要的是，他们能主动寻找生活中的一些“数学魔术”并尝试破解，通过观察进行魔术还原，通过分析进行魔术揭秘，最终挑战成功、破解魔术。这一过程，正是数学问题解决的一般步骤，即发现问题—分析问题—解决问题。这样的活动能激活学生已有的生活经验、数学直觉和方法策略，通过经历完整的探索过程，使学生积累并形成探究活动经验，从而逐渐逼近数学本源。
（三）项目思考，提升学生思维品质
数学研究的是现实世界中的数量关系和空间形式，魔术的本质在于其所不易为人知的奥秘。学生经历“魔术还原→魔术揭秘→魔术挑战”的过程，看似是在探究数学魔术中的奥秘在哪里，实则既研究了图形前后的变化及其奇特的构成（空间形式），又探究了图形中的比例关系（数量关系），真正抓住了数学知识的本质。正是因为这样，学生能很快地从看似不相关的魔术进入对数学知识的探究；而魔术这个载体，由于其丰富的内容和多样化的形式，促使学生自主将探究到的数学知识应用到对下一个魔术的还原与揭秘上。这样的过程，使不同学情的学生都能参与进来一起操作探究，使不同学力的学生都能合作研讨，从而使不同的学生都能得到发展，提升思维品质。