插上想象的翅膀，架构三维与二维的桥梁——以“长方体与正方体的展开图”为例
“空间观念”对于创新思维的重要性不言而喻，也是教学部门着重强调的一大核心词汇。帮助学生养成基础的空间观念是小学数学教学所应肩负的一项重要责任。基于此，此处以“长方体与正方体的展开图”为例展开对学生空间观念培养的研究。该部分教学内容涵盖了立体图形、平面图形的相关概念，并将两者有机地结合起来，引导学生在脑海中进行展开→折叠→展开的想象，积累想象、推理以及验证的思维经验，发展空间观念，使他们了解立体图形表面积的相关知识，为后续表面积计算做好铺垫。空间观念的形成并非易事，需要经过长期的想象积累，因而在课堂之中教师应引导学生仔细观察立体图→平面图→立体图之间的相互变化流程，从中找到相关规律与特点，逐步构建空间观念，养成较强的空间想象力。在具体的数学实践中，教师应当从操作与想象两个维度培养学生的空间观念，帮助其形成系统化的立体图形知识体系。
（一）磨课要点
1.知识起点
学生对长方体、正方体有了一定认识，能够根据其特征（正方体的上、下，左、右，前、后六面完全一致，而长方体相对面一致）快速判断出哪一个图形是长方体，哪一个是正方体。在日常生活中，有很多物体都是典型的立方体原型，如粉笔盒、纸箱、魔方、方糖、块状巧克力等，学生在与之频繁的接触中已对空间几何有了一定的概念，但尚未形成体系化的空间想象力。因此，教师需要借助实际操作与想象作为学习辅助，帮助学生强化对空间位置、空间结构的认识和理解，构建初步的空间观念。
2.目标达成
借助多种长方体、正方体的展开图使学生熟悉这两者的特点，再进行针对性的展开、折叠活动，实现二维与三维之间的转换，培养学生的想象能力，发展学生的空间观念。
3.过程与方法
在课堂中为学生留足自我发挥的空间，引导其完成猜想、实操、验证等流程，借助这一过程发展学生的空间观念和想象力。
（二）教学实例1
1.教学过程
本课的教学重点是让学生知道以不同的方式展开正方体，所得到的平面展开图并不相同。
（1）激趣引入
教师通过动画演示四面体、八面体、十二面体等展开图引入课题，让学生理解展开图的概念。
（2）新课教学
①自主探究一：发现正方体三维图与二维展开图之间的关系。
1）引发猜想，唤起思考：正方体展开后会得到什么形状的图形？
2）学生动手操作，初步探究。
活动一：将正方体磁力片按任意方式沿棱展开，你能得到哪些不同的展开图？
3）讨论发现正方体展开图的规律。
a.发现最长列为4个正方形的正方体展开图的规律：当展开图中最长的一列有4个正方形时，意味着另外还剩下几个正方形？剩下的正方形应该放在哪里？
b.发现最长列为3个正方形的正方体展开图的规律：如果最长的一列上有3个正方形，那么还剩下几个正方形？剩下的正方形该如何摆放？
c.发现最长列为2个正方形的正方体展开图的规律。
4）归纳与小结。
②自主探究活动二：请仔细观察图6-3所示的图形（1）～（6），你认为哪些沿线对折后可以构成一个正方体？
图6-3 平面图形
③自主探究活动三：请仔细观察图6-4中所示的图形（A）～（G），并回答下列问题。
1）哪些图形沿线折叠后能围成长方体？请尝试着在脑海中演练围的整个过程。
2）哪些图形不能围成长方体？说明理由。
3）从以下图形中你发现了什么规律？请举例说明。
图6-4 平面图形
2.后测
经过这次磨课，我发现学生对正方体的操作与折叠活动有着较高的热情，他们愿意花时间动脑、动手，也时常会与其他同学探讨，以分享、交流经验与心得。但这其中有的学生表现好，有的学生表现欠佳，为进一步了解他们的实际学习情况，课后我组织了一次后测。
（1）后测题
请观察图6-5，假若以灰色面作为底面，请在图中标出其他各面分别为长（正）方体的哪个面。
图6-5 平面图形
（2）后测结果（见表6-8）
表6-8 五年（X）班后测结果（共48人）
3.教后反思
通过后测结果可以清楚地看到本课教学的效果并不理想，学生的空间想象力并没有出现明显变化，如此一来，势必无法为后续课程的开展奠定良好的基础。所以，我需要重新进行教学设计，将教学重心确定为引导学生理解立体图与展开平面图中各要素之间的对应关系。具体见下述教学实例2。
（三）教学实例2
1.教学过程
本课的教学重点为引导学生观察相对的面在不同展开图上的分布情况，发现其中的规律。
（1）激趣引入
教师通过动画演示四面体、八面体、十二面体等展开图引入课题，让学生理解展开图的概念。
（2）新课教学
①探究长方体展开图与长方体的关系。
1）简单回忆知识点。
师：经过一段时间的学习，相信大部分同学已对长方体和正方体形成了一定认识，请说一说它们各自有什么特点。
生：长方体和正方体均有6个面，分别是上、下（底），左、右，前、后六个面，长方体相对的面相同，而正方体的6个面均相同。
2）有序操作，观察思考（以小组为单位展开活动）。
师：长方体沿着棱展开后会是什么形状？请同学们在脑海中想象，然后把所想的样式在方格纸上画出来，再将其剪开试着折叠，验证展开的实际图形与你想象中的图形是否相同。
生动手操作后，上台展示不同的展开图（每小组各选一名代表上台展示，并进行简单的学习总结）。
3）将展开图还原成长方体。
师：请仔细回想上步操作中的展开过程，你能凭着想象把每个长方形分别在原长方体的那个面上标注出来吗？
生标注后，师组织汇报交流，并借助投影让学生把展开图还原成长方体，验证自己的猜想。
4）观察归纳。
师：请观察这些展开图，说说你有什么发现。
生：相对的面间隔着，相对的面不相邻。
师：继续观察，每条边是原来长方体的哪条棱？
②深入探究，逐步建构，探究正方体三维图与二维展开图之间的关系。
1）初步感知：出示课件图（见图6-6，请学生判断它是不是正方体的展开图。指定其中一个面为后面，让学生找到其他相对的面。
2）再次感知：再出示两幅图（见图6-7、6-8），让学生判断它是不是正方体的展开图。指定后面之后，请学生想象另外几个正方形是原来正方体的哪个面。
图6-6 展开图（1）
图6-7 展开图（2）
图6-8 展开图（3）
3）观察归纳。
师：请认真观察刚才所出示的三幅展开图，找一找它们除了都是由6个相同的正方形组成之外，是否还存在其他共同特点。
生：课件所出示的三幅正方体展开图中，每一幅图都有上、中、下三层，中间层有四个正方形（为前、后、左、右四个侧面），而上、下层各有一个正方形（为上面、下面），但其中的正方形位置不相同。
师根据学生的回答，引申出“141型”这一概念，并鼓励学生继续思考，得出其他种类的“141型”展开图。
③研究其他类型展开图。
师：正方体展开图还有其他的形状吗？请在脑海中想象，并借助方格纸画出来，然后进行折叠验证。（安排学生以小组的形式进行探讨）
学生与组内成员共同探讨，并进行实操验证。教师根据小组讨论结果，得出“132型”（中间三个正方形为侧面）“222型”“33型”展开图概念，并将其用课件图分类出示。
2.后测
（1）后测题
请观察图6-9，假若以灰色面作为底面，请在图中标出其他各面分别为长（正）方体的哪个面。
图6-9 平面图形
（2）后测结果（见表6-9）。
表6-9 五年（X）班后测结果（共48人）
3.教后反思
借助首次教学实例的经验教训，我在第二次教学实例中更为关注学生对长方体展开图的认知情况。在教学过程中，我安排学生分组完成长方体的展开活动，但在活动中我发现有的学生动作很快，在脑海中想象一会儿后就可以将展开图形画出来，并将其剪下进行折叠，有些学生一直在涂涂改改，花费了较长时间也没有完成任务。为节省教学时间，我在2组学生完成任务后就宣告探讨暂停。这就造成部分学生因害怕出错而不敢上台汇报，部分学生由于未完成任务，因而在聆听同学汇报时跟不上节奏，此外，有的小组陈述出现错误，也鲜少有同学能够提出质疑与纠正。由此可知，在长方体展开图的相关活动过程中，学生的动手能力、想象力未得到充分发挥，这也影响了后续对正方体展开图的探究。由于很多小组在探究时缺乏热情，不愿意深想，因而得出的展开图种类十分有限，大多小组只得到一种或两种展开图。如此一来，学生的空间观念构建就产生了一定困难。
对比前后两次的后测结果，可知学生的空间想象力有所改善，但仍旧没有获得理想的学习效果，他们并未形成较强的空间观念。我校教学组对此进行了探讨，各成员一致认为，授课者在本课教学中给予学生的发挥空间太小，没有给予他们充足的时间用于操作和想象，因而不利于他们了解长（正）方体与其展开图形的各要素之间的关系，更谈不上引导他们探寻展开图的规律。基于此，我再一次对教学设计进行调整，也调整了教学目标和教学重点。
（四）教学实例3
相较于教学实例1、教学实例2，本次教学活动的教学目标、教学重点以及教学难点都有所调整，具体见表6-10。
表6-10 教学目标、重点以及难点
续表
1.教学过程
（1）探究长方体展开图与长方体的关系
①复习长方体的面与棱的相关知识，大胆猜测将长方体沿着棱展开后得到的图形是什么样的。
②动手操作，对想法进行验证。
1）具体的操作流程：首先，动手剪一剪，把长方体展开；其次，标一标，标出展开后的每个面分别是原来长方体的哪个面。最后，找一找，展开后的图形中每个面的长、宽分别与原来长方体的长、宽、高有什么关系。
2）教师巡视，从各小组的展示图中找出不同的种类（见图6-10、图6-11、图6-12），将其拍照整理，以文件形式呈现在屏幕上，然后邀请对应的小组代表上台汇报。
图6-10 展开图（1）
图6-11 展开图（2）
图6-12 展开图（3）
3）小组代表汇报完毕后，其他同学提出自己的疑问，再由台上学生进行解答、验证，让学生在互动中碰撞出思维火花，学会从不同角度理解长方体以及其展开图中各要素之间的关系，从而构建起空间观念。
4）观察总结：仔细观察图6-10～图6-12所示的3种展开图，你能发现长方体展开后各个面之间的位置关系吗？
生：长方体展开后，它的左面和右面是隔开的，上面与下面相同，均没有相连。
（2）深入探究，逐步建构，探究正方体三维图与二维展开图的关系
①研究“141型”展开图。
1）把长方体展开图研究的经验迁移至正方体：既然长方体展开图有不同形式，那么正方体的展开图是不是也有很多种形式？请试着想象正方体的展开图是什么样的。
2）学生想象，并将猜想的结果画在方格纸上，然后动手逐一验证自己的猜想。
3）教师下台巡视，从小组中收集几种不同的展开图，并鼓励学生对其进行分类以及分别取名。
②深入理解。
1）请学生思考：为什么这些“141型”的展开图都能围成正方体呢？
2）请学生上讲台边演示边说理。“141型”中间是四个正方形，正好围成正方体的侧面，上面和下面的两个正方形不管连在侧面的哪一个面上，都能成为正方体的上下面。
3）有的学生发现了一些不是“141”的情况（课件出示），将它们折叠起来同样能够形成一个正方体，你知道这是为什么吗？这一问题留作课后作业，请学生动手操作来验证。
2.后测
课后再次对班上学生进行了后测。结果见表6-11所示。
表6-11 五年（X）班后测结果（共48人）
3.教后反思
根据前后三次教学活动的开展，不难发现学生空间想象力的培养有赖于实操体验，只有亲身经历，在学中想象，在想象后动手验证，在验证中思考，才能使学生逐步形成空间思维。可见，教师应当在教学中发挥各种学习工具以及合作学习的优势，让学生在亲自操作中认识并熟悉长（正）方体与其展开图在面的相对空间位置、棱的相对空间位置的联系。此外，教师在活动中应注意引导学生学会化“体”为“面”，化“面”为“体”，实现三维空间与二维空间的相互转换，并让学生在展开图中识别各个面分别对应的是长（正）方体的哪一个面（需用笔标注好）。标注好后，学生应当将展开图还原成长（正）方体，以亲自验证自己的推理是否准确。通过这一“分”与“合”的过程，学生可以深刻体会面与面之间的关系。当学生对面有了一定的掌握后，教师就可以进一步引导他们探究棱与棱之间的关系，一方面明确每个面的长和宽分别是多少，另一方面也要让其熟知面中的棱与长（正）方体中各条棱的对应关系。以上教学可以有效提升学生的空间想象力，帮助其构建起空间观念。
（五）课例思考策略分析
1.操作、观察为学生发展空间观念提供保证
著名儿童心理学家让·皮亚杰曾说，空间观念的形成并非拍照，拍照可以即拍即成，而空间观念的形成需要有实际操作的过程作为支撑。而这一过程不仅要动手，更要动脑，即大胆想象、积极思考、不懈尝试、认真推理以及耐心验证。譬如，在学习长方体展开图时，教师应首先鼓励学生想象它的展开图将是什么样的，并将之画出来，然后引导他们积极动手验证，接着又以此为基础鼓励他们想象将平面图折叠起来后的图形样式，安排他们推理并标注出展开图中的面与棱分别对应的是长方体中的哪一面、哪条棱，标好后再一次动手验证。经过“想象—操作—验证”的过程，学生逐渐熟悉了三维空间与二维空间的互相转换，在以直观方式展现空间推理过程时，学生的空间观念、逻辑推理能力均得到了锻炼与提升。
2.思考、想象为学生发展空间观念插上翅膀
若将观察、操作视作学生构建空间观念的基础，那么思考、想象则是发展这一观念的必由之路，因为只有当表象成为推理和判断的基本元素时，学生脑海中的表象才具有价值。因此，在教学实践中，教师应当着重引导学生对长方体的展开图、折叠图的样式和种类进行思考和想象，然后通过动手操作，推理、验证自身的各种想法，熟悉展开图与立体图之间的相互关系。这种积极的思维活动有助于学生实现面与体的灵活转换，其空间观念也将得到显著提升。
3.几何直观为学生发展空间观念夯实基础
想象是形成空间观念的一大核心要素，而发展初步的空间想象力必须依靠几何直观。几何直观对学生图形表象的形成有着重要作用，是必不可少的“桥梁”。因此，在教学过程中，教师应注重以直观图形来组织各类教学活动，让学生的所思、所想围绕直观图形展开，持续整合脑海中的图形表象，以此加强他们对表象知识的发散与迁移能力。如鼓励学生思考为什么“141型”展开图都可以围成正方体，以此加深他们对这一类展开图的理解和记忆，使学生头脑中的表象变得鲜活。而这也正是空间观念转向高阶水平的必由之路。