三、函数思想
（一）对函数思想的认识
函数是初等代数中的重点知识，能够反映现实中的各种数量关系。假设A、B是两个非空的实数集，存在某种对应关系f，集合A中的任意一个数x，在集合B中都存在一个数y与之对应，就称y是x的函数，记为“y= f （x）”。其中，x为自变量，x的取值范围A视为函数的定义域，y叫作因变量或函数值，函数值的集合
叫作函数的值域。
在初等函数中，总会存在与自变量x相对应的函数值y，函数值随着自变量的变化而变化，包括正比例函数、反比例函数、二次函数等。初等函数的核心思想在于已知自变量，能够根据对应关系求出因变量，从而构建函数模型，体现的是一定运动的观点。
（二）函数与方程的关系
1.函数与方程的区别
随着数学知识的深入学习，我们能够发现代数的发展经历了一个由算术到方程再到函数的变化过程。算术，分析的是具体的常数及其之间的数量关系；方程，分析的是常数与变量之间的数量关系；函数，分析的是变量与变量之间的数量关系。
方程中的未知数一般是常量，函数中的未知数则一定是变量，二者有着根本的区别。方程一定是借助等式的形式出现；函数则根据一定的对应法则来分析两个变量之间的关系，存在解析式、图像法和列表法等多种表现形式。
我们在解决数学问题时，在未知数中找出数量的等量关系，构建方程模型来求解，方程中的未知数是固定的；可根据变量之间的对应关系，构建函数模型并研究其性质，函数中的未知数是变化的。
2.函数与方程的联系
函数和方程都属于代数的范畴。比如二元一次方程ax+by+c=0与一次函数y=kx+b，当方程的解在实数范围内，函数的定义域和值域都为实数时，二元一次方程能够转化为
，二者在直角坐标系表示的都是一条直线。由此可见，二元一次方程对应一个一次函数。当函数y=kx+b的函数值为0，一次函数就转化为一元一次方程，就是求该方程的解，也是求函数值为0的自变量的值，或者说一次函数图像与x轴交点的横坐标的值。从这个角度来看，函数和方程存在密切的联系，二者都可用于解决实际教学问题。
（三）函数思想的应用
在小学数学阶段并未涉及函数的概念，但在一些知识点中或多或少渗透了函数的思想，函数思想在小学数学领域的应用如表4-13所示。
表4-13 函数思想在小学数学教学中的应用
续表
（四）函数思想的教学
借助函数思想表示变量之间的关系和变化规律，能帮助学生理解函数的实际应用价值，锻炼其函数思维，函数的数学教学需要注意以下几点。
（1）正、反比例函数中的x、y表示变量，两个变量之间存在一定的对应关系，一个变量的变化也会引起另一个变量的变化。
（2）教师应通过具体情境加深学生对正、反比例变量的认识，从而运用到生活问题中，解决实际的难题。
（3）根据给定的正、反比例关系，能够借助图像的形式表示出来，直观反映两个变量之间的对应关系。