小学数学认知结构与学习迁移
学生原有的知识状况是有意义学习的一个重要内容因素，美国教育心理学家奥苏伯尔在《教育心理学》一书的扉页中指出：“如果我们不得不将教育心理学还原为一条原理的话，我将会说，影响学习的最重要因素是学生已经知道了什么，我们应当根据学生原有的知识状况进行教学”。用现代认知心理学的语言来说，学生原有的知识状况就是学生已有的认知结构；而原有的学习对新的学习的影响，就是学习的迁移。正是由于认知结构与学习迁移之间的内在联系，要研究小学数学的学习迁移，首先必须搞清小学生的数学认知结构。
（一）小学数学认知结构
1.数学认知结构的含义
认知结构就是学生头脑内部的知识结构，广义上指个人全部知识的内容和组织。就数学学习来说，数学认知结构就是数学知识在学生头脑里按照自己理解的深度、广度，比结合个人感知、记忆、思维、联想的特点组合的心理结构。
关于数学认知结构，我们可从以下三方面加以理解。
首先，数学认知结构是数学学科本身的知识结构与学生个人认知因素结构相互作用的产物，即它是由数学新知识与学生已有知识、经验按照自己的认知水平、认知方式重新组合而成的。所以，当我们使用数学认知结构这一术语时，通常既指学生头脑中的数学知识内容及其组织，也包括学生获得他们的认知方式。
其次，数学认知结构具有个性特点。例如，在知识总量大体相当的情况下，有的学生习惯于相关知识的纵向串联；有的学生则偏重于横向沟通；有的学生不仅理解较深刻，而且组织得也很有条理，便于检索；有的学生不仅理解较肤浅，而且组织得杂乱无章，难以提取。
最后，数学认知结构是在数学学习活动中形成并发展起来的。原有的认知结构在对新学习中的新信息进行处理、加工的同时，也使原有的认知结构得到分化或改组，并逐步趋于完善。
2.小学生数学认知结构的特点
受心理发展年龄阶段性的制约，小学生的数学认知结构又有自身的特点。
首先，小学生数学认知结构中，数学概念、数学原理的抽象概括水平往往较低，因而运用一般概念、基本原理于特殊事例的派生类属学习能力较弱。例如，将整数除法的计算法则运用于商中间、末尾有0等特殊情况时，小学生很容易出错，需要教师的具体指导。
其次，小学生数学认知结构中包括较多的日常概念与生活经验，对于数学学习有积极的影响和消极的干扰。例如，利用球可以向四面八方滚动的生活经验，可以帮助学生初步认识圆形与球体的区别。而日常生活中有关“底”和“高”的观念却很容易干扰学生对某些图形的底和高的识别。
再次，小学生数学认知结构中的知识往往缺乏纵横联系。他们常常不知道许多表面上不同的术语实际上代表着事物相同的本质属性，影响了理解的深度，也容易导致机械学习、机械识记。例如，甲数能被乙数整除、甲数是乙数的倍数、乙数是甲数的约数等，反映了甲、乙两数间的同一种关系。看不到这种联系，就只能孤立地去记忆三个概念的条文。
最后，小学生数学认知结构具有较大的可塑性，随着年级的升高和有效学习的积累，他们的数学认知结构会有较大的发展和完善。
（二）数学学习迁移
1.迁移理论的概述
迁移作为一种基本的学习现象或人类认知的普遍特征，在教育领域常被称为“学习迁移”。近年来，人们对迁移的研究产生了强烈的兴趣并为相关教育实践提供有效的原理与可行的途径。下面，笔者将对迁移做概略介绍与分析，其中涉及迁移的含义与分类、迁移的各种学说及评析、数学学习中的迁移、影响数学学习迁移的主要因素。
（1）迁移
迁移是一种长期受人们关注的心理现象，研究者对于迁移的定义理解与概括也各有不同。下面是一些关于迁移的定义。
◆学习迁移是在一种情境中习得的知识与技能应用于另一情境。无论何时，只要先前习得的知识和技能影响了新知识和技能的习得与执行方式，学习迁移就发生了。
◆迁移是前一项任务表现影响第二项任务（迁移任务）表现的程度，而第二项任务在相似性上与第一项任务有所不同。
◆迁移意味着在一个足够新颖的背景中应用旧知识，且这个新背景也需要学习新知识。
◆迁移是在一种背景中或为某一目的习得的知识应用（使用）到另一不同的背景或目的中。
◆迁移即早先的学习影响新的学习或表现。
◆迁移即一种学习对另一种学习的影响。
◆迁移是已获得的知识、技能与动机在新的情境（context）和学习任务中广泛的、创造性的、支持性的使用。
针对小学生的智力水平、年龄特点、学习兴趣，迁移是指学生将自己的知识、技能与动机应用到新的情境和学习任务。
首先，迁移的主体是学生，但学生的迁移能力各不相同，主要取决于他们的经验和已有的知识水平，同时也和学生的智力、学习动机、情感、态度、信念等因素有关。所以从这个角度讲，迁移是学生的一种能力。其次，迁移不是对已有知识的原样提取，还包含获得新知的过程。最后，迁移涉及两种情境，即学习情境和迁移情境。例如，教师提供的教学环境和支持、其他学生的行为以及这些背景的标准和期望等。对迁移的完整界定必须具备学生、任务和情境这三大要素。
（2）迁移的分类
迁移的分类体现了研究者对迁移现象的理解深度与研究视角的差异。迄今，已有众多研究者对迁移的种类进行了有意义的划分。从迁移的影响方向来分，迁移可以分成顺向迁移和逆向迁移；从迁移的结果进行分类，迁移可以分成正迁移和负迁移；从迁移发生的水平来看，迁移可以分为近迁移和远迁移。
第一，顺向迁移和逆向迁。顺向迁移是指先前的学习对后来的学习产生的影响。例如，当学生面临一个新的问题情境的时候，他能积极思考问题并运用所学知识和技能来解决问题，这种迁移就是顺向迁移。逆向迁移是指后来的学习对先前的学习产生的影响。例如，在学生学习完分数的有关知识后，通过迁移来理解整数就更加容易。当分母为1时，这个分数就可以写成整数。
第二，正迁移和负迁移。正迁移即一种学习对另一种学习有促进作用，包括一种学习使学生在另一种学习中具有良好的心里准备状态，或使另一种学习活动所需时间或练习的次数减少，或者已经具有的知识经验使学生解决了所面临的问题等。正迁移又分为横向迁移和竖向迁移两种。
负迁移是指一种学习形成的心理状态，如反应定式等对另一种学习的效率或准确性产生消极的影响，或一种学习使另一种学习所需的学习时间或练习次数的增加，或阻碍另一种学习的顺利进行。这种迁移的现象既表现在不同学科之间，如学习语文有利于学习历史或外语，学习数学有助于学习物理或化学；也表现在同一学科的不同方面之间，如学生打好了数学知识技能的基础，就有利于掌握代数、几何。各种技能之间也是有迁移现象的。负迁移表现在学生新旧概念互相混淆，因而产生干扰现象，经过训练、练习是能够克服的。
第三，远迁移和近迁移。近迁移是指已经习得的知识在与原先学习情境相似的情境中的应用，特点是新旧问题的表面特征相似，共同要素较多，应用的情境也相似。远迁移是指已经习得的知识在新的不相似情境中的应用，特点是新旧问题的表面特征明显不同，但深层结构有关联性，所处环境也会发生变化。
2.影响数学学习迁移的因素
数学学科是统一的整体，数学学习是连续且不断创新的过程，这种新旧学习的相互影响称为学习的迁移。影响数学学习迁移的因素是由诸多方面决定的，概括起来可以分为内部因素和外部因素。
（1）影响数学学习迁移的内部因素
第一，数学对象的概括能力。一般来说，对数学对象的概括可以分为三种情形。其一，学生学习了一般规则，然后应用这个规则去学习一个新的规则或解决一个具体的问题，而这个新的规则或具体的问题是这个规则的特例。其二，学生学习了一条规则的一些特例，然后再去学习这条规则或解决比特例更一般的问题，此时先后两种学习的共同原理即后面学习的规则。其三，学生学习了一个规则，在学习的另一个规则或在解决问题时要用到前一个规则，但前后两个规则没有包含关系，即前后两个规则不存在强、弱抽象关系，而前后两个规则存在一个共同原理包容它们。能否通过概括实现迁移，关键是学生是否具备较高的概括水平。所以，教师在平时的教学中要坚持、有目的地对学生进行概括能力方面的引导及训练。
第二，数学认知结构。所谓数学认知结构，就是学生头脑里的数学知识按照自己的理解深度、广度，结合自己的感觉、知觉、记忆、思维、联想等认知特点，组成一个具有内部规律的整体结构。数学认知结构是数学知识的逻辑结构与学生的心理结构相互作用和协调发展的结果。数学学习的过程是新的学习内容与学生原有的数学认知结构相互作用，形成新的数学认知结构的过程。数学认知结构的好坏直接影响迁移的产生与发展，即认知结构是影响迁移的一个重要因素。
第三，模式识别。模式识别是一种知觉过程。模式识别是知识迁移的前提，迁移是指对模式的迁移。因此，模式识别是能否产生迁移的先决条件。关于模式识别对迁移的影响，人们研究较多的在问题解决领域。采用变式教学、建立训练、数形结合方法可以提高学生的模式识别能力。
第四，自我监控。近年来，越来越多的研究发现元认知与迁移的关系。研究表明，学生的元认知技能越好，在面对新的问题情境的时候越能自己调节思维，会主动寻找共同要素，对当前的知识进行建构，形成一定的组织，运用已有的经验对新的问题进行分析概括，寻求解决问题的能力。
第五，非认知因素。非认知因素对学习迁移有促进和抑止作用。如果学生有良好的学习动机、强烈的学习愿望、刻苦钻研的学习毅力、不折不挠的学习方向，这些都会为学习提供足够的营养，为学习迁移的产生营造一种温和的内部环境。
（2）影响数学学习迁移的外部因素
第一，学习材料的特征。先后学习材料之间具有共同的要素或成分，对于数学学习，先后的学习材料之间存在的逻辑关系是非常重要的，清楚、层次清晰的学习材料有助于学习迁移的产生。
第二，教学环境。由教师、学校、学生三位一体建构的教学环境，是数学学习迁移的另一种外部因素。教师的教学观念以及方式、方法、评价机制都会对学生的学习产生不同的情感体验。通过教学环境的改进与设计，让学生在一种民主、放松、乐学的学习氛围中学习知识，会使学习的知识本身以及迁移产生良好而持续的影响。
3.小学数学迁移能力培养的途径与方法
学习迁移能力是将所学知识应用到新的情境、解决新问题时体现出的一种素质和能力。形成良好的学习迁移能力可以构建良好、完善的认知结构，提高解决问题的灵活性和有效性。徐艳斌认为，数学有效教学的重要指标是学生的数学学习能否从一个问题迁移到另一个问题，从一个情境迁移到另一个情境，从学校课堂迁移到社会生活。在数学教学中，如果教师能有效利用这种迁移的规律，注意发挥学习中正迁移的作用，不但有利于巩固已学得的知识、技能和概念，还有利于培养学生举一反三、触类旁通的学习能力。但是，迁移不是自动的，所学的知识、技能和概念本身并不能保证学生在任何时候、任何地方都能得到正向迁移。因此，教师在教学过程中要讲究正确的方法，科学运用学习的迁移规律，促进学习迁移能力的发展。
（1）优化教学内容、改进教学方法，提高学生的迁移意识
第一，创设有意义的问题情境，激发迁移的产生。现今人们逐渐重视情境在迁移中的作用。以Greeno为代表，强调迁移的情境性，并提出了迁移的情境性理论，还探讨了课堂情境对迁移的影响。所有的学习行为都是在一定的背景环境下发生的，研究相同情境中不同因素的影响和不同情境中相同因素的影响对教师在教学过程中创设有利于迁移的情境，控制影响迁移的因素，提高迁移的效果有积极意义。因而，教师在教学中要积极创设情境，激发学生学习兴趣，充分发挥学生的主观能动性，使他们在独立思考中积极主动地获得知识，增强他们的自信心，对知识的应用迁移处于积极准备状态，为迁移的发生创造良好的内部条件。在这种良好的心理状态下，迁移更易发生。
第二，处理新旧知识间的联系，引导学生迁移。学习的迁移是已有经验的具体化或新、旧经验的协调过程，而内化及协调的基础是新旧知识经验间的共同要素及联系。从宏观上看，知识是一种经验系统，系统中的各种经验是相互依存的，先学的经验为后学的经验做准备，后学的经验则在新的水平上使先学经验不断改善、充实。这些经验相辅相成，相互促进，使知识经验逐步形成一种符合客观规律的科学体系。这种体系中的知识联系越紧密，结构越合理，越有利于学生适应新的情境和解决现实中的问题。从微观上看，学习的迁移都要通过对新旧学习中的经验进行分析、抽象，概括共同的经验成分才能实现。已有经验是否具有用来同化新知识的适当观念以及学生能否分辨新旧经验间的异同，是制约学习迁移范围大小和效率的重要条件。可见，新、旧知识经验之间的联系及共同要素是影响学习迁移的基本条件。
迁移理论认为，学生掌握的基础知识越扎实，理解越深刻，对新问题的适应性就越强，越容易引起广泛的迁移，越容易促进对新知识的理解和掌握。因此，教师要重视原有基础知识的教学，夯实基础，并促使学生在原有知识与新知识之间建立有效联系，以揭示教学内容的内在联系，突出新旧知识的共同因素，促进正迁移的实现。
教师要加强基础知识教学，如加减法运算，当学生掌握了整数的加、减要“数位对齐，满十进一，借一当十”的运算法则以后，那么，学习小数加减法时，为什么要“小数点对齐”，就会顺利地完成知识的迁移。当学生掌握了整数和小数加减法的本质是“相同的数位相加减”，在学习分数加减法时，就会明白无论是“先通分，分子相加减做分子，分母不变”，还是“相同的单位相加减”，其本质是不变的。所谓新知识的“新”，离不开旧知识的“旧”，如果能抓住新、旧知识的内在联系，就不会觉得新知识新、新知识难。如果学生对旧知识的掌握不深刻，就会觉得新知识难。在学习新知的时候，知识也很难进行迁移。
（2）构建数学认知结构，促进学生的知识迁移
第一，采用变式练习，提高知识迁移能力。“变式”是将问题变换样式，“变式”的目的是转换问题的呈现情境和样式，使其与学生已有的认知结构相接近。研究表明，“变式”与原有的认知结构越接近，就越有利于知识的迁移和运用。如果变换的问题样式和情境无法被纳入认知结构或原有的认知结构，无法同化这个问题，教师就得对这个问题进行再处理，变换或尝试与另一认知结构对接，形成从不同角度分析、解决问题的意识和能力。
第二，提高对知识的概括水平，促进学习迁移。心理学实验和教学实践表明，学生的概括水平是影响迁移的重要因素之一。已有认知结构的概括水平越高，思维就越活跃，越能更好地理解、掌握某些抽象的新知识，越能揭示没有认知的某些同类新事物的实质，并把新知识纳入已有的认知结构，从而形成更为良好的认知结构，也就产生更好的迁移效果。正是由于这种对知识的概括、综合，才能产生思维的迁移，提高数学的学习能力。
（3）培养学生坚强的品质，帮助学生迁移
在小学数学的学习中，学生面对新的问题的时候，大都会产生畏惧的情绪，从而导致错误的发生。学生在不断学习、不断总结、不断练习的过程中，最终形成了技能，达到了对知识的理解。教师往往看重的是学生的学习成绩以及对问题的解决情况，这恰恰影响了学生对知识的理解以及迁移能力的发展。
在数学的学习中，情感态度与价值观越来越被教师重视，教师更关注学生能力的培养和情感的获得。培养学生坚强的品质和不畏困难的精神，在面对新问题的时候，学生才能勇于探索，寻求办法，联想旧知，为解决新问题找方法找出路；才更容易在学习过程中连续地学习、不断地创新，实现对知识的迁移。
（4）提供良好的学习氛围，影响迁移
社会环境也是影响迁移的外部因素。由于迁移是一种心理现象，每个学生都是独立的个体，学生学习知识时所处的学习环境和学生对教师与其他学生的态度都影响学习迁移的产生。如果学生在一种轻松、愉悦、和谐的学习环境中有积极的情感体验，和教师建立了融洽的关系，与同学有着友好的合作状态，这将对他的学习和迁移有良好的影响；反之，如果学生在一种紧张、恐惧、不利于数学思维形成的学习氛围中，将会抑制迁移的产生。要帮助学生实现知识的迁移，教师应该做到以下三点。
第一，转变教学观念，创设温馨学习环境。课堂教学是培养学生迁移能力的主渠道，教师只有确立学生是学习活动主体的学生观，树立教师是学生学习的组织者和引导者的教师观，变讲课为学生的探索与研究，让学生感觉自己才是课堂的主人，创设温馨的课堂氛围，学生才会敞开心扉，积极探索，学生的迁移能力才能被激发出来。
第二，提倡合作学习，激发学习兴趣。课堂的精彩并非是教师和一个学生的精彩，而是学生间思维的碰撞、交流的深广。在教学中，要激发学生学习数学的兴趣，培养他们探索知识的能力，需要一个有序并合理的教学氛围。在课堂教学中，教师多给学生创设合作学习的机会与氛围，让学生大胆猜想，通过合作学习与交流，学生的主动自觉学习，并利用合作者的智慧引发探究来激发迁移的实现。
第三，师生间情感迁移也会激发学习知识的迁移。课堂教学的效果与学生的心理状态有很大关系。在课堂中，学生的情感体现、好的情绪的持续都将影响学习知识的能力。在特殊的情境中，学生的情感得以共鸣升华，可以大大激发他们对学习的欲望与探究。教师的语言暗示、适时的指导、恰当的评价、即时的鼓励、教师的情感流露都会通过情感的渠道进行转移与提示，也可影响学生对后续学习的方法、方式的改变。这种情感间的迁移也会促进知识的迁移的产生。