探图形之奥秘 溯几何之内涵[2]
【学习内容】
图形的奥秘
【适用年级】
五年级
【驱动问题】
在长方体上切一刀，会切得怎样的截面？
【课前思考】
学生空间观念的形成需要能掌握一些几何对象的相互转换关系，理解图形与实物、二维与三维、外部形状与内部结构、几何元素与几何图形等之间的相互关系；新加坡数学教学倡导从做中学—从观察中学—在思考中学。对于空间与图形的学习而言，实际操作、观察固然重要，但是更需要学会运用图形的特征来思考，从而让想象着地。
（一）“因用而学”：了解学情，触及空间想象的盲区
学生对于三维立体图形的切割处于怎样的认知水平？我们抽取了农村学校和城市学校各80名六年级学生，就“一个长方体，切一刀，截面会有哪些不同的形状”做了前测。对于经过旋转、对称变换后切法一致的学生作品，认为处于同一种水平，归为一类进行统计。具体统计数据如表6-5-1。
表6-5-1 “一个长方体，切一刀，截面会有哪些不同的形状”前测结果
从前测结果来看，对于长方形的三种常规切法（切法3），学生能够想象的比例最高，达到87.5%，紧接着的是利用长方体一组对角线的切割方法（切法4）；而截面是梯形（切法6）的作品占比最低，只有5.6%。学生能想象出的截面停留在三角形和四边形，而五边形、六边形是他们想象不到的。同时，笔者进行了访谈，请学生说明为什么切法3得到的是长方形截面，学生能够表述：因为截面平行于长方体的某一个面，所以是长方形。但是，对于切法4和切法5，均不能从数学的角度准确表述。可见，学生对于图形切割的想象，仅仅来源于对长方体的认识以及相关的生活经验，还未能系统地思考截面是由切割面与长方体的六个面相交而得到的。因此，利用图形的特征来展开想象是学生空间观念形成的盲区，教学应从学生原有的操作和观察入手，引导学生在思考中想象，在想象中思考。
（二）“在用中学”：设计路径，直击空间想象的核心
如果从三维与二维的关系出发，考虑切割面与长方体六个面相交的情况，研究截面的知识逻辑顺序应是三角形—四边形—五边形—六边形。而真实学情告诉我们，学生最直接、最容易想象的是长方形的截面。深入研究长方形的截面，有助于学生发现切割面与长方体各个面之间的关系；讨论截面的边有怎样的关系，角又有怎样的特点，有助于学生发现规律，从而理解二维与三维的关系，体会图形的特征能指导空间想象。虽然学生在前测中没有出现正方形截面，但经过访谈，我们发现学生能很快从长方形切法联想到正方形，认为只需要增加邻边相等的条件即可。于是，我们基于对知识逻辑顺序和学生认知规律的分析，把教学流程细化，具体如图6-5-1所示。
图6-5-1 “图形的奥秘”一课教学流程
从学生最熟悉三种切法引入，我们可以引导学生用数学的语言来表述为什么这样切得的截面是长方形、这个面与长方体有什么关系，从而为探索长方形截面的其他方法做好铺垫。接下来，围绕截面是长方形的其他切法展开学习活动，在探索的过程中，提出“截面为什么是长方形？能用数学的语言来说明吗？”引发学生思考：为什么这个切面与长方体的任何一个面都不平行，而截面却是长方形？从而使学生体会到，只要垂直于长方体的某一个面，截面的一条边就和长方体的一个面互相垂直，做到了两组对边分别平行并且邻边互相垂直，截面符合长方形的特征。通过找图形的特征来思考切法，使操作有方向，空间想象有抓手。于是，研究截面是梯形、正方形、平行四边形就水到渠成了。在此研究基础上，我们就可以引导学生发现切面与长方体六个面之间的关系，探索面面相交所形成的平面图形的 规律。
【教学目标】
1.经历“想象—操作—想象”的过程，得到长方形截面。
2.通过观察、比较、分析，找到长方体与截面之间的规律。
3.在解决问题的过程中，发展空间观念，培养合作探究能力。
【课堂实录】
（一）激发兴趣，提出猜想
师：在一个长方体上面切一刀，切出的截面会是什么形状？
生：长方形、三角形、正方形、梯形……
（二）操作观察，探索规律
1.呈现学习基础
课件出示：
师：这三种常见的切法，切出的是什么形状？为什么？
2.探索长方形截面
师：要使截面为长方形，还能怎样切呢？先想一想长方形的特征，再切一切、画一画。
方法一：
师：你是怎么切的，怎么画的？
生：沿着上面的对角线切下来，展开以后这个面就是长方形。
师：你怎么知道截面就是一个长方形？
生：上面这条是对角线，下面这条也是对角线，所以它们是互相平行的。左右两条边是长方体的两条棱，也是互相平行的。
师：两组对边互相平行只能说明它是平行四边形，还需要补充什么条件吗？
生：（指长方形的一个角）这个角是直角，所以这是一个长方形。
师：真的吗？有什么办法验证一下？（用三角板的直角比对 验证）
师：实际上，截面的这条边和底面是互相垂直的，所以这两条边是互相垂直的。（课件演示）
方法二：
师：这几种截面是长方形吗？请你介绍怎么切，怎么画。（引导学生用数学语言说明截面为什么是长方形）
生1：我是沿着前后面的对角线切的，截面的一组对边是前后面的对角线，因此它们互相平行，另一组对边是两条棱，也是互相平行的，同时相邻两边所成的角是直角，所以截面是长方形。
生2：我也是这样直直地切下去的，两组对边互相平行，而且相邻两边互相垂直，所以是长方形。
师：通过刚才同学们的展示和介绍，想一想，要切出长方形，有什么奥秘？
生1：要直直地切下去。
生2：切下去的面要和长方体的一个面垂直。
师：对，只要和长方体的一个面垂直地切，那么截面的一条边就和长方体的这个面互相垂直，截面的邻边就互相垂直。
动态演示：切割面不断地变化，但是始终与底面垂直，截面始终保持长方形。
⒊探索其他截面
（1）三角形截面
师：想一想，如果在正方体上切出这样的三角形，会是一个怎样的三角形呢？
生：一定是等边三角形。因为三条边都是正方体三个面的对角线，长度相等，符合等边三角形的特征。
（2）正方形截面
师：你们切出了正方形，是一次成功的吗？
生：我们尝试了好几次。一开始按长方形的切法，切出来的都不是正方形，所以我们调整了方法。先测量相邻两边，使邻边相等，然后在长方体上做标记，这样就能切成功了。
（3）梯形截面
师：哇！这一小组还切出了梯形，他们是怎么想的呢？
生：我们刚才切长方形的时候，是先想它的特征，那么切梯形的时候也要先想一想特征。如果直直地切下去，对边肯定相等，而梯形的上下底不相等，所以需要斜着切。
（4）平行四边形截面
师：一般平行四边形有可能切出来吗？
生1：有可能。
生2：需要考虑对边平行而且相等，一般平行四边形的四个角不是直角，所以不能直直地切。
师：大家说的都对，让我们一边想，一边切。（师生共同切）
师：根据平行四边形的特点，它的角不是直角，所以切的时候注意不要与任何一个面互相垂直，不然切出的就是长方形了。（呈现模型图）
⒋总结思考方法
师：刚才我们一起探索了图形的奥秘，是怎么思考问题的？
生：我们先想图形的特征，然后去试一试。
师：一开始我们提出猜想，想出了不同的截面，然后通过动手切、画，并用数学语言说明，验证了我们的猜想，得出了结论。这是一种很好的学习方法。
（三）思考想象，拓展规律
师：同样是切一刀，为什么有的是三角形，有的是四边形？
师：一起数一数。切出三角形，切到了一个面、两个面、三个面；切出四边形，切到了一个面……
生：原来切到三个面是三角形，切到四个面是四边形。
师：有没有可能切出五边形、六边形、七边形？
生：不可能切出七边形，因为长方体只有六个面，最多切出六边形。
师：面与面相交就产生了线，切面与长方体的六个面相交，最多产生六条线段，也就是六边形。
师：那五边形、六边形是不是真的可以切出来？
学生充满疑问。教师呈现五边形的截面。
师：五边形、六边形到底是怎么切出来的呢？又该怎样表示在图中呢？请大家课后去想一想、试一试。
【案例点评】
纵观整个探究活动，学生在操作中学、在观察中学、在思考中学，表现出了强烈的求知欲，空间想象、实际操作、数学推理能力都得到了提升。在研究长方体的切割问题中，体会图形的特征，理解点、线、面、体的有机联系，感悟几何的内涵。
（一）想象显形化，操作有实证
学生的空间想象能力与“直观”有着密切联系。布鲁纳认为，直观是指不依靠分析技巧而能理解问题与情境的意义、重要性与结构的行为。因此，当学生的空间想象出现盲点时，应通过具体的操作活动，充分发挥直接观察的作用，形成视觉结构。比如，当截面是梯形、平行四边形、五边形、六边形的时候，学生无法想象出来，就可以通过动手操作，切一切、画一画，让他们看到最真实的截面，从而形成直观模型的表征，让想象显形化。接着从模型表征走向数学化表征，也就是在长方体的图形中表示出这一个面，从而引发思考，最终实现内化与提升。
（二）想象多思辨，说理有依据
《义务教育数学课程标准（2011年版）》提出了培养空间观念的要求，“能够由几何图形联想出实物的形状，由实物的形状抽象出几何图形，进行几何体与其三视图、展开图之间的转化”。这是一个包括观察、想象、比较、综合、抽象、分析的认识客观事物的过程。因此，借助图形特征便成为完成转化的关键因素，本节课的探究活动就充分体现了这一点。学生在实践中，边思考图形特征边想象，当截面是一个正方形，思考正方形与长方形有怎样的关系；当截面是一个梯形，考虑上下底不相等；当截面是一个平行四边形，思考边角又有怎样的特征。在教师的引导下，学生依据图形特征不断思考，不断尝试，充分想象，探索规律，发现奥秘。
（三）想象重本质，联系有沟通
学生学习图形与几何领域的知识，一定是围绕着点、线、面、体这些几何要素而展开。通过对“在一个长方体上切一刀，切出的截面会是什么形状”的深度探索，引领学生深刻体会点、线、面、体之间的内在联系。一个立体图形与一个平面相交，面与面相交产生了线，线又围成了各种不同形状的平面图形。当然，还可以切出一个点来，只要使切面与长方体的一个顶点相切。当学生理解了几何要素间的关联后，便学会了主动思考，长方体的六个面是不变的，而另一个平面（切面）则在不断的变化之中，切面与长方体的几个面相交，截面便是几边形。在变与不变中，学生对空间与图形问题的思考不断走向深入。
培养空间观念是小学图形与几何领域的一个重要学习任务，但不同学生的空间观念水平是有差异的。因此，在学习活动中，要充分利用实物或者模型的直观、图形的初步抽象、简单的推理说明，让学生完整经历视觉—构造—推理的认知过程，从而跨越空间想象的盲区。