想象力培养数学教学案例
马克·菲特把想象力看作是一种贯穿在各种理解过程中的连续的“基础性能力”，它有助于我们去把握客观规律的隐含形式和未被意识到的可能性。在积极应对人类所面对的持续而重大的挑战过程中，我们的基础性想象力已经获得重大发展，人类文化也早已学会通过语言和行为的多元化来训练和塑造这些能力。想象力不仅有助于我们把握世界的规律，而且，它的最大优势还在于能够帮助我们去处理那些不可预期的、迅速变化的、陌生的问题和情境。马克·菲特把基础性的想象力概括为八种基本能力：掌握规律，捕捉细节，洞悉构成，洞察可能性，抓住矛盾，理解指数，把握整体，悦纳冲突。
数学课程内容分为四个部分：“数与代数”“图形与几何”“统计与概率”“综合与实践”。提升学生的想象力，我们的着力点在学习方法的变革上，而学习方法变革的主要阵地在课堂。
（一）数与代数
“数与代数”这部分内容包括数的认识、数的运算、常见的量、式与方程、正比例与反比例、探索规律，这部分内容主要让学生经历数与代数的抽象思考、运算与建模等过程，数感、符号意识的建立、几何直观与运算能力的形成都需要想象力的伴随。数的认识，由具体的物抽象成自然数，再由抽象的数联想到具体的物，这也是想象力；探寻一串有规律的算式，并用符号表示出规律，再用探寻的规律解决问题，这是想象力；在具体的情境中结合生活的经验，概括出常见的数量关系，再用常见的数量关系解决生活中的问题，这也是想象力……掌握规律、捕捉细节、洞悉构成，冰冷抽象的数世界也充满着丰富的想象。
案例：三位数乘两位数（末尾有0）的笔算乘法（四年级下册）
本节课是整数乘法的最后一节课，很容易上成一节枯燥乏味的计算练习课。一道题目如何能变得丰富生动呢？请把讲台交给学生吧，他们的表现会让教师感到惊讶。
当教师把学生推到台前时，就应尽情地把时间让给他们，只有在时间上给予充分的支持，学生才能张开想象力的翅膀，全身心浸入到学习中。当然，这时教师应充当好组织者、引导者的角色。
在学生尝试计算时，教师可以有目的地寻找有价值的生成资源，请学生将典型的做法呈现在黑板上，然后带领学生进入到美好的想象世界。
“猜一猜，这些同学计算时是怎样想的？”教师话音刚落，教室里枯燥乏味的气氛一扫而空，孩子们进入了兴奋的辨析状态。能够猜想出别人的想法，该是多么厉害，他们一个个跃跃欲试。
孩子们首先从结果上判断出图4-45中①号是错误的，启用知识联想功能，多角度说明①号答案有误。
生1：850的末尾有0，乘积的末尾也应该有0，所以1 275是错误的。
图4-45
生2：850×10＝8 500，15比10大，850×15的积肯定比8 500大，所以答案是错误的。
生3：800×10＝8 000，850大于800，15大于10，结果肯定比8 000大，答案是错误的。
生4：他是用85个10乘15，应该是1 275个10，所以答案应该是12 750。
生5：85×15＝1 275，15不变，把85乘以10，根据积的变化规律：一个乘数不变，另一个乘数乘以10，积也应该乘以10，所以应该等于12 750。
师：那么这位同学的计算过程有没有值得大家学习的地方呢？
生6：他注意到了乘数末尾有0的乘法，可以先把0前面的数对齐，先算0前面的数相乘的结果，最后再把0补上。我估计，这位同学可能是后面把0给忘记了。
此时①号同学立马不好意思地说：“是的，忘记了。”
孩子们的潜力是不可估量的，他们不仅判断出①号答案错误，还从不同角度说出了判断的方法、错误的原因，其中蕴含了以下知识点：估算，积的变化规律，乘数末尾有0的乘法列竖式时是不可以简便书写的。
对于②—⑤号算法，孩子们进入了有趣的猜想世界。
②号沿袭了以前的计算方法，对于大多数同学来说，是正常的计算方法，大家一致认可，借此复习了三位数乘两位数的计算法则，但参照①号的简写形式，有同学提出了可以简写的意见。
③号答案颇有意趣，大家分持两种意见，有同意的，也有不同意的。焦点集中在计算过程中的0要不要写。大家开始张开想象力的翅膀，猜测③号做题同学当时的想法了。
赞成方A：要写的，用乘数个位上的5乘以850，5和0相乘得0，这个0要写。
反驳方B：既然用5去乘850，5和0相乘得到的0要写，那么为什么1乘850的0不写呢？也应该写下来啊。
赞成方C：中间写0其实就是直接把题目中850的0移下来，没有用到，在结果中再写一遍。
反驳方D：从书写上看是把850×15看成是85×15先算的，这个时候0是不需要写的，只需要在结果中补上就可以了。
那么到底③号同学是怎样想的呢？
③号同学：我是想到了做除法竖式时，在算了第一步后要把被除数没有除到的数位上的数移下来再除，所以我也就把这个0移下来了。(https://www.daowen.com)
多么有意思的想法！正是因为给了学生足够多的自由，学生才将自己的世界向你敞开，虽然这种迁移联想有些不正确，但是孩子们的想象却变得丰富了，枯燥乏味、晦涩机械的计算课也变得丰富多彩、有情趣了。
④号、⑤号两种答案的区别就在于自上而下画的虚线，孩子们一致同意是⑤号更优，他们将虚线想象成是提示线，线左面的数先乘，算完后，线右面的0不能落下。
童言童真，一道小小的题目竟引发出如此多的奇思妙想！学生在猜想、联想、质疑、辨析中明晰了算理，掌握了算法。
（二）图形与几何
“图形与几何”这部分内容包括：图形的认识与测量、图形的运动、图形与位置，学生经历图形的抽象、分类、性质探讨、运动、位置确定等过程，用自己的数学之眼将美丽多姿的大千世界抽象为简洁的几何图形，再由几何图形回归到现实生活，在观察、操作、比较、归纳、推理、应用中，想象力的作用得以彰显，想象力的发展得以提升。
案例：认识三角形（四年级下册）
图形的认识需要想象力的支撑，如果只是被动地接受概念，学生就成了盛放知识的“容器”。本节课中，高的认识是个难点，教材中对高的讲解借助的是测量人字梁的高度，对于人字梁，多数学生是不知道的，而其定义又是一段晦涩难懂的文字。如果教师灌输给学生，尽管学生能背出什么是三角形的高，但一旦动手量或画的时候就显得困难重重，对于高的认识也就会仅停留在水平位置底上的高，而变式位置上的高，常被画成一条不垂直于底的虚线。总之，学生对三角形高的生活化的理解和外在形式“虚线”的记忆印象深刻，但没有真正理解高的本质属性。如何给晦涩难懂的文字赋予灵动的生命？如何给学生创设一个他们喜欢的情境，让他们的想象力飞起来？
淘气的小圆点也来凑热闹了，要考考大家。你会画三角形吗？方格纸上有很多点，从4个点中任选3个作为顶点，都能画一个三角形吗？你有什么发现？
交流，计算机演示，证明：3个点在同一条直线上时，不能围成一个三角形。
如果老师任意给你3个点，你一定能围成一个三角形吗？先在头脑中想一想，你想的三角形和老师画出的三角形一样吗？（教师出示围成的三角形）
现在三角形（图4-46）有多高？你是怎么知道的？为什么不看AC这条边？
生：跟我们平时测量身高是一样的，身体垂直于地面，BC边就相当于脚底，AB边就相当于身体，要垂直于脚底。
图4-46
图4-47
图4-48
在此我们不由得为学生大胆的联想点赞。是的，数学来源于生活，学生拥有强大的想象力，才能做出如此贴切的联想。当然，对于那些没有如此丰富想象力的学生来讲，这位同学的想象是不是也给了他们启发呢？对于后面的学习，他们会不会也产生这样的联想呢？
调皮的三角形ABC翻了个个儿（图4-47），瞧现在三角形ABC多高？看的是哪条线段？为什么？（垂直）
三角形ABC可神气了，又翻了个个儿（图4-48），猜猜，这次它会是什么样？如果要你测量它的高度怎么办呢？先想一想，在作业纸上画一画。
从现实生活到图形直观再到抽象的概念建立，由操作到想象再到操作技能的形成，数学学习与现实生活之间的勾连无一不需要想象力的参与，无一不在进行想象力的孕育。
（三）统计与概率
“统计与概率”这部分内容包括：简单数据统计，随机现象发生的可能性，学生经历在实际问题中收集和处理数据、利用数据分析问题、获取信息的过程，体会统计方法的意义，形成数据分析观念，感受随机现象的发生。
统计的核心是数据分析，数据是信息的载体，这个载体包括数，也包括言语、信号、图像，凡是能够承载事物信息的东西都构成数据。学生进行数据分析时需要借助想象力将这些形形色色的数据进行转换，透过数据进行预测、分析、甄别，这种数据分析能力的培养、逻辑推理能力的形成是学生在与情境进行互动与碰撞中感悟到的，并非是由教师直接告知的。
案例：“数说淘宝”（六年级数据统计学习设计，作者：张齐华）
六年级的数据统计学习主要以扇形统计图的认识为主，但同时也安排了统计图的选择、分析等内容，让学生感受不同统计图的特点，学会选择合适的方式呈现数据、分析数据。数据主要来自“营养搭配”“身高比较”“树木种植”“生活收入”等贴近学生生活、具有一定可操作性的情境，这些情境来源于学生的日常生活，是学生熟悉与亲身体验过的事件，在激发学生的学习兴趣、经历数据收集与整理过程方面发挥着重要的作用。但由此背景所得到的数据对于后续分析、发掘的价值并不是很大，学生难以围绕数据展开深入分析。如何找寻既具吸引力，又为后续分析提供空间的情境，使学生发挥他们的想象力，积极主动地参与学习？张齐华老师设计的“数说淘宝”给予我们很大的启发。
师：你们关心的都给你们带来了，可是盯着这屏幕，看着这两家店铺的信息（表4-21），我琢磨了半天，难以做出抉择，想想如果你是老师，你会选择在哪家店铺买这本书？
表4-21 店铺A、B的信息
生1：我觉得可以买店铺B的书，因为我们可以先算，它的价格是36元，加上运费总共是44元，和店铺A的价格差不了多少，然后我们再看好评率，虽然店铺A大，但我觉得世界上没有什么东西是可以做到完美的，所以我觉得店铺B比较划算点。
师：他说的有没有道理？
生：有！
师：记住数学课有的时候不光是对和错的问题，而是你能不能把自己的道理说出来。
师：真棒，但是我看到依然有很多同学在举手，你可以补充不同的观点，对不对？来挑个女生，也许淘宝更专业。
生2：我选择的是店铺A，因为价格是40元，运费是0元，你只要付40元就可以了，而且好评率也是100%，虽然销量才2本，但是这个店铺有没有可能是新开的？
师：这个店铺有没有可能是新开的？这个女生能够从看得见的地方想到看不见的远方，这一点是相当了不起的。
师：所以我们说在未来这个时代，有的时候，你们不能光盯着看得见的东西，还得想象一下它背后可能的真相。非常棒，还有吗？
生3：我选择店铺B，虽然店铺B的价格比店铺A要贵，而且店铺B的好评率也低于店铺A，但我们可以假设一下，如果店铺A售出了32本，这32本中可能只有很少一部人评论，店铺B虽然好评率没有那么高，但它的销量仍比店铺A高出几倍。就算店铺B真的不怎么好，那花钱买个教训不也挺好的吗？
分析切入角度不同，自然会得到不同的观点。学生对价钱、邮费等信息进行比较、权衡的过程实际是学生对数据进行分析的过程，选择本身并无对错之分，重要的是选择背后的依据。在面对纷繁复杂的信息时，学生要能够有意识地对不同信息进行比对，通过对不同类别数据的综合分析进行决策，这也是信息社会所必需的策略。与此同时，教师通过对学生发言过程中的观点进行提炼，发现信息读取中的新视角，从而使学生意识到“数学不光谈对与错，更重要的是综合考量信息并提出自己的依据”。教师借由分析商品信息以购买到心仪商品的过程，促使学生深入思考，拓展分析思路，考虑不同的可能性，逐步养成“由单一到综合”这一数据分析的策略方法，在此过程中学生的想象力得以培养。
（四）综合与实践
综合与实践是一类以问题为载体、以学生自主参与为主的学习活动。这种综合不仅表现为数学内部各分支之间的综合、数学与其他学科的综合、数学与学生日常生活实际的综合，而且还表现为解决问题过程中要求学生的各种能力、各种方法、各种工具的综合。它有别于具体知识的探索活动，更有别于课堂上老师的直接讲授。电影《银河补习班》中马皓文对儿子马飞常说的一句话：“保持脑子一直想，一直转，你就能想到办法！”只有一直想，想象力才能得以生长。因此在活动中，教师要鼓励学生独立思考，采用小组合作、实景观察、实地测量、动手操作、问卷调查等活动形式，让学生能真正“动起来”，在活动中积累数学活动经验，提升数学素养。
基兰·伊根教授指出处于讽喻阶段的儿童不再把理论知识与客观世界相混淆，而是把理论知识理解为人类知觉与思维活动的产物，从而发现隐含在知识世界中的人的创造性和选择性。讽喻认知系统中，联合集结的认知工具是指“根据所面对的处境和问题而自由灵活地运用各种认知系统及其所属认知工具加以应对和解决的能力，它是在内心深处发生的各种观念的瞬间集合和聚拢”[10]。
案例：校园绿地面积（五年级上册）
这是一次操作型实践活动，主要活动是测量土地的长度，计算其面积。认识土地的形状、设计并实施测量方案是活动的重点。学校里都有草地、花坛、树林等绿地，地面的形状多种多样。在学习了多边形面积计算后，学生可以利用长方形、正方形、平行四边形、三角形和梯形的面积知识，了解校园里的绿地情况，包括种类、形状、大小等，从而进一步掌握有关的数学内容，提高解决实际问题的能力，体验数学知识的实际应用，积累学习数学的兴趣。所以说，这次实践活动是一件有意义的事情。
在整个活动中，小组内首先要先合理分工，然后根据问题进行规划，设计出活动方案，并进行活动预估，如可能会遇到什么样的困难，需要如何调整，接着根据活动方案进行实际操作，最后还需要进行活动总结与延伸。
活动过程：
（1）准备工具：
尺子、计算器、笔、记录本。
（2）小组分工：
4人测量、1人监督、1人记录，共同计算。（课前每个小组分工好并先尝试下是否合理）
（3）活动可能遇到的情况预估：
尺子长度不够时要学会做标记，皮尺要拉直、刻度要看准，对于高的量法，最好取整米数，如果是一个不规则的形状，可以采用分割的方法。
（4）汇报分析：
（5）拓展开放：
我们学校还要增加1 000平方米的绿化面积，请同学们帮校长设计一个有创意的花圃，并算出它的面积，比比谁的设计作品最漂亮！
整个系列的活动，学生需要调用自己的多种感官积极参与，采用多种认知方式解决问题，展现自己的合作能力、应用能力、创新能力，让想象力得以提升。